§ 3 . Условия наблюдения интерференции (1120484)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава III. Интерференция волн§ 3. Условия наблюдения интерференцииВ предыдущем параграфе, рассматривая интерференциюмонохроматическихисточников,мыгармоническихпреднамеренноволнотдвухточечныхидеализировалиреальнуюкартину интерференции. Действительно, в природе и технике нетисточников, испускающих строго гармонические волны однойчастоты; также как нет источников волн бесконечно малыхразмеров (“точечных” источников).Поэтому необходимо выяснить, при каких условиях вреальных ситуациях возможно наблюдение интерференции волн.1. Сначала обсудим, в какой степени осложняет наблюдениеинтерференции немонохроматичность волн. Начнем анализ спростейшего случая, когда в спектральный состав источникавходит всего два значения частоты ω1 и ω2, мало отличающиесядруг от друга.

Предположим, что в какой-то точке пространства Ав момент времени t = 0 две волны с частотами ω1 и ω2,интерферируя, дают усиление колебаний – см. рис.3.4.На рисунке колебания, возбуждаемые этими волнами в точкеА, показаны отдельно, хотя мы будем считать, что волныраспространяютсяt = 0ξ1t1t2однойtкпрямой.Есливремя измерений равноtξ2поt1(см.разностьрис.3.4),фазколебаниямитомеждуξ1 и ξ2изменится незначительРис.

3.468но, эти колебания попрежнемуусиливаютКолебания и волны. Волновая оптикадругдруга.Есливремя,необходимоедляизмеренияинтенсивности больше – t2, то усреднение результатов сложенияколебаний все ещё будет отличаться от случая сложенияинтенсивностей (отсутствие интерференции) и колебания всёещё можно считать когерентными.

Когерентность колебаний ξ1 иξ2 полностью нарушится через время t = τk, когда эти колебаниябудут уже не усиливать, а ослаблять друг друга (∆ϕ = π) – см.рис.3.4. Время, за которое это произойдет, называется временемкогерентности τk. Из вышесказанного следует, что в случаеинтерференции двух монохроматических волн с отличающимисячастотами время когерентности равно τ k =πω 2− ω 1.Перейдём к более реалистичной модели источника света.Обычно приходится иметь дело с источниками, частоты излучениякоторых распределены в некотором интервале от ω1 до ω2 = ω1 +∆ω (“сплошной спектр”).Мы будем полагать для простоты, чтоинтенсивности волн для всех частот в этом интервале одинаковы– см.

рис.3.5,а.Если в начальный момент времени t = 0 фазы всех колебанийсовпадают (как это проиллюстрировано для двух волн на рис. 3.4),то в этот момент все волны усиливают друг друга. Эффектусиления исчезнет через некоторое время, когда наложение волнаI∆ωРис. 3.5ω1бIωω212ϕ1NNN+ +122Nϕ2ω69Глава III. Интерференция волнбудет приводить к их взаимному ослаблению. Покажем, что врассматриваемом случае это произойдет в момент времени t = τк,когда между “крайними” волнами (в спектральном смысле – счастотами ω1 и ω2 = ω 1 + ∆ω) накопится разность фаз, равная 2π. Вэтот момент фаза “первой” волны равна ϕ 1 = ω1t, а фаза“последней” ϕ 2 = ω2t = ϕ 1 + 2π. Фазы всех остальных волн будутравномерно распределены в интервале от ϕ 1 до ϕ 2 – см.рис.3.5,б.

Разобьём этот интервал на 2N одинаковых малыхучастков. Любым двум участкам с номерами n ≤ N (на левойполовине рис.3.5,б) и n + N (на правой половине этого рисунка)соответствуютволны,отличающиесяпофазенаπ,следовательно, эти волны взаимно уничтожатся. Тогда, в моментвремени t = τk вместо усиления волн будет наблюдаться ихполное взаимное подавление.Итак, для источников, излучение которых происходит вполосе частот ∆ω, время когерентности равноτk =2π∆ω(3.20)Число колебаний, которое произойдёт за время когерентности,мы будем называть числом когерентных колебаний:Nk =Отметим,чтомаксимальномуτkT=ωλ2π.==T ∆ω ∆ω ∆λчислопорядкукогерентныхинтерференции,(3.21)колебанийравнокоторыйможнонаблюдать при такой немонохроматичности источника.Длиной когерентности называется расстояние, на котороераспространяется волна за время когерентности:70Колебания и волны.

Волновая оптикаl k = vτ k =λτ kT= λ Nk ≅λ2.∆λ(3.22)Колебания в пределах любого цуга волн длиной lk остаютсякогерентными.Очевидно, что чем более немонохроматическим являетсяисточникволн,когерентности,темменьшечислодлякогерентныхэтогоисточникаколебанийидлинавремякогерентности.С учетом (3.22) соотношение (3.20) может быть записано внесколько иной формеlkλ2.τk = ≅v v ∆λ(3.23)Для солнечного света λ = 400–760 нм, число когерентныхколебаний N k =λ≅ 1− 2 , а длина когерентности порядка 1-2∆λдлин волн λ.

Поэтому ясно, что если в схеме опыта Юнга,показаннойнарис.3.3,спектральныйсоставизлучения“первичного” точечного источника S такой же, как Солнца, тобудет наблюдаться интерференционная картина, состоящая изцентрального (нулевого, m = 0) максимума и двух (–четырёх)ближайших к нему максимумов первого (и возможно второго)порядка (m = 1, 2). При разности хода между волнами 1 и 2 (см.рис.3.3), превышающей две длины волны, когерентность междуними будет потеряна (максимальный порядок интерференции –максимально возможное число m в соотношении (3.18) – равночислу когерентных колебаний Nk).Используясветофильтры(т.е.уменьшая∆λ),можносущественно улучшить условия наблюдения интерференции.Источником наиболее монохроматического излучения (помимо71Глава III.

Интерференция волнлазеров) являются отдельные возбуждённые атомы, спектризлучения которых состоит из узких линий («линейчатый» спектр).Однако и в этом случае испускаемая волна не является строгогармонической, т.к. возбуждённый изолированный атом излучает втечение интервала времени τк ≈ 10-8 с, и за это время испускается“цуг” гармонических волн длиной l = vτk (в вакууме или в воздухеl ≈ 3 м). Длина такого цуга волн по существу является длинойкогерентности для излучения отдельного атома.

Начальная фазаследующего акта испускания волн никак не связана с фазойпредыдущего, поэтому колебания в двух последовательных цугахнекогерентны. В лазерах за счет согласованного излучениямногихатомовкогерентности,активногонавеществанесколькодостигаютсяпорядковбольшие,длинычемдляизлучения отдельного атома.2.Рассмотриминтерференциитеперь,зависятоткакразмеровусловиянаблюденияисточника.Сначалапредположим, что мы имеем точечный и монохроматическийисточникизлученияS.

Волновые поверхности для такогоисточника имеют вид сфер (на рис.3.6 пунктиром показана однаиз них). По определению, любые две точки, расположенные наодной волновой поверхности, должны совершать колебания водной и той же фазе. Как нам в этом удостовериться?Используем для этого уже известную нам схему Юнга. Поставимнепрозрачную преграду с двумя маленькими отверстиями на путиволны, распространяющейся от источника S. На некоторомрасстоянии за преградой поместим экран, на котором будемнаблюдать интерференционную картину. Если волны, распространяющиеся от двух отверстий в преграде, когерентны, тоинтерференционная картина должна уверенно регистрироваться72Колебания и волны. Волновая оптикаS1∗D∗SLβ0dλ/2α0 ≈λ/2dРис.

3.6lβ0XЭ0x(результат такого эксперимента мы уже обсудили в предыдущемпараграфе).Внесём в нашу задачу осложнение – будем предполагать, чтоисточник продолжает оставаться монохроматическим, но теперьимеет конечные размеры D (на рис.3.6 показана “крайняя” точкаисточника – S1).

Очевидно, что интерференционная картина отточки S1 на экране будет смещена относительно интерференционной картины от точки S на уголβ0 = D/2L, где L –расстояние от источника до преграды (т.е. до интересующей насволновой поверхности). Если β0 > α0, где α0 – угловое положениепервого минимума интерференционной картины от точки S,соответствующего m = 0 в соотношении (3.13), то полная интер-73Глава III. Интерференция волнференционная картина от всего протяжённого источника окажетсянастолько“смазанной”,чтонаблюдатьперераспределениеэнергии в пространстве не удастся. А это и означает, чтовыбранные нами две точки на сферической поверхности (дваотверстия в преграде) испускают некогерентные волны.Итак, интерференцию волн от протяженного источника можнонаблюдать только при выполнении неравенства α0 > β0.

Учитывая,(0)хminλчто согласно (3.13) α 0 ==, приходим к такому условиюl2dнаблюдения интерференцииD λ< .L d(3.24)Это неравенство можно переписать несколько иначе:D < rk = ϕ k ·L.(3.25)В соотношении (3.25) введены т.н. «радиус когерентности» rkи «угол когерентности» ϕ k :rk =λ λL,=β Dϕ k=rk λ= .L D(3.26)Здесь β = 2β0 = D/L – угловой размер источника волн.По физическому смыслу радиус когерентности – это размеробласти на сферической поверхности, окружающей источник, впределах которой колебания можно считать когерентными. Размеры этих областей обратно пропорциональны размерам источникаrkϕkLL•DРис.

3.774Drk– см. рис.3.7. Угол когерентности – этоϕkтелесный угол, в который протяжённыйисточник испускает когерентные волны.Чем больше размеры источника, темэтот угол меньше. Из (3.26) очевидно,Колебания и волны. Волновая оптикачто источник волн может считаться точечным, если его размерыменьше или, во всяком случае, порядка длины волны.Длясолнечногосветарадиускогерентностилегкоподсчитать, если учесть, что угловой размер Солнца β ≈ 0,01 рад:rk =λ≈ 5·10-3 см. Поэтому, чтобы наблюдать интерференционнуюβкартину в опыте, показанном на рис.3.6, расстояние междуотверстиями в преграде должно быть меньше 5·10-3 см, чтотрудно экспериментально осуществить. Лишь в начале XIX в.Томас Юнг впервые наблюдал интерференцию с использованиемсолнечного света от двух точечных источников (отверстий внепрозрачном экране).

Существенно, что интерференцию можнобыло наблюдать только в том случае, когда между экраном сдвумя отверстиями и Солнцем располагалась еще одна преградас небольшим отверстием – см. рис.3.8. Назначение этойдополнительной преграды понятно – с её помощью удаетсяуменьшить угловые размеры “первичного”Солнцеисточника и, следовательно, увеличитьрадиус когерентности.Введем еще одну характеристику,преградаопределяющую степень когерентностиизлучения – объём когерентностиVk = lk ⋅ rk2 .Объемобъемтой(3.27)когерентностиобластиопределяетпространства,вкоторой испускаемые источником волныкогерентны.0Рис.

3.875.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги