§ 3 . Энергия упругой волны (1120478)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава II. Волны(т.е. рассматривались продольные волны). В твёрдом телевозможно также распространение поперечных волн. Нетруднопоказать, что в этом случае модуль Юнга в формуле (2.17) нужнозаменить на модуль сдвига.§ 3. Энергия упругой волныНачнём рассмотрение вопроса об энергии упругой волны напримере простой модели продольной волны в одномерномкристалле (рис.2.1). Вычислим энергию, приходящуюся на один“элемент” нашего кристалла – один “атом” массой m и одну связь(пружину)сКинетическаяnкоэффициентомэнергияупругостиэлемента––см.рис.2.4.энергия“атома”,kэтодвижущегося со скоростьюn+1∂ξ:∂t2xn0ξnРис.2.4ξn+1m  ∂ξ T = ⋅  .2  ∂t (2.18)Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадратувеличины её растяжения или сжатия (ξn+1 – ξn)2; учитываясоотношение (2.2), имеем (ξn+1 – ξn) ≈ l⋅2∂ξ, откуда∂x2k l 2  ∂ξ  mv 2  ∂ξ U=  =  .2  ∂ x 2  ∂ x (2.19)Итак, для рассматриваемой нами простой модели полнаяэнергия одного элемента одномерного кристалла:22m  ∂ξ 2  ∂ξ W =   + v    .2  ∂t  ∂x  (2.20)Эта формула может быть естественным образом обобщена46Колебания и волны.

Волновая оптиканалюбые(нераспределённымиобязательнопараметрами.одномерные)Дляэтогосредынужностолькозаменить массу одного элемента на массу, приходящуюся наединицу объёма среды (т.е. плотность ρ), при этом получимполную энергию, приходящуюся на единицу объёма среды, вкоторой распространяется упругая волна:2ρ  ∂ξ 2 ∂ξ  W0 =   + v    .2  ∂t  ∂ x  (2.21)2Величина W0 называется плотностью энергии упругойволны. Для плоской волны, распространяющейся по оси Х (какпродольной, так и поперечной), зависимость смещения откоординаты и времени определяется уравнением (2.8), откудаT0 =U0 =ρ  ∂ξ 2ρ  = A2ω 2sin 2 (ω t − k x ) ,2  ∂t 2ρ  ∂ξ 2(2.22)ρv  = A2ω 2 sin 2 (ω t − kx ) = T0 .2  ∂t 2(2.23)Из соотношений (2.22)–(2.23) получаемW0 = T0 + U 0 = ρ A 2ω 2 sin 2 (ω t − kx ) .(2.24)На рис.2.5 показаны пространственное распределение ξ(х) исоответствующие функции T0(x), U0(x)для бегущей упругой волны.

Максимумыпотенциальной и кинетической энергииξ0xU0в бегущей волне локализованы в однихи тех же местах (там, где ξ = 0). Стечениемвременипоказаннаянарис.2.5 картинка “бежит” по оси Х со0xT00Рис. 2.5x47Глава II. Волныскоростью v. В любой фиксированной точке пространствавеличина плотности энергии со временем пульсирует(периодпульсаций в два раза меньше периода волны – см. рис.2.5)Поэтому целесообразно определить среднее по времени (или впространстве) значение плотности энергии W0 . Учитывая, чтоусреднение по времени квадрата синуса дает ½, получаем:W0 (t ) =ρ A2ω 22.(2.25)Поскольку волна переносит энергию, полезно определитьнесколько величин, характеризующих этот перенос.Плотностьпотокаэнергии–количествоэнергии,переносимой волной в единицу времени через единичнуюплощадку,перпендикулярнуюнаправлениюраспространенияволны.

Численно эта величина равна энергии, заключённойвнутри цилиндрической поверхности с единичным основанием иобразующей, равной v :S(t) = W0(t)⋅v.Подчеркнём,чтоплотность(2.26)потокаэнергииявляетсяфункцией времени, поскольку зависит от времени величина W0(t)– см. (2.24).Интенсивностью волны называется среднее по временизначение плотности потока энергии волны:I = 〈S(t)〉 = 〈W0(t)〉⋅v =ρA2ω 2v2.(2.27)Русским физиком Н.А. Умовым в 1874 г.

была введенавекторная характеристика переноса энергии упругой волной:48Колебания и волны. Волновая оптикаrrS (t ) = W0 (t ) ⋅v .(2.28)rВпоследствии величина S получила название вектора Умова.Как следует из (2.28), амплитуда вектора Умова изменяется современем и в пространстве, поэтому целесообразно определитьсреднее по времени значение вектора Умова (векторнуюинтенсивность волны):rrrρA2ω 2v〈 S (t ) 〉 = 〈W0(t)〉⋅v =.(2.29)2Поток энергии упругой волны через любую поверхность Σможно определить интегрированием скалярного произведенияrrвектора Умова на векторный элемент площадки ds (вектор dsнаправлен по нормали к площадке ds):rrΦ = ∫ S (t ) ⋅ ds = ∫ S n (t )ds .S(2.30)SrЗдесь Sn – нормальная к площадке ds составляющая вектора S .Наконец, среднее по времени значение потока энергии упругойволны через поверхность:rrΦ (t ) = ∫ S (t ) ds = ∫ S n (t ) ds .Σ(2.31)Σ§ 4.

Электромагнитные волны в системе связанныхконтуров и в двухпроводной линииРассмотрим процесс распространения колебаний в системесвязанных контуров, являющейся в некотором смысле аналогоммодели одномерного кристалла – см. рис.2.6. Выделим в этойсистеме два произвольных соседних контура, включающихконденсаторы с номерами (n – 1), n и (n + 1). Для определённости49.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги