Глава 13. Уровни энергии в планетарной модели атома (1121333), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Мы получили дискретный набор энергетических состояний атома водорода или водородоподобного иона. Состояние, отвечающее значению n, равному единице, называется основным, все остальные — возбуждёнными, а если n очень велико, , то — сильно возбуждёнными. Рисунок 13.5.1 иллюстрирует формулу (5.2) для атома водорода. Пунктиром
обозначена граница ионизации. Хорошо видно, что первый возбуждённый уровень значительно ближе к границе ионизации, чем к основному

состоянию. Приближаясь к границе ионизации, уровни на рис.13.5.2 постепенно сгущаются.
Бесконечно много уровней имеет только уединённый атом. В реальной среде различные взаимодействия с соседними частицами приводят к тому, что у атома остаётся только конечное число нижних уровней. Например, в условиях звёздных атмосфер атом имеет обычно 20–30 состояний, но в разреженном межзвёздном газе могут наблюдаться сотни уровней, но не более тысячи.

В первой главе мы ввели ридберг, исходя из соображений размерности. Формула (5.2) раскрывает физический смысл этой константы как удобной единицы измерения энергии атома. Кроме того, она показывает, что Ry зависит от отношения :

.

В силу большого различия масс ядра и электрона эта зависимость является весьма слабой, но в некоторых случаях ею пренебрегать нельзя. В числителе последней формулы стоит константа

эрг эВ,

к которой стремится величина Ry при неограниченном увеличении массы ядра. Таким образом, мы уточнили единицу измерения Ry, приведённую в первой главе.

Правило квантования момента (1.1), конечно, является менее точным, чем выражение (12.6.1) для собственного значения оператора . Соответственно, формулы (3.6) – (3.7) имеют весьма ограниченный смысл. Тем не менее, как мы убедимся ниже, окончательный результат (5.2) для уровней энергии совпадает с решением уравнения Шредингера. Им можно пользоваться во всех случаях, если релятивистские поправки пренебрежимо малы.

Итак, согласно планетарной модели атома, в связанных состояниях скорость вращения, радиус орбиты и энергия электрона принимают дискретный ряд значений и полностью определяются величиной главного квантового числа. Состояния с положительной энергией называют свободными; они не квантуются, и все параметры электрона в них, кроме момента вращения, могут принимать любые значения, не противоречащие законам сохранения. Момент вращения квантуется всегда.

Формулы планетарной модели позволяют вычислить потенциал ионизации атома водорода или водородоподобного иона, а также длину волны перехода между состояниями с разными значениями n. Можно также оценить размер атома, линейную и угловую скорости движения электрона по орбите.

Выведенные формулы имеют два ограничения. Во–первых, в них не учитываются релятивистские эффекты, что даёт ошибку порядка (V/c)². Релятивистская поправка растёт по мере увеличения заряда ядра как Z⁴ и для иона FeXXVI уже составляет доли процента. В конце данной главы мы рассмотрим этот эффект, оставаясь в рамках планетарной модели. Во–вторых, помимо квантового числа n энергия уровней определяется другими параметрами — орбитальным и внутренним моментами электрона. Поэтому уровни расщепляются на несколько подуровней. Величина расщепления также пропорциональна Z⁴ и становится заметной у тяжёлых ионов.

Все особенности дискретных уровней учитываются в последовательной квантовой теории. Тем не менее, простая теория Бора оказывается простым, удобным и достаточно точным методом исследования структуры ионов и атомов.

13.6.Постоянная Ридберга

В оптическом диапазоне спектра обычно измеряется не энергия кванта E, а длина волны  перехода между уровнями. Поэтому для измерения энергии уровня часто используется волновое число E/hc, измеряемое в обратных сантиметрах. Волновое число, соответствующее , обозначается :

см .

Индекс  напоминает о том, что масса ядра в этом определении считается бесконечно большой. С учётом конечной массы ядра постоянная Ридберга равна

.

У тяжёлых ядер она больше, чем у лёгких. Отношение масс протона и электрона равно

.

Подставляя это значение в (2.2) получим численное выражение постоянной Ридберга для атома водорода:

см .

Ядро тяжёлого изотопа водорода — дейтерия — состоит из протона и нейтрона, и приблизительно вдвое тяжелее ядра атома водорода — протона. Поэтому, согласно (6.2), постоянная Ридберга у дейтерия R_D больше, чем у водорода R_H:

см .

Ещё выше она у нестабильного изотопа водорода — трития, ядро которого состоит из протона и двух нейтронов.

У элементов середины таблицы Менделеева эффект изотопического сдвига конкурирует с эффектом, связанным с конечными размерами ядра. Эти эффекты имеют противоположный знак и компенсируют друг друга для элементов, близких к кальцию.

13.7. Изоэлектронная последовательность водорода

Согласно определению, данному в четвёртом разделе седьмой главы, ионы, состоящие из ядра и одного электрона, называются водородоподобными. Иными словами, они относятся к изоэлектронной последовательности водорода. Их структура качественно напоминает атом водорода, а положение энергетических уровней ионов, заряд ядра которых не слишком велик (Z < 10), может быть вычислено по простой формуле (5.2). Однако у высокозарядных ионов (Z > 20) появляются количественные отличия, связанные с релятивистскими эффектами: зависимостью массы электрона от скорости и спин–орбитальным взаимодействием.

Мы рассмотрим наиболее интересные в астрофизике ионы гелия, кислорода и железа. В спектроскопии заряд иона задаётся с помощью спектроскопического символа, который записывается римскими цифрами справа от символа химического элемента. Число, изображаемое римской цифрой, на единицу превышает количество удалённых из атома электронов. Например, атом водорода обозначается как HI, а водородоподобные ионы гелия, кислорода и железа, соответственно, HeII, OVIII и FeXXVI. Для многоэлектронных ионов спектроскопический символ совпадает с эффективным зарядом, который «чувствует» валентный электрон.

Рассчитаем движение электрона по круговой орбите с учётом релятивистской зависимости его массы от скорости. Уравнения (3.1) и (1.1) в релятивистском случае выглядят следующим образом:

Приведённая масса m определена формулой (2.6). Напомним также, что

.

Умножим первое уравнение на и поделим его на второе. В результате получим

Постоянная тонкой структуры  введена в формуле (2.2.1) первой главы. Зная скорость, вычисляем радиус орбиты:

.

В специальной теории относительности кинетическая энергия равна разности полной энергии тела и его энергии покоя при отсутствии внешнего силового поля:

.

Потенциальная энергия U как функция r определяется формулой (3.3). Подставляя в выражения для T и U полученные значения  и r, получим полную энергию электрона:

.

Для электрона, вращающегося на первой орбите водородоподобного иона железа, величина ² равна 0.04. У более лёгких элементов она, соответственно, ещё меньше. При справедливо разложение

.

Первое слагаемое, как легко убедиться, с точностью до обозначений равно значению энергии (5.2) в нерелятивистской теории Бора, а второе представляет собой искомую релятивистскую поправку. Обозначим первое слагаемое как E_B, тогда

Выпишем в явном виде выражение для релятивистской поправки:

Итак, относительная величина релятивистской поправки пропорциональна произведению ²Z⁴. Учёт зависимости массы электрона от скорости приводит к увеличению глубины уровней. Это можно понять следующим образом: абсолютная величина энергии растёт вместе с массой частицы, а движущийся электрон тяжелее неподвижного. Ослабление эффекта с ростом квантового числа n является следствием более медленного движения электрона в возбуждённом состоянии. Сильная зависимость от Z является следствием высокой скорости электрона в поле ядра c большим зарядом. В дальнейшем мы вычислим эту величину по правилам квантовой механики и получим новый результат — снятие вырождения по орбитальному моменту.

13.8. Высоковозбуждённые состояния

Состояния атома или иона любого химического элемента, в котором один из электронов находится на высоком энергетическом уровне, называют высоковозбуждёнными, или ридберговскими. Они обладают важным свойством: положение уровней возбуждённого электрона с достаточно высокой точностью может быть описано в рамках модели Бора. Дело в том, что электрон с большим значением квантового числа n, согласно (5.1), находится очень далеко от ядра и других электронов. Такой электрон в спектроскопии принято называть «оптическим», или «валентным», а остальные электроны вместе с ядром — «атомным остатком». Схематически структура атома с одним сильно возбуждённым электроном изображена на рис.13.8.1. Слева внизу помещен атомный

остаток: ядро и электроны в основном состоянии. Пунктирная стрелка указывает на валентный электрон. Расстояния между всеми электронами внутри атомного остатка гораздо меньше, чем расстояние от любого из них до оптического электрона. Поэтому их суммарный заряд можно считать практически полностью сосредоточенным в центре. Следовательно, можно полагать, что оптический электрон движется под действием кулоновской силы, направленной к ядру, и, таким образом, его уровни энергии вычисляются по формуле Бора (5.2). Электроны атомного остатка экранируют ядро, но не полностью. Для учёта частичной экранировки введено понятие эффективного заряда атомного остатка Z_eff. В рассматриваемом случае сильно удалённого электрона величина Z_eff равна разности атомного номера химического элемента Z и числа электронов атомного остатка. Здесь мы ограничимся случаем нейтральных атомов, для которых Z_eff = 1.

Положение сильно возбуждённых уровней получается в теории Бора для любого атома. Достаточно в (2.6) заменить на массу атомного остатка , которая меньше массы атома на величину массы электрона. С помощью получаемого отсюда тождества

мы можем выразить постоянную Ридберга как функцию атомного веса A рассматриваемого химического элемента:

Множитель перед A равен обратной величине атомного веса электрона. В расчётах мы исходили из физической шкалы, в которой атомный вес изотопа углерода ¹²С равен точно двенадцати. Атомные веса водорода и гелия в этой шкале равны, соответственно, 1.007825 и 4.00260.

Характеристики

Список файлов лекций