§ 5 . Электромагнитные волны в однородной непроводящей среде (1120480)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптикаε, и магнитной проницаемостью µ :v=Здесь с =1ε0µ 01c= .εε 0 µ µ 0 n(2.44)= 3 ⋅ 108 м / с – фазовая скорость электромагнитнойволны в двухпроводной линии, помещённой в вакуум; n = εµ –параметр, зависящий от свойств среды.Так как величина заряда на верхней и нижней шинах в какомлибо месте двухпроводной линии q(x) пропорциональна напряжённости электрического поля в этом месте E(x), дифференциальное уравнение (2.38) можно записать следующим образом:2∂2E2 ∂ E=v ⋅ 2 .∂t 2∂x(2.45)Подчеркнём, что в распространяющейся по оси X электро-rмагнитной волне вектор E направлен вдоль оси Y, а векторrмагнитной индукции B – вдоль оси Z, т. е.

электромагнитнаяволна – поперечная.§ 5. Электромагнитные волныв однородной непроводящей средеДлявыводауравненияэлектромагнитнойволныводнородной непроводящей среде воспользуемся уравнениямиМаксвелла в интегральной форме. При выводе дифференциального уравнения волны нам понадобятся только два из них –обобщенные выражения закона электромагнитной индукции итеоремы о циркуляции (с учётом того, что ток проводимостиотсутствует):53Глава II. Волны−) ()r r∂ r r,BdS=E∫∫ , dl ,∂t ΣC(εε 0 µµ 0(2.46)) ()r r∂ r rE,dS=B∫∫С , dl .∂t Σ((2.47)Правые интегралы в (2.46) и (2.47) берутся по замкнутомуrконтуру С ( dl – элемент такого контура), левые – поповерхностям Σ, ограниченным соответствующими контурами.Необходимо помнить, что направление обхода по контуру инаправление нормали к поверхности связаны между собойправилом буравчика.Будем предполагать, что напряжённость электрического поляи индукция магнитного поля – функции только координаты х, – см.рис.2.8. Это означает, что рассматриваемая нами электромагнитная волна (если, конечно, мы докажем её существование)– плоская.Выберем прямоугольный контур в плоскости ХY и будемосуществлять обход по пути 1-2-3-4, предполагая величины dх иdy малыми.

Учтём, что на участке 1-2 перемещение происходитпо оси Y, поэтому(∫ Er , dl ) = E ( x + dx)dy ; на участке 3-4 перемещениеr2y1происходит против оси Y, поэтомуYy+dy32(∫ E,r dl ) = − E ( x)dy ;4ryz+dzZ14yz8x7Рис. 2.854x+dx56участки 2-3 и3X4-1 абсолютно одинаковы, нопроходятся в разные стороны,3 r1 rrrследовательно ∫ E , dl = − ∫ E , dl .(2)(4)Колебания и волны. Волновая оптикаВ итоге имеем:r∂E∫ (E , dl ) = [E ( x + dx ) − E ( x )]dy = ∂ x dxdy .ryyy(2.48)СЛевая часть соотношения (2.46) легко вычисляется, еслиrиметь в виду, что поверхность Σ мала, так что величина B вразных местах этой поверхности практически одинакова, анормаль к этой поверхности направлена по оси Z:r rB∫ , dS = Bz dxdy .()(2.49)ΣПодставив (2.48) и (2.49) в соотношение (2.46), получаем:∂E y∂x=−∂B z.∂t(2.50)Аналогичным образом выберем прямоугольный контур вплоскости XZ и осуществим обход по пути 5-6-7-8.

Правая частьуравнения (2.47) вычисляется точно так же, как и правая часть (2.46):r r∂Bz[]B,dl=B(x+dx)−B(x)dz=dxdz.(2.51)zz∫∂xC()При вычислении левой части нужно учитывать, что направлениенормали к контуру 5-6-7-8 противоположно оси Y:r rE∫ , dS = − E y dxdz.()(2.52)ΣПодстановка (2.51) и (2.52) в (2.47) приводит к уравнению∂E∂B z= −εε 0 µµ 0 y .∂x∂t(2.53)Дифференцируя (2.50) и (2.53) по координате x и, изменяяпорядок дифференцирования в правых частях (2.50) и (2.53),получаем55Глава II. Волны∂2Ey∂ ∂B z,∂ t ∂x(2.50,a)∂ 2 Bz∂  ∂E y =−εεµµ.00∂x2∂t  ∂ x (2.53,a)∂x2=−Наконец, подставляем в правую часть (2.50,а) равенство(2.53), а в правую часть (2.53,а) – соотношение (2.50); в итогеимеем два дифференциальных уравнения электромагнитнойволны:∂2Ey∂2Ey2=v,∂x2∂t 2(2.54)2∂ 2 Bz2 ∂ Bz=v.∂t 2∂x2(2.55)Естественно, что эти уравнения абсолютно одинаковы –измененияэлектрическогоэлектромагнитнойволнеистрогомагнитноговзаимосвязаны.полейвФазоваяскорость электромагнитной волны получилась такой же, как и вдвухпроводной линии – см.

формулу (2.44). Следовательно,двухпроводнаялинияпростонаправляетэлектромагнитнуюволну в нужную сторону, присутствие линии не являетсянеобходимым условием существования волны.Из уравнений (2.54)–(2.55) следует, что электромагнитнаяволна, в отличие от упругой, может распространяться в вакууме сфазовой скоростью с =1ε 0 µ0≈ 3 ⋅ 108 м / с. Получив это число изсвоих уравнений, Максвелл сделал фундаментальный вывод –свет представляет собой электромагнитную волну (к томувремени скорость света была уже измерена экспериментально с56Колебания и волны. Волновая оптикадостаточнобольшойточностью,хотяприродасветаокончательно не была установлена).

Для световой волныn = εµпараметрскоростьсветавназываетсясредеспоказателемпоказателемпреломления;преломленияnопределяется соотношением v = c/п.Изуравненийпринципиальный(2.54)вывод–и(2.55)следуетэлектромагнитнаяещёволнаодинвсегдаявляется поперечной. Действительно, задавшись только однимограничением – предполагая, что волна плоская, мы в итогеавтоматически получили, что в уравнениях (2.54) и (2.55)присутствуют только компоненты напряжённости электрическогополя и индукции магнитного поля, направленные по осям Y и Zсоответственно.Поэтому в дальнейшем мы не будем использовать индексы“y”, “z” при обозначении напряжённости электрического поля Е ииндукции магнитного поля В.Анализ полученных нами уравнений позволяет получитьдополнительные сведения о взаимосвязи между амплитудами иrфазами колебаний векторов Erи B . Пусть напряжённостьэлектрического поля в плоской волне изменяется по закону:E(x,t) = E0 cos(ω t – kx ),(2.56)Предполагая возможность сдвига по фазе между колебаниямиrrвекторов E и B , запишем:B(x,t) = B0 cos(ω t – kx +ϕ),(2.57)Далее подставляем (2.56) и (2.57) в уравнения (2.50) и (2.53):kE0sin(ω t – kx) = ωB0 cos(ω t – kx +ϕ),(2.58)57Глава II.

ВолныkB0sin(ω t – kx + ϕ) = ωE0 εε0µµ 0 sin(ω t – kx).(2.59)Совершенно очевидно, что равенства (2.58) и (2.59) могутвыполняться,толькоеслиравныамплитудыифазыгармонических функций в левых и правых частях этих равенств.rrОтсюда получаем, что фазы колебаний векторов E и Bодинаковы (ϕ = 0); перемножив перекрёстно амплитуды (2.58) и(2.59) и приравняв результаты перемножения, имеем:εε 0 E =20B02µµ 0(2.60).rrПоскольку фазы колебаний векторов E и B совпадают,соотношение (2.60) выполняется для величин напряжённостиэлектрического поля и индукции магнитного поля в произвольныемоменты времени (не только для амплитудных значений):εε 0 E =2B2µµ 0, B=E.v(2.61)На рис.2.9 показана “мгновенная фотография” плоскойэлектромагнитной волны, распространяющейся по оси X.

Стечением времени волна движется по оси со скоростью v = c/п.rrОбратим внимание, что тройка векторов E , B иY rЕoZXrВРис.2.958rvКолебания и волны. Волновая оптикаориентированасовершенноопределеннымобразом–направление скорости волны всегда совпадает с направлениемвекторного произведенияr r[ E , B] . Максимумы напряжённостиэлектрического поля в электромагнитной волне совпадают смаксимумами индукции магнитного поля – рис.2.9.§6. Энергия электромагнитной волныЭнергия электромагнитной волны складывается из энергииэлектрического поля и энергии магнитного поля. Ранее былиполучены выражения для плотности энергии электрического W0Eи магнитного W0B полей:W0 E =W0 B =εε 0 E 22B22 µµ 0,(2.62).(2.63)Сравнивая (2.62) и (2.63) с (2.61), приходим к выводу, что вэлектромагнитной волне энергия распределяется поровну междуэлектрическим и магнитным полем (точно так же, как в упругойволне энергия распределяется поровну между кинетической ипотенциальной – см.

(2.24)).Из соотношений (2.62) и (2.63) следует, что плотностьэнергии (энергия, приходящаяся на единицу объёма среды, вкоторой распространяется электромагнитная волна), равна:W0 = W0 E + W0 B = εε 0 E =2B2µµ 0=EB.µµ 0v(2.64)Для характеристики переноса энергии электромагнитнойволной вводятся плотность потока энергии (S), интенсивность (I),59.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги