§ 1. Колебания систем с одной степенью свободы. Гармонический осциллятор (1120471)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптикаГЛАВА I . КОЛЕБАНИЯ§ 1. Колебания систем с одной степенью свободы.Гармонический осцилляторКруг явлений, которые получили название «колебания» оченьширок. Для всех этих явлений типична повторяемость вовремени. Прежде чем перейти к детальному рассмотрениюколебательных явлений, проиллюстрируем их универсальностьнесколькими примерами из живой и неживой природы.Периодичны смены дня и ночи, времен года, сна ибодрствования. Сердце человека (и других млекопитающих)работает настолько строго периодично, что даже небольшиеотклонения от этой периодичности резко ухудшают самочувствие,а их анализ позволяет специалистам судить о причинахнездоровья (кардиограммы). Качели и маятники хорошо знакомынам с детства; шелест листьев обусловлен дрожанием каждоголистикаподдействиемветра;волны,раззаразомнакатывающиеся на берег, вызывают повторяющийся шумприбоя. Химикам хорошо известны удивительные циклическиепроцессы – реакции Белоусова – Жаботинского.

Периодичностьнаблюдается в движении как гигантских объектов (таких, какпланеты солнечной системы, звезды), так и микрочастиц –составных “кирпичиков” окружающего мира (атомов и молекул).Наконец само развитие мира, как считают некоторые философы,происходит “по спирали”, т.е. опять-таки с “некоторой степеньюповторяемости во времени”. Да и в жизни отдельного человекапериодыактивности(работа,учеба,экзамены)сменяютсяпроцессами «релаксации» (термин, также относящийся к теорииколебаний) – расслабления и успокоения.3§1.

Гармонический осцилляторУбедившись в важности и актуальности колебательныхявлений, попытаемся выяснить физическую причину стольширокогоихраспространенияфундаментальнуюрольввприроде.окружающемВспомним,насмиречтоиграютгравитационные, упругие и электростатические взаимодействия.Поля сил таких взаимодействий обладают одним важным общимсвойством – они являются потенциальными. В дальнейшем дляпростоты мы будем полагать, что имеем дело с системой,состояние которой определяется только одной переменной(например, координатой х)*).

В этом случае потенциальнаяэнергия U – функция только одной координаты. Для примера нарис.1.1 представлены возможные виды зависимостей U(x). Вслучае (а) потенциальная энергия не зависит от координатыx0постоянна),насистемунедействует внешняя сила (Fx = –dU/dx = 0) и,бв0(всюдуаUвxРис. 1.1Fx = –dU/dx = const,соответствиисовторымзакономНьютона, система движется равномерно ипрямолинейно. В случае (б) на системудействуетпостоянная по величине силанаправленная по оси Х;происходитравноускоренное движение по этой оси.

Очевидно, наиболееобщая ситуация изображена на рис.1.1(в) – потенциальнаяэнергия в этом случае зависит от координаты каким-то болеесложным образом (конкретный вид этой зависимости сейчас неиграет существенной роли).Предположим, что система находится вблизи одного изминимумов потенциальной энергии – в окрестности точки x0.Легко видеть, что смещение системы из этой точки в любуюсторону приведет к появлению силы, “возвращающей” систему к*)4О таких системах принято говорить, что они имеют одну степень свободы.Колебания и волны.

Волновая оптикаположениюравновесия“возвращающей”).(этаПослесилатакдостиженияиназываетсяточких0–(“точкиравновесия”) система по инерции пройдет эту точку и сновавозникнет возвращающая сила, направленная уже в другуюсторону. Вот и начался колебательный процесс.В общем случае зависимость смещения системы ξ = x – x0 отвремени может быть достаточно сложной – все зависит отконкретного вида функции U(x). Считая, что функция U(x)непрерывна и имеет все производные при x = x0, её можноразложить вблизи этой точки в ряд Тейлора по величине ξ = x – x0:U ( x ) = U ( x0 ) +1 d 2UdUξ+ξ 2 + ...22 dx x0dx x0(1.1)Очевидно, при малых отклонениях от точки x0 основную рольбудет играть член с наименьшей степенью ξ.

Учитывая, что вминимуме dU/dx = 0, разложение (1.1) приближенно можнопереписать в виде:U ( x ) ≈ U ( x0 ) +1 d 2U2 dx 2⋅ ξ 2 = U ( x0 ) +x0d 2Uгде введено обозначение k =dx 2kξ 2,2(1.2). В этом случае на системуx0вблизи точки x = x0 будет действовать силаFx = −dUd 2U=− 2dxdx⋅ ξ , т.е. Fx = −kξ .(1.3)x0Видно, что знак проекции силы всегда противоположен знакусмещения и в случае малых отклонений от положенияравновесиявеличина возвращающей силы пропорциональнаотклонениюсистемыотположенияравновесия(какдляидеальной пружины) Поэтому такую силу называют «квазиупругой».

В частном случае колебаний грузика на пружине эта5§1. Гармонический осцилляторсила является упругой, а соотношение (1.3) отражает закон Гука.Второйзаконнаходящейсядинамикивблизидляположениямеханическойравновесия,системы,сучетомвышесказанного можно записать в формеmξ&& = F = −kξ .(1.4)xПосле деления на m и переноса в левую часть, это равенствоприобретает вид, получивший название «уравнение гармоническогоосциллятора»:ξ&& + ω02ξ = 0 , где ω02 =k.m(1.4,а)С математической точки зрения – это линейное однородноедифференциальное уравнение второго порядка. Общее решениетакого уравнения может быть записано в виде гармоническойфункции (в чём нетрудно убедиться подстановкой)ξ(t) = A cos(ω0t + ϕ0),(1.5)Величина ω0 играет роль частоты собственных гармоническихколебаний системы.

Она определяется только свойствами самойколебательной системы (осциллятора – от английского слова“oscillate”). Постоянные А иначальнойфазойколебаний,ϕ0 – называются амплитудой исоответственно.Ихвеличинасущественно зависит от способа возбуждения колебаний всистеме – так называемых начальных условий. Для определенияамплитуды и начальной фазы нужно знать начальное отклонениесистемы от положения равновесия ξ0 = ξ(0) и начальную скоростьv 0 = ξ&(0) .Таким образом, «гармоническим осциллятором» являетсялюбая система, совершающая колебания по закону (1.5) (и,соответственно, подчиняющаяся уравнению типа (1.4,а)).Подчеркнем, что «гармонический осциллятор» – некая6Колебания и волны.

Волновая оптикафизическая идеализация. Модель гармонического осциллятораможетбытьправомерноиспользованапренебрежениевтолькочленамитехслучаях,высшихкогдапорядковвразложении потенциальной энергии системы (1.1) (т.е. когдаамплитудаколебанийдостаточномала)иотсутствуютдиссипативные силы (например, силы трения).Взаключениеэтогопараграфапродемонстрируем полную аналогию вописании механических и электрическихаkmколебаний. На рис.1.2,а показан простейшиймеханический осциллятор – тело массойm на пружине с коэффициентом упругостиk, которое может скользить по гладкойгоризонтальной поверхности.

Уравнениедвижения тела (второй закон Ньютона) вx00L+C–XбIРис. 1.2этом случае (без учета сил трения) в точности совпадает с ранееполученным нами уравнением (1.4):mξ&& = − kξ .Для идеализированного электрического контура без потерьэнергии (см. рис.2,б) напряжение на конденсаторе VC =qравноCЭДС самоиндукции на катушке εsi :qdI.= −LdtCС учётом того, что ток I =q&& +(1.6)dqимеем:dt1q = 0 илиLCq&& + ω02 q = 0 ,(1.6,а)где q и С – заряд и емкость конденсатора, L – индуктивностькатушки, I – сила тока в контуре, ω 0 =1.LC7§1.

Гармонический осцилляторТаким образом, механический осциллятор без трения иэлектрическийLC-контурбезомическогосопротивленияописываются идентичными с математической точки зренияуравнениями (1.6,а) и (1.4,а). Очевидно, величина q, как иотклонение механической системы от положения равновесия ξ, стечением времени изменяется по гармоническому закону (1.5).Как нетрудно подметить, в случае электрической системыаналогами ξ, A, m и k являются величины q, q0, L и 1/C,соответственно.Энергия механического осциллятора, показанного на рис.1.2,складывается из кинетической энергии тела Т и потенциальнойэнергии деформированной пружины U:W = T +U =kξ 2 mξ& 2 kA2+=.222(1.7)Используя отмеченную выше аналогию между параметрамимеханической и электрической систем, полную колебательнуюэнергию, запасенную в электрическом контуре, можно записать ввидеq 2 LI 2 q02+=.W=2C22C(1.8)Первое слагаемое в соотношении (1.8) представляет собойэнергию электрического поля конденсатора, второе – энергиюмагнитного поля катушки индуктивности.8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги