Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(3.1) δS = 0,

где укороченное действие S равно интегралу от импульса частицы по пути её следования из точки «1» в точку «2»:

В оптике действует принцип Ферма для эйконала

(3.3) δΨ=0,

определяемого как интеграл от волнового числа k по траектории оптического луча

Из определения ясно, что эйконал представляет собой фазу. Приведём пример, иллюстрирующий связь между показателем преломления в оптике и импульсом в механике. Как следует из формул (3.1–3.4), формальные схемы теоретического построения в геометрической оптике и классической механики отличаются лишь заменой:

k  p.

С мысл такой замены иллюстрирует рис.5.3.2. Траекторию частицы мы задаём, определяя в различные моменты времени импульс p. Аналогично, ход луча мы ассоциируем с перемещением волнового вектора k, нормального к волновому фронту. Положение волнового фронта в разные моменты времени на рисунке обозначено штриховыми линиями. Напомним, что волновое число k связано с длиной волны: k=2π/. Длина волны, в свою очередь, обратно пропорциональна показателю преломления среды n:

 = ₀ / n,

где ₀ — длина волны в вакууме. Следовательно, формулу (3.4) можно переписать в виде

В однородной среде показатель преломления остаётся постоянным, поэтому в (3.5) его можно вынести за знак интеграла:

δΨ ~ n∫ dl = 0.

В результате получился закон прямолинейного распространения лучей. Аналогично, условие Мопертюи (3.1) в отсутствие внешних полей, когда p = const:

δS ~ p ∫ dl = 0

означает прямолинейное движение частицы. Всё сказанное выше в сжатой форме выражает табл.5.1.

Таблица 5.1. Оптико–механическая аналогия.

Таким образом, мы видим, что формальный переход от геометрической оптики к классической механике и обратно состоит в замене

(3.6)

Эта аналогия лежит в основе электронной оптики.

Пример связи импульса и показателя преломления

Проиллюстрируем связь между импульсом в механике и показателем преломления в оптике. При переходе границы двух прозрачных сред луч света изменяет своё направление. На рис. 5.3.3 n₁ и n₂ — значения показателя преломления в каждой среде. Углы ₁ и ₂ отсчитываются от нормали к

поверхности раздела. Согласно закону Снеллиуса,

(3.7) n₁·sin₁ = n₂·sin₂.

Теперь рассмотрим электрон с импульсом p, который проходит через границу сред с разностью потенциалов . Её можно создать, например, приложив напряжение к сеткам на поверхности раздела двух сред, как на рис.5.3.4. При пересечении границы раздела сохраняется неизменной тангенциальная составляющая импульса

p_t1 = p_t2,

а нормальная компонента меняется, откуда следует

( 3.8) p₁·sin₁ = p₂·sin₂.

Сопоставляя формулы (3.7) и (3.8), мы видим, что они отличаются только заменой (3.6). Итак, импульс частицы ведёт себя аналогично показателю преломления для луча света. Поскольку импульс электрона p однозначно связан с потенциалом :

то, создавая должное распределение электрических полей, можно получать среды с нужным показателем преломления для заряженных частиц и конструировать электроннооптические

приборы.

Дебройлевская длина волны

Оптико–механическая аналогия наводит на мысль сопоставить импульс и длину волны. В оптике показатель преломления и волновое число обратно пропорциональны длине волны:

(3.9) n ~ k ~ 1/.

Согласно вышеизложенному, импульс частицы p является аналогом показателя преломления или волнового числа. Поэтому можно предположить, что существует величина, имеющая размерность длины и связанная с импульсом частицы соотношением, аналогичным (3.9):

(3.10) p ~ 1/.

Выясним, чему равен коэффициент пропорциональности в последней формуле. Для фотона

(3.11) p = ħ k = h / .

Если обратить эту формулу, сопоставляя её с соотношением (3.10) для частицы, то можно написать

(3.12) _D=h/p = h / (mv),

где _D — длина волны частицы. Величина _D была введена Луи де Бройлем в 1924 г. На первый взгляд, предположение о существовании волновых свойств частиц кажется несуразным: ведь у обычных тел они никогда не наблюдались. Но всё дело в том, что постоянная Планка очень мала, а масса макроскопических тел — велика. Поэтому в макромире величина _D значительно меньше размеров любых реальных объектов.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров, из которых нам станет ясно, в каких случаях можно ожидать проявления волновых свойств частиц.

1) Грузовик массой 10 тонн движется со скоростью 36 км/час. Соответствующая длина волны де Бройля равна

Эта величина значительно меньше даже планковской длины и, следовательно, никогда не может быть обнаружена.

2) Пылинка массой 10^–3 г плывет в воздухе со скоростью v = 1 мкм/с. В этом случае

_D ~ 7·10^–20 см,

что тоже значительно меньше размеров всех мыслимых объектов.

Таким образом, у макроскопических объектов невозможно наблюдать волновые свойства. Перейдём к объектам малой массы.

3) Электрон после ускорения потенциалом  приобретает импульс p = (2me)^1/2, которому соответствует длина волны

Если разность потенциалов измерять в вольтах, а длину волны — в ангстремах, то справедлива простая формула:

Электрон может проявлять волновые свойства, например, в явлении дифракции на кристалле. Для этого величина _D должна быть порядка постоянной решётки кристалла, то есть около 1 Å. Такой длине волны соответствует потенциал  ~ 100 В.

5.4 Эксперименты по наблюдению волновых свойств частиц

Выше мы изложили теоретические предпосылки проявления волновых свойств у частиц. Они вовсе не были плодом умозрительных рассуждений. Были проведены опыты, которые установили, что частицы в определённых условиях ведут себя как волны.

Формула Вульфа-Брэгга

Н а рис.(5.4.1) схематически изображена электронная волна, падающая на кристалл под углом скольжения . Постоянную решётки обозначим d. Из чертежа ясно, что разность хода  двух лучей, отражённых от соседних плоскостей, равна

 = 2 d sin.

В тех направлениях, где  равна целому числу длин волн,

(4.1) 2d sin = n _D

наблюдается усиление потока рассеянных электронов.

Уравнение (4.1), называемое формулой Вульфа-Брэгга, полностью соответствует известному условию максимумов в явлении интерференции при отражении света от тонких плёнок.

Дифракция электронов

Пример дифракции электронов приведён в начале этой главы на рис. 5.3.1. Здесь мы изложим основные опыты, которые доказала волновые свойства электронов и других частиц.

В первые дифракцию электронов наблюдали в 1927 году К. Дэвиссон и Л. Джермер (Нобелевская премия по физике) и годом позднее Тартаковский и Томсон. Ещё раньше, в 1923–25 г.г., в заводской лаборатории Bells Дэвиссон и Кэнсман исследовали рассеяние пучка электронов металлической поверхностью. Схема эксперимента изображена на рис.5.4.2. Полярная диаграмма рассеяния представляла собой более или менее плавную кривую без чётко выраженных особенностей. Открытию предшествовал «несчастный случай» — разгерметизация установки. После отжига окислившегося кристалла (никель) на кривой рассеяния обозначилась лепестковая структура, которую авторам эксперимента удалось объяснить с привлечением формулы Вульфа–Брэгга (4.1) и соотношения де Бройля

Отжиг окислившегося рассеивателя способствовал устранению неоднородностей и очистке кристаллографических плоскостей, при отражении от которых и наблюдалась интерференция электронных волн.

В опытах по дифракции электронов можно менять угол рассеяния  при одной и той же энергии электронов, а также ускоряющее напряжение  при фиксированном значении . В последнем случае, силу соотношения

интерференционный максимум n–го порядка возникает при соответствующем значении потенциала. На рис. 5.4.3 приведена зависимость силы тока электронов, рассеянных под фиксированным углом ,

от величины ускоряющего потенциала. Стрелками указаны положения максимумов, рассчитанные по формуле (4.2). Расхождение расчётных и экспериментальных данных при малых значениях n объясняется тем, что при вычислениях не учитывался показатель преломления для лучей, проникающих внутрь рассеивателя.

Таким образом, экспериментально было доказано, что электроны обладают волновыми свойствами и дают дифракционную картину, аналогичную той, которая наблюдается у рентгеновского излучения. Позднее наблюдалась дифракция других элементарных частиц: протонов и нейтронов.

Дифракция атомных и молекулярных пучков

Впервые дифракцию атомов гелия обнаружили в 1930 году Фриш, Штерн и Эстерман. Схема их эксперимента представлена на рис.5.4.4. Из печи с температурой около 800 К выходил пучок атомов

гелия, который пропускался через механический селектор скоростей. Последний представлял собой

два жёстко закреплённых на оси диска с радиальными прорезями, смещёнными по углу вращения на величину Δφ. Такой селектор пропускает только те атомы, которые пролетают расстояние между дисками за время, совпадающее с временем поворота дисков на угол Δφ. Полученный в селекторе моноскоростной пучок рассеивался под разными углами поверхностью кристалла LiF, постоянная решётки которого близка к 1Å. Температуру печи T подбирали так, чтобы дебройлевская длина волны атома гелия

м
ало отличалась от постоянной решётки. Рассеянный пучок атомов регистрировался детектором, чувствительным элементом которого была металлическая полоска, сопротивление которой зависело от давления окружающего газа. На рис.5.4.5 приведена зависимость регистрируемого тока от угла

Характеристики

Список файлов лекций