Глава 04. Корпускулярные свойства излучения (1121324), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Слагаемое m_ec² в левой части первого уравнения равно энергии покоя электрона.

Уединим радикал в правой части первого уравнения, а во втором уравнении перенесём ħk в левую часть. После этого возводим в квадрат оба уравнения и второе умножаем на c². Теперь в уравнения входит угол рассеяния и модуль импульса:

Вычтем первое уравнение системы из второго и, учитывая связь

ω = kc

между частотой и волновым числом, получим:

Из последней формулы следует, что относительное изменение частоты (следовательно, и энергии кванта) по порядку величины равно отношению первоначальной энергии кванта к энергии покоящегося электрона:

Значительное изменение частоты произойдёт в том случае, если энергия кванта сравнима с энергией покоя электрона:

ħω₀ ~ mc² ~ 511 кэВ.

Энергии mc² соответствует комптоновская длина волны:

(2.2) Λ_C = h/(mc) = 2.42631·10^–2 Å.

Она отличается множителем 2π от введённой ранее _C:

(2.3) Λ_C = 2π_C.

С помощью Λ_C можно упростить (2.1):

(2.4)  – ₀ = Λ_C (1 – cos).

Наибольшее увеличение длины волны, на 2Λ_C, происходит при рассеянии назад, на угол  = π. Величина комптоновского смещения мала, поэтому его можно наблюдать только в коротковолновом диапазоне — рентгеновского или γ–излучения.

При рассмотрении эффекта Комптона мы оперировали с фотоном, как с частицей — рассматривали его взаимодействие с электроном как столкновение бильярдных шаров. Когда же после рассеяния мы определяли длину волны, например по дифракции, то оперировали с фотоном, как с волной. Таким образом, корпускулярные и волновые характеристики излучения следуют непосредственно друг за другом. Одновременно же проявлять волновые и корпускулярные свойства фотон не может. Как мы увидим в дальнейшем, это связано с соотношением неопределенностей Гайзенберга.

На рис. 4.2.2 представлены спектры комптоновского рассеяния линии серебра ₀ = 0.56267 Å (верхний график слева) при фиксированном значении угла рассеяния для различных веществ.

Величина смещения  =  – ₀, в согласии с формулой (2.4), не зависит от материала мишени, так как рассеяние происходит на свободных электронах.

Комптоновское рассеяние, в отличие от рассмотренного выше фотоэффекта, явно показывает роль ядра и окружающих его электронов внутренних оболочек. Наряду со смещённой длиной волны λ (правый пик М), присутствует пик первичного излучения Р, интенсивность которого растёт с увеличением заряда ядра Z элемента рассеивателя. Появление несмещённого пика обусловлено рассеянием на электронах внутренних оболочек. Они жёстко связаны с ядром, так что импульс фотона передаётся всей массе атома. Учитывая, что смещение  обратно пропорционально массе рассеивателя, приходим к выводу, что усиление несмещённой компоненты с ростом Z связано с увеличением доли внутренних оболочек.

4.3 Обратное комптоновское рассеяние.

Выше мы рассмотрели столкновение фотона с неподвижным электроном, когда фотон теряет энергию, а электрон её приобретает. Если же электрон первоначально двигался, то становится возможной передача фотону кинетической энергии электрона. Такое взаимодействие принято называть «обратным комптоновским рассеянием». Обобщим формулу (2.4), связав изменение частоты излучения не только с углом рассеяния , но и с параметрами движения электрона.

Скорость электрона обозначим v. Введём «гамма–фактор»

Значения всех величин до столкновения пометим индексом «0». Направление импульсов фотона до столкновения k₀ и после рассеяния k измеряем относительно импульса p₀ невозмущённого электрона. Угол между k₀ и p₀ на рис. 4.3.1 обозначим ₀,

а между k и p₀ — . Расчёты ведём в рамках 4‑мерных векторов. Так, импульс электрона состоит из «пространственной» компоненты p и «временнóй» γm_ec. Аналогичные компоненты импульса фотона равны ħk и ħω/c. Квадрат 4–мерного вектора

1. a₄ = {a, b}

в метрике специальной теории относительности равен

1. (a₄·a₄) = a² – b².

Система уравнений, выражающая законы сохранения энергии и импульса, в четырёхмерной форме выглядит следующим образом:

(3.4) p₀₄ + ħk₀₄ = p₄ + ħk₄.

Выпишем явные выражения для четырёхмерных векторов, входящих в это уравнение:

1. p₄ = {γm_ev, γm_ec},

(3.6) k₄ = {k, ω/c}.

Из (3.5) и (3.6) следует

(3.7) (p₄·p₄) = (p₀₄·p₀₄) = –m_ec², (k₄·k₄) = (k₀₄·k₀₄) = 0.

Возведя (3.4) в квадрат и учитывая (3.7), получим полезное тождество:

(3.8) (p₄·k₄) = (p₀₄·k₀₄).

С его помощью можно исключить из (3.4) неизвестный вектор p₄. Для этого скалярно умножим (3.4) на k₄:

(p₄·k₄) = (p₀₄·k₄) + ħ(k₀₄·k₄).

и в полученное уравнение подставим (3.8):

(3.9) (p₀₄·k₀₄) = (p₀₄·k₄) + ħ (k₀₄·k₄).

Скалярные произведения четырёхмерных векторов раскрываются следующим образом:

(p₀₄·k₀₄) = p₀·ω₀·cos₀ /c– γ₀·m_e·ω₀,

(p₀₄·k₄) = p₀·ω·cos /c – γ₀·m_e·ω,

(k₀₄·k₄) = ω₀ω(cos–1) /c².

Подставим их в (3.9) и сократим полученное выражение на mγ₀:

ω₀β₀μ₀ – ω₀ = β₀ωμ – ω + ħω₀ω (cos –1) /(γ₀m_ec²).

Здесь введены обозначения

μ₀ = cos(₀), μ =cos().

Теперь приходим к окончательной формуле для изменения частоты при комптоновском рассеянии:

Полученный результат обобщает формулу (2.4) и справедлив при любых скоростях электрона до столкновения. Множитель γ₀ перед m_ec² объясняется увеличением массы движущейся частицы. При рассеянии на покоящемся (v₀ =0) электроне (3.10) сводится к (2.4) и изменение частоты связано лишь с эффектом отдачи.

В случае быстрых электронов и низкочастотного излучения

эффектом отдачи можно пренебречь и (3.10) переходит к другой своей предельной форме:

Покажем, что здесь основную роль играет эффект Доплера. Для этого перейдём в систему покоя электрона ^(e). В ней частота фотона до рассеяния равна

В приближении (3.11) изменением частоты фотона при рассеянии в системе покоя электрона можно пренебречь:

Возвращаясь в лабораторную систему отсчёта, находим

Мы действительно получили (3.12).

Один механизм охлаждения солнечной короны.

В космических объектах часто наблюдается ситуация, когда горячие электроны находятся в поле холодного излучения. Примером может служить солнечная корона, пронизываемая излучением фотосферы: температура короны почти в тысячу раз выше. Обратное комптоновское рассеяние стремится уравнять значения температуры излучения и электронов. В условиях солнечной короны выполняется условие (3.11), и мы можем пользоваться формулой (3.12). Максимальная потеря энергии электроном имеет место при лобовом соударении (₀ = π,  = 0):

Следовательно, верхняя оценка для приобретённой квантом энергии за один акт рассеяния равна

(3.13)

Электрон испытывает в секунду

(3.14) N = N_ф·_Т·c

соударений с фотонами. Здесь

сечение рассеяния излучения свободным электроном, так называемое, томсоновское сечение. Плотность числа квантов вычисляем по формуле (1.3) третьей главы. Оценим время, необходимое для того, чтобы электрон с начальной энергией E_к охладился до E_ф. Для численных оценок положим E_к = 100 эВ. Приблизительно так можно оценить температуру солнечной короны, хотя она неоднородна и в ней есть участки с разной температурой. Величину E_ф примем равной температуре солнечной фотосферы — 0.5 эВ, а плотность числа фотонов вычислим по формуле (1.3) третьей главы, положив T= E_ф. Величина E_ф пренебрежимо малá по сравнению с E_к. Следовательно, число актов рассеяния, необходимое для уменьшения энергии электрона от E_к до E_ф, можно принять равным отношению E_к / ε_max. Из (3.13) и (3.14) следует нижняя оценка для времени охлаждения электрона при обратном комптоновском рассеянии:

Мы получили оценку времени охлаждения электронов, справедливую по порядку величины. Таким образом, солнечная корона без непрерывного подогрева могла бы оставаться такой горячей всего около часа. В действительности она остынет гораздо быстрее, так как действуют более мощные механизмы охлаждения, чем комптоновское рассеяние — возбуждение дискретных уровней ионов и тормозное излучение. Подчеркнём, что оценки данного раздела не являются точными расчётами. Они предназначены лишь для иллюстрации роли комптоновского рассеяния в астрофизике.

Характеристики

Список файлов лекций