Глава 12. Орбитальный угловой момент (1121332), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Волновая функция квадрата момента полностью определяется двумя квантовыми числами — l и m. В рамках векторной модели рис.12.4.1 это может быть наглядно представлено как вращение вокруг оси «z » вектора, модуль которого равен

,

но максимальная проекция на ось не превышает l. Проекции момента на оси «x » и «y » при этом не определены, а их средние значения равны нулю.

Зависимость волновой функции от угла θ сводится к известным из математики присоединённым полиномам Лежандра. Для :

.

Введём переменную

.

Из теории специальных функций известна общая формула для присоединённых полиномов Лежандра:

.

Здесь так же, как и в (6.3) предполагается, что . В случае отрицательных значений m следует выполнить замену

.

Нормированная волновая функция состояния с заданными квантовыми числами l и m равна

,

причём нормировка предполагает интегрирование по всему телесному углу. Выпишем несколько первых полиномов:

Им соответствуют волновые функции:

Состояния с нулевым значением момента (l = 0) принято называть s-состояниями, а квантовое число l равное единице, соответствует так называемым p–состояниям. Согласно (3.5), в s‑состоянии возможно только одно значение магнитного квантового числа: m = 0, а p‑состоянию отвечают три возможные проекции: .

Квадрат модуля функции Φ(φ), согласно (3.7), не зависит от угла φ. Поэтому вероятность W найти частицу в определённом объёме пространства пропорциональна , то есть, полностью определяется полярным углом θ. На рис.12.6.1 приведена

полярная диаграмма для изотропного s‑состояния и анизотропных p‑состояний. Знак m для вероятности не имеет значения, так как она не зависит от угла φ. Можно считать, что положительный знак соответствует вращению горизонтальной гантели по часовой стрелке, а отрицательный — в противоположном направлении.

12.7 Чётность состояния

В квантовой теории излучения важную роль играет оператор инверсии Î. Он действует на координаты волновой функции, меняя их знаки на обратные:

(7.1) Îψ(r) = ψ(–r).

Его собственные функции определяются уравнением

(7.2) Îψ_I = I·ψ_I,

где I — собственное значение. Двукратное применение оператора инверсии приводит к тождеству:

(7.3) βψ=ψ.

Из (7.2) и (7.3) следует

I² = 1,

то есть

(7.4) I = ±1.

Таким образом, собственные функции оператора инверсии либо не меняются вовсе при его воздействии, либо меняют свой знак. В первом случае говорят, что функция описывает чётное состояние, во втором — нечётное. Итак, чётная волновая функция удовлетворяет условию

(7.5a) ψ(–r) = ψ(r),

а нечётная функция — условию

(7.5b) ψ(–r) = –ψ(r).

В квантовой теории справедлив закон сохранения чётности: если состояние замкнутой системы обладает определённой чётностью (чётное или нечётное), то она сохраняется со временем.

Определим чётность состояния частицы с определённым моментом l. Сначала преобразование инверсии

(7.6) x → –x, y → –y, z → –z

запишем в сферической системе координат. В–первых, ясно, что инверсия не меняет длины радиус–вектора:

(7.7a) r → r.

Далее, из z → –z, согласно (2.1), вытекает

cosθ → –cosθ.

Функция cosθ меняет знак в двух случаях изменения аргумента: θ → π±θ. Условию (2.1a) отвечает только один из них:

(7.7b) θ → π–θ.

При этом сохраняется прежним знак sinθ. Следовательно, преобразование x → –x и y → –y, как указывают первые две строки (2.1), требует одновременной смены знака функций sinφ и cosφ:

sinφ → – sinφ,

cosφ → – cosφ,

что возможно в единственном случае:

(7.7c) φ → φ+π.

Формулы (7.7b,c) выражают изменение углов θ и φ при операции инверсии. Их иллюстрирует

рис.12.7.1. На левом рисунке пунктиром обозначен экватор, а на правом ось «z » направлена на читателя.

Зависимость ψ(r) от углов определяется собственной функцией орбитального момента (6.7), пропорциональной При замене φ на φ+π экспонента умножается на (–1)^m, а при замене θ → π–θ присоединённый полином Лежандра переходит в

(7.8) .

Поясним последнюю формулу. Многочлен (x²–1)^l содержит только чётные степени x:

(x²–1)^l =a₀x^2l + a₁x^2l–2 + a₂x^2l–4 + … +(–1)^l.

Каждая операция дифференцирования понижает его степень на единицу. Поэтому старшая степень производной порядка l+m равна 2l–l–m = l–m, и все слагаемые имеют одну и ту же чётность:

(7.9)

Множитель в скобках является чётным, поэтому чётность (7.9) определяется множителем x^l–m, что и доказывает (7.8).

Таким образом, полная волновая функция умножается на произведение (–1)^l–m _· (–1)^m = (–1)^l, и чётность состояния с данным значением l равна

(7.6) I_l = (–1)^l.

Мы видим, что она совпадает с чётностью числа l: при чётном l волновая функция является чётной в смысле (7.5a), а при нечётном — нечётной в смысле (7.5b).

Характеристики

Список файлов лекций