§ 4 . Затухающие колебания (1120474)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптика§ 4. Затухающие колебанияВ реальных колебательных системах всегда происходятпотери энергии (в механических системах – из-за трения, в электрических – из-за наличия электрического сопротивления). Поэтомусвободные колебания будут затухающими (а следовательно, негармоническими). Учтём это обстоятельство, добавляя в правуючасть уравнения (1.4) силу трения, которую будем считатьпропорциональной скорости тела (Fтр)х = − r⋅ ξ& (такая зависимостьсилы трения от скорости типична для движения тела в вязкойсреде).

Параметр r называется коэффициентом сопротивления.В результате второй закон динамики для механическогоосциллятора при наличии вязкого трения можно записать так:mξ&& = − rξ& − kξ .(1.29)Обозначив r / m = 2 β , соотношение (1.29) приведём к видуξ&& + 2βξ& + ω02ξ = 0 .Величинаω02 = k / m–какиранее,(1.30)собственнаячастотаосциллятора в отсутствии затухания.Совершенно аналогичное уравнение можно получить дляэлектрического контура (рис.1.2,б) с учётом затухания, добавив влевуючастьсопротивленииравенства(1.6)падениенапряжениянаUR.

Только в этом случае дифференциальноеуравнение типа (1.30) записывается не для смещения ξ(t), а длязаряда на конденсаторе q(t); коэффициент вязкого трения r нужнозаменитьнаэлектрическоесопротивлениецепиR;приэтом 2β = R / L , ω 02 = 1 / LC .19§4. Затухающие колебанияПоскольку функции ξ (t ), ξ&(t ), ξ&&(t ) должны быть с точностьюдо постоянных коэффициентов одинаковыми (это очевидно изуравнения (1.30)), решение (1.30) будем искать в виде:ξ (t ) = A0 eα t .(1.31)Подставляя (1.31) в (1.30), получаем т.н.

«характеристическоеуравнение» для коэффициента α :α 2 + 2 βα + ω02 = 0 .(1.32)Решение этого уравнения:α = − β ± β 2 − ω02 .(1.33)Рассмотрим сначала случай малого затухания β < ω0.α = − β ± i ω02 − β 2При этоми, используя формулу Эйлера, решение уравнения (1.30) можнозаписать в формеξ (t ) = A0 ⋅ e − β t ⋅ cos(ωc t + ϕ 0 ) ,(1.34)где ωc = ω02 − β 2 – частота собственных затухающих колебаний;ϕ 0 – как и ранее, начальная фаза. Как видно из рис.1.8,колебания осциллятора в этомξA0случае напоминают гармони-β tA0eческие, но амплитуда колеба-A0e cos(ω t + ϕ0)ний постепенно уменьшается-β tпо экспоненциальному закону.t0Такие колебания, конечно, неявляются гармоническими.TПараметр, β определяющийтемпзатуханияназываетсяРис.1.820затухания.амплитуды,коэффициентомКолебания и волны. Волновая оптикаДля описания колебаний с малым затуханием используютследующие характеристики:1.

Время релаксации амплитуды τA – время уменьшенияамплитуды колебаний в “e” раз:A0= e,A0 e − β τ A2. КоличествоτA = 1/β.откудаколебанийNe,закотороеамплитудауменьшится в “e” раз :Ne =Здесь Т =2πωсτAT=1.βT– период колебаний.3. Декремент затухания D =A(t )= e βT .A(t + T )4. Логарифмический декремент затухания γ – логарифмотношения амплитуд двух последовательных колебаний:γ = ln D = lnA(t )1.= βT =A(t + T )Ne5. Добротность колебательной системы Q:Q = πN e =π πω== с .γ βT 2 βПри очень малом затухании (β << ω 0 ) можно использоватьприближенноесоотношениеQ≈ω0,2βкотороевэлектрического контура легко преобразуется к виду: Q ≈случае1 L.R CДалее мы встретимся ещё с несколькими определениямидобротности. В частности, этот параметр при малом затухании21§4.

Затухающие колебанияпропорционален отношению энергии, запасённой осциллятором, кэнергии, теряемой за период.Действительно,пропорциональнаэнергия,квадратузапасённаяамплитудаосциллятором,колебаний(длямеханических колебаний) или квадрату максимального зарядаконденсатора (для электрических колебаний) – см. соотношения(1.7) и (1.8). Следовательно, в любой момент времениW (t ) = W0 ⋅ e − 2 β t = W0 ⋅ e − t /τ ,(1.35)Wгде W0 – начальный запас энергии осциллятора, τw = 1/2β – времярелаксации энергии (оно в два раза меньше времени релаксацииамплитуды). Учитывая, что потеря энергии за период∆WT (t ) = W (t ) − W (t + T ) = W (t )(1 − e − 2 β Т ) ,(1.36)получаемW (t )1.=∆WT (t , T ) 1 − e − 2 β Т(1.37)В условиях очень малого затухания e −2 β T ≈ 1 − 2 βT и соотношение (1.37) преобразуется к видуN1W (t )1Q== e =.=∆WT (t , T ) 2 β T22γ 2πОтсюдаследуетещёодноопределение(1.38)добротности(подчеркнем, что оно справедливо только при очень малом затухании):Q ≅ 2πW (t ).∆W (t , T )(1.39)Заметим, что, поскольку время релаксации энергии равноτW = 1/2β, можно дать “третье” определение добротности:Q=22ωс= ωсτ W ≅ ω 0τ W .2β(1.39,a)Колебания и волны.

Волновая оптикаПоследнее выражение также правомерно в условиях оченьмалого затухания.Обсудимтеперьнекоторыезакономерностиповеденияосциллятора с большим затуханием (β > ω0). Как следует из(1.33), в этом случае решение дифференциального уравнения(1.30) таково:ξ (t ) = e−β t(AeЗдесь β1 = β 2 − ω 02 , τ 1 =β1t+ Be− β1t)= A⋅e−tτ1+ B⋅e−tτ2.(1.40)11, τ2 =.β − β1β + β1Два параметра – А и В определяются из начальных условий(начальная координата и начальная скорость должны бытьзаданы). В частности, если в начальный момент временисмещениеравнонулю(например,маятниквыводитсяизравновесия толчком), то ξ(0) = А + В = 0 и А = −В.Соответствующаязависимостьсмещенияотвременипоказана на рис.1.9(а). Если начальное отклонение от положенияравновесия не равно нулю, то А ≠ −В; траектория движения теладля этого случая показана на рис.1.9 (б).Сравнивая рисунки 1.8 и 1.9, легко понять, почему режим сξA0A exp(-t/τ1) + B exp(-t/τ2)A exp(-t/τ1)B exp(-t/τ2)tξAt0бBРис. 1.9B23§4.

Затухающие колебаниябольшимзатуханиемчастоназывают«апериодическим».Существенно, что время возвращения системы к равновесиюопределяетсявапериодическомрежименаибольшей постоянной времени τ 1 =экспонентойс1. При очень сильномβ − β1затухании (β >> ω0) эта постоянная времени может быть весьмабольшой (β ≅ β1, τ1 → ∞). Очевидно, режим с большим затуханиемнецелесообразно использовать при работе стрелочных приборов,как, впрочем, и режим с малым затуханием – см. рис.1.8.

С этойточка зрения наиболее интересен т.н. «критический» режим,когда выполняется условие β = ω0, т.е. β1 = 0.Критический режим широко используется в работе различныхприборов, поскольку в этом режиме возвращение к положениюравновесия происходит наиболее быстро.В критическом режиме τ1 = τ2 , и решение (1.40) не можетбыть общим решением дифференциального уравнения второгопорядка, поскольку фактически в (1.40) останется только одинпараметр – множитель перед экспонентой.

Легко показать, чторешением уравнения (1.30) при β = ω0 является функцияξ (t ) = ( A + B ⋅ t )e−βt.(1.41)Параметр А в этом случае имеет смысл начального смещенияξ(0), начальная скорость равна ξ&(0) = В − β ⋅ А . Если начальноеотклонение от положения равновесия равно нулю (А = 0), топараметрВопределяетвеличинуначальнойскоростиосциллятора. В рассматриваемом случае зависимость смещениятела от времени получается умножением спадающей экспонентына функцию Bt – см.

рис.1.10.24Колебания и волны. Волновая оптикаДифференцируя по времениξ (t ) = V0 ⋅ t ⋅ e−β tξи приравниваяBt-βtξmax = B/βee-β tξ(t) = Bteпроизводную нулю, находим,что максимальное отклонениеот положения равновесия достигается в момент времениtmax =1β. В этот моментtРис.1.10ξ max = ξ (1 / β ) =В.βe(1.42)Таким образом, максимальное отклонение от положенияравновесияврассматриваемомслучаепропорциональным начальной скорости ξ maxоказывается∼ В = ξ&(0) . Этофундаментальное свойство осциллятора в критическом режимеиспользуется в т.н.

«баллистических» приборах (баллистическихмаятниках, баллистических гальванометрах). В этих приборахконструктивными “ухищрениями” добиваются того, чтобы периодколебаний(маятника,достаточнобольшимлиборамки(существенногальванометра)превышалвремябылтоговоздействия ∆t, которое предполагается исследовать – например,время соударения маятника с каким-либо телом или времяпротекания импульса тока через рамку гальванометра).

Тогдаимпульс, который получает баллистический маятник за время ∆t,можно считать пропорциональным начальной скорости маятника.Следовательно,положениямаксимальноеравновесиясотклонениеточностьюдомаятникаотградуировочногомножителя будет указывать величину сообщенного маятникуимпульса (“количества движения”).25§4. Затухающие колебанияДля баллистического гальванометра начальная скоростьрамки также пропорциональна импульсу силы, действовавшей нарамку в течение времени ∆t. Так как сила, действующая на рамку,пропорциональна протекающему по рамке току, то F∆t ∼ I∆t ∼ ∆q.В этом случае максимальное отклонение рамки от положенияравновесия пропорционально полному заряду ∆q, протекшемучерез рамку за время ∆t.В заключение сделаем несколько замечаний о спецификезатухающих колебаний в системе связанных осцилляторов.

Вопервых, необходимо иметь в виду, что представление онормальных модах колебаний в случае затухающих колебанийимеет смысл только в условиях небольшого затухания. Вовторых, необходимо учитывать, что затухание может бытьнеодинаковым для разных мод, поскольку, например, пружины вслучае механических колебаний или конденсаторы – в случаеэлектрических “работают” для различных нормальных колебанийпо-разному. Наконец, очевидно, что небольшое затухание никакне может повлиять на фундаментальные свойства нормальныхколебаний – соответствие между числом нормальных мод иколичествомколебательныхстепенейнезависимость нормальных колебаний.26свободы,атакже.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги