§ 2 . Уравнение волны (1120477)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптикаограниченный диапазон использования этого уравнения:тольков случае малых возмущений (квазиупругая сила), распространяющихсявнедиспергирующихсредах(объяснениеэтоготермина будет приведено ниже).В трёхмерном случае уравнение (2.5) следует переписать так:∂ 2ξ= v 2 ⋅ ∆ξ .2∂t(2.5,a)∂2 ∂2∂2 Здесь ∆ =  2 + 2 + 2  – оператор Лапласа.∂y∂z  ∂x§ 2. Уравнение волныУравнениемупругойволныназываетсясоотношение,описывающее зависимость смещения колеблющихся частиц откоординат и времени в явной форме. В случае электромагнитнойволны, как будет показано ниже, вместо смещения в уравненииволны будут фигурировать напряжённость электрического ииндукция магнитного полей.Сначала будем предполагать, что для нашего одномерногокристалла (рис.2.1) в начале координат (х = 0) колебательноедвижение “первого” атома происходит по гармоническому закону:ξ(0,t) = A⋅cosωt.(2.7)Очевидно, что на соседние атомы будет действоватьгармоническаявозмущающаясиласчастотойω, и этовозмущение будет постепенно распространяться всё дальше от“начального” атома.

Обозначим через v скорость распространенияэтого возмущения. Тогда зависимость от времени смещенияатома, расположенного в точке с координатой х, можно,очевидно, представить в виде “запаздывающей” на время τ = x/vгармонической функции41Глава II. Волныξ(x,t) = A⋅cos[ω (t – τ)] = A⋅cos(ω t – kx),(2.8)где k = ω/v – т. н. “волновое число”, λ – длина волны. Подставляя(2.8) в дифференциальное волновое уравнение (2.5), убеждаемсяв том, что функция (2.8) – действительно решение волновогоуравнения.Причёмвведённыйранееизсоображенийразмерности параметр v дифференциального уравнения (2.5) пофизическому смыслу соответствует скорости распространенияфазы волны (и называется поэтому “фазовой скоростью”).Существенно, что классическому дифференциальному волновомууравнению (2.5) удовлетворяют гармонические волны (2.8)различных частот ω при том, однако, условии, что скоростираспространения этих волн не зависят от частоты.

Среды, вкоторыхскоростираспространенияволнсразнымичастотами одинаковы, называются “недиспергирующими”.Поскольку всякая достаточно “плавная” функция может бытьразложена на гармонические функции (в ряд Фурье), совершенноочевидно, что такая функция ξ(t – x/v) также будет решениемуравнения(2.5).Предлагаемубедитьсявэтомпрямойподстановкой. Этой функции соответствует распространяющаясяпо оси X, со скоростью v негармоническая волна.Введем некоторые определения.Волновой поверхностью мы будем называть такуюповерхность, колебания во всех точках которой происходят водной и той же фазе.Изопределенияясно,чтоволновыхповерхностейбесконечно много.

В модели одномерного кристалла (рис.2.1)каждая волновая поверхность вырождается в точку. Имеет смыслспециально выделить переднюю волновую поверхность, которая42Колебания и волны. Волновая оптиканазывается фронтом волны.Если фронт волны и волновые поверхности – плоскости, товолна называется плоской. Плоскую волну можно наблюдать втех случаях, когда расстояние до источника волн х много меньшеразмеров источника D :x << D.(2.9)Плоская волна, распространяющейся по оси X, описываетсяуравнением (2.8), поскольку все точки, лежащие на одной и тойже волновой поверхности (плоскости, перпендикулярной оси Х),колеблются одинаково. Для плоской волны часто используютформу записи уравнения волны в полярной системе координатr(см.

рис.2.2). Введем радиус-вектор r , проведенный из началаполярнойсистемыкоординатпроизвольную точкуrпространства, а также волновой вектор k , равный по величинеOвволновому числу и направленный по нормали к волновойповерхности в сторону распространения волны (в данном случае поr rоси Х). Тогда kx = krcosα = k , r (см.волновая поверхностьrr( )Oрис.2.2) и уравнение плоской волныможет быть записано в видеαrkxXРис.

2.2rrξ(r,t) = A⋅cos(ω t – k r ).(2.10)Если размеры источника много меньше расстояния до него(“точечный” источник),D << x, r ;(2.9,a)то волновые поверхности имеют сферическую форму, волна вэтом случае называется сферической. Ясно, что по мереудаления волны от источника энергия волны распределяется повсёвозрастающемуколичествучастицсреды.Энергия,43Глава II. Волныприходящаясянаоднучастицу,обратнопропорциональнаплощади соответствующей волновой поверхности, т.е. ∼ 1/r2(здесь r – расстояние от волновой поверхности до точечногоисточника).Посколькуэнергияколеблющейсячастицыпропорциональна квадрату амплитуды (см. (1.7)), амплитудаколебанийчастицвсферическойволнеобратнопропорциональна r. В итоге уравнение сферической волныследует записать так:ξ(r,t) =A0⋅cos(ω t – kr).r(2.12)Наконец, если часть энергии волны теряется в среде из-запоглощения, то происходит постепенное затухание волны, котороенужно учесть аналогично (1.34) введением дополнительного экспоненциального множителя перед косинусом:A( х) = A0e −η x – плоская волна;A(r ) =(2.13)A0 −η r⋅ e – сферическая волна.r(2.14)Коэффициент η называется коэффициентом поглощения среды.Подчеркнём, что соотношения (2.8), (2.10), (2.12)–(2.14)описывают как продольные волны (смещение частиц происходитвдоль направления распространения волны), так и поперечныеволны (частицы колеблются в плоскости, перпендикулярнойнаправлению распространения).В заключение этого параграфа покажем, что полученное намивыражение для фазовой скорости упругой волны в одномернойцепочке атомов (рис.

2.1) легко обобщается на систему с распределённымипараметрами–длинныйоднородныйизготовленный из материала, плотность которого ρ.44стержень,Колебания и волны. Волновая оптикаРассмотримотрезокстержняr−Fдлиной l (см. рис.2.3), масса которогоXm = ρlS, где S – площадь поперечногосечениястержня.rFxПосколькуx+lРис. 2.3выбранный нами отрезок в целомrпокоится, приложенные к нему слева и справа силы F равны(для определённости будем считать эти силы растягивающими).При этом отрезок удлиняется на ∆l. В рассматриваемом случаекоэффициент упругости – это коэффициент пропорциональностимежду величинами силы F и удлинения стержня:k=FFS σ S.==∆l S ∆l ∆l(2.15)В соотношении (2.15) введена величина механического напряженияσ=F. Подставим полученные для m и k выражения в формулу (2.6)Skl 2σl=v =.mρ ∆l(2.16)2Учитывая,что(модулемпродольнойG=величинаσl∆lупругости),являетсяполучаеммодулемдляЮнгаскоростираспространения упругой волны следующее соотношение:v=Привыводе(2.17)Gρмы.(2.17)предполагали,чтоприраспространении волны силы действуют вдоль стержня (понаправлению распространения волны).

Соответственно, частицыстержня также совершают колебательные движения вдоль оси X45Глава II. Волны(т.е. рассматривались продольные волны). В твёрдом телевозможно также распространение поперечных волн. Нетруднопоказать, что в этом случае модуль Юнга в формуле (2.17) нужнозаменить на модуль сдвига.§ 3. Энергия упругой волныНачнём рассмотрение вопроса об энергии упругой волны напримере простой модели продольной волны в одномерномкристалле (рис.2.1).

Вычислим энергию, приходящуюся на один“элемент” нашего кристалла – один “атом” массой m и одну связь(пружину)сКинетическаяnкоэффициентомэнергияупругостиэлемента––см.рис.2.4.энергия“атома”,kэтодвижущегося со скоростьюn+1∂ξ:∂t2xn0ξnРис.2.4ξn+1m  ∂ξ T = ⋅  .2  ∂t (2.18)Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадратувеличины её растяжения или сжатия (ξn+1 – ξn)2; учитываясоотношение (2.2), имеем (ξn+1 – ξn) ≈ l⋅2∂ξ, откуда∂x2k l 2  ∂ξ  mv 2  ∂ξ U=  =  .2  ∂ x 2  ∂ x (2.19)Итак, для рассматриваемой нами простой модели полнаяэнергия одного элемента одномерного кристалла:22m  ∂ξ 2  ∂ξ W =   + v    .2  ∂t  ∂x  (2.20)Эта формула может быть естественным образом обобщена46.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги