§ 1. Классическое дифференциальное волновое уравнение (1120476)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Колебания и волны. Волновая оптикаГЛАВА II. ВОЛНЫ§1. Классическое дифференциальное волновое уравнениеПри увеличении числа связанных осцилляторов в системе,помимо выделения нормальных мод, выяснения спектра их частотне менее важным становится вопрос о скорости передачиколебательного движения из одной части системы в другую – т. е.

оскорости распространения волн в системе. Под волнами мы будемпонимать возмущения, распространяющиеся в какой-либо среде.Рассмотрим одномерную модель системы, состоящей избольшого числа связанных осцилляторов – см. рис. 2.1.1lξ1nn–12ξ2x–lξn–1xn+1ξnx+lN–1ξn+1NlξN–1ξNXРис. 2.1Можно считать, что показанная на рис.2.1 система моделируетодномерный кристалл, либо длинную молекулу полимерного типа.Массы всех “атомов” будем считать одинаковыми и равными т,связь между ними моделируем пружинками с коэффициентамиупругости k.

Потерями (трением) в системе пренебрежем. Введемось Х, направленную вдоль цепочки атомов, через ξ1 , ξ2, ..., ξnобозначим отклонения каждого атома от положения равновесия.Расстояния между равновесными положениями всех соседнихатомов будем полагать одинаковыми и равными l.Запишем второй закон динамики для n-го атома:m ξ&&n = k(ξn+1 – ξn) – k(ξn – ξn-1).(2.1)39Глава II. ВолныПоскольку n-й атом имеет координату х, можно заменитьвеличинуξn,нафункциюξ(х).Далеемыограничимсярассмотрением только таких колебательных движений в нашемкристалле,прикоторыхсоседниеатомыдвижутсяпочтиодинаково (это означает, что мы исключаем из рассмотрениянаиболее высокочастотные моды колебаний).

При этом нарасстоянии l величина смещения атома от положения равновесияизменяется мало. Воспользовавшись разложением функций вряд Тейлора, можно записать приблизительное выражение длясмещений атомов с номерами (n – 1) и (n + 1), ограничиваясьтремя первыми членами разложений по малому параметру:∂ξ∂ 2ξ l 2⋅l + 2 ⋅ ;∂x∂x 2(2.2)∂ξ∂ 2ξ l 2= ξ ( x − l , t ) ≈ ξ ( x, t ) −⋅l + 2 ⋅ .∂x∂x 2(2.3)ξ n+1 = ξ ( x + l , t ) ≈ ξ ( x, t ) +ξ n−1Подставив (2.2) – (2.3) в (2.1), получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:∂ 2ξ kl 2 ∂ 2ξ.=⋅∂t 2m ∂x 2(2.4)∂ 2ξУчитывая, что коэффициент перед производнойимеет∂x 2размерность квадрата скорости, уравнение (2.4) можно записать так:2∂ 2ξ2 ∂ ξ=v ⋅ 2 ,∂t 2∂xгдеv2 =(2.5)kl 2.m(2.6)Это уравнение описывает распространение возмущений внашем одномерном кристалле.

Оно называется одномернымклассическим дифференциальным уравнением волны. Термин“классическое”40применяетсядлятого,чтобыподчеркнутьКолебания и волны. Волновая оптикаограниченный диапазон использования этого уравнения:тольков случае малых возмущений (квазиупругая сила), распространяющихсявнедиспергирующихсредах(объяснениеэтоготермина будет приведено ниже).В трёхмерном случае уравнение (2.5) следует переписать так:∂ 2ξ= v 2 ⋅ ∆ξ .2∂t(2.5,a)∂2 ∂2∂2 Здесь ∆ =  2 + 2 + 2  – оператор Лапласа.∂y∂z  ∂x§ 2. Уравнение волныУравнениемупругойволныназываетсясоотношение,описывающее зависимость смещения колеблющихся частиц откоординат и времени в явной форме.

В случае электромагнитнойволны, как будет показано ниже, вместо смещения в уравненииволны будут фигурировать напряжённость электрического ииндукция магнитного полей.Сначала будем предполагать, что для нашего одномерногокристалла (рис.2.1) в начале координат (х = 0) колебательноедвижение “первого” атома происходит по гармоническому закону:ξ(0,t) = A⋅cosωt.(2.7)Очевидно, что на соседние атомы будет действоватьгармоническаявозмущающаясиласчастотойω, и этовозмущение будет постепенно распространяться всё дальше от“начального” атома. Обозначим через v скорость распространенияэтого возмущения.

Тогда зависимость от времени смещенияатома, расположенного в точке с координатой х, можно,очевидно, представить в виде “запаздывающей” на время τ = x/vгармонической функции41.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги