§ 3 . Дифракция Фраунгофера на щели (1120489)
Текст из файла
Глава IV. Дифракция волнколебаний соединяет точки М 2′ и М2**)(рис.4.13), длина этоговектора минимальна и меньше, чем в отсутствии преграды.Дальнейшееприближениеэкранаведёткзатухающимосцилляциям освещённости в центре дифракционной картины.Очевидно, что качественно все происходит так же, как и придифракции Френеля на круглом отверстии (см.
§1), только теперьсимметрия дифракционной картины иная.Характер пространственного распределения интенсивностипо всему экрану (справа и слева от центральной полоски)качественно такой же, как и от круглого отверстия. На экраненаблюдается система светлых и темных областей, симметриякоторыхсоответствуетсимметриипрепятствия.Вслучаедифракции на щели дифракционная картина представляет собойсемейство светлых и темных полос, параллельных щели.
Точныеположениямаксимумовиминимумовинтерференциипридифракции света на щели зависят от длины световой волны,шириныщелиирасстоянияотщелидоэкрана.Соответствующие соотношения для одного наиболее важногочастногослучаядифракциинащелибудутполученывследующем параграфе.§ 3. Дифракция Фраунгофера на щелиТермин «дифракция Фраунгофера» принято использовать,когдаисточниксветаиэкран,накоторомнаблюдаетсядифракционная картина, находятся на большом расстоянии отпрепятствия.Вэтомслучаенапрепятствиепадаютпараллельные лучи света, а освещённость в каждой точке**)При этом щель “вмещает” приблизительно по две “правых” и две “левых” зоны Френеля–Шустера,104b ≈ 2h2 = 2 2lλ ; расстояние до экрана l = b2/8λ.Колебания и волны. Волновая оптикадифракционнойкартиныестьрезультатсложенияволн,распространяющихся в одном направлении. В этом смыслеговорят, что дифракция наблюдается “в параллельных лучах”.
НапрактикедлянаблюдениядифракцииФраунгоферапрепятствием обычно ставят собирающую линзу, азаэкранрасполагают в её фокальной плоскости – см. рис. 4.15.Рассмотримсначаладифракцию Фраунгоферана щели шириной b, накоторую перпендикулярнокнейпадаетϕλOплоскаяволна, длина которой λ. Изсоображенийочевидно,чтоЭFbsinϕB•B1симметрииинтерфе-ренционная картина придифракции монохромати-Рис. 4.15ческого света на щели будет представлять собой семействотёмных и светлых полос, параллельных щели. Для того чтобыопределить точный вид дифракционной картины, воспользуемсяметодомвекторныхдиаграмм.Разобьёмволновойфронт,совпадающий с плоскостью щели, на много (n) одинаковых узкихполосок, параллельных краям щели.
В соответствии с принципомГюйгенса-Френеля, каждая такая полоска может рассматриватьсякак самостоятельный источник “вторичных” волн (в данномслучае вторичные волны не сферические, как для точечныхисточников, а цилиндрические).Рассмотрим семейство лучей, соответствующих волнам,распространяющимся от всех вторичных источников в одномнаправлении, составляющем угол ϕ с нормалью к плоскости щели105Глава IV. Дифракция волн(и с направлением падающего на щель света).
Поскольку всеполоски, на которые разбит волновой фронт в области щели,имеют одинаковую площадь, интенсивность вторичных волн,испускаемых каждой полоской, одинакова. В центральную точкуэкрана В (ϕ = 0) все n волн приходят, пройдя одинаковый путь,поэтомуихамплитудыивточкеВодинаковы.векторовамплитудrнапряженности электрического поля Еi от каждой полоски вrцентре экрана и все векторы Еi “выстраиваются” вдоль однойСоответственно,прямой–одинаковафазырис.4.16,а.длинаРезультирующееколебаниеn rrамплитуду, равную длине суммарного вектора E0 = ∑ Еi .имеетi =1Будем постепенно удаляться от центра дифракционнойкартины, т.е. рассматривать лучи, распространяющиеся отвторичных источников под всё большими углами дифракции ϕ.Теперь между колебаниями, приходящими от разных вторичныхисточников (полосок) в данную точку экрана, будет “набегать”определённая разность фаз.
В частности, на рис.4.16,б показанавекторная диаграмма для достаточно малого угла дифракции ϕ,когда разность фаз колебаний от первой и последней полосокrr(угол между первым и последним векторами – Е1 и Еn ) равнаприблизительно π/4. Длина результирующего вектора при этомменьше величины Е0, задающей длину дуги. Рис.4.16,в помогаетпонять,какимобразомможнорезультирующего вектора колебанийrЕϕопределитьдлинуи, следовательно,освещённость, при произвольном значении угла дифракции ϕ впределах центрального максимума (чуть позже мы определим егоrграницы). Длину вектора Еϕ можно найти, например, по теореме106Колебания и волны. Волновая оптикаrЕ0аrЕiвдлина дугиE0rЕϕ∆αnбrЕ1∆αnrЕn∆αn = π/4Рис.4.16косинусов из треугольника, показанного на рисунке.
Две другиестороны этого треугольника (радиусы окружности) легко выразитьчерез Е0 и угол ∆αn. В свою очередь ∆αn – это фазовоезапаздываниеколебаний,приходящихотn–гоисточникаотносительно первого. На рис.4.15 показана разность хода междуволнами, испускаемыми“крайними” вторичными источниками∆ = bsinϕ. При этом нужно иметь в виду важное свойство линзы,называемое таутохронизмом – линза не вносит дополнительнойразности хода между отдельными лучами проходящего сквозьнеё параллельного пучка света.
Значит, искомый сдвиг фазмежду крайними лучами, идущими от щели под углом ϕ кнормали, равен∆α n = 2πb sin ϕλ.Например, при выполнении условия bsinϕ = λ/2 разность фазrrмежду колебаниями Е1 и Еn равна π – на векторной диаграммедуга имеет вид полуокружности. Амплитуда результирующегоrвектора Е (π ) при этом вычисляется особенно простоЕ (π ) =2 Е0π≈ 0,64 Е0 .107Глава IV. Дифракция волнИнтенсивность света пропорциональна квадрату амплитудыπнапряжённости, поэтому I( ) ≈ 0,4 IВ, т.е. освещённость в данномслучае(на“плече”центральногомаксимума)составляетпримерно 40% от освещённости в самом центре дифракционнойкартины.Придальнейшемувеличенииугладифракцииϕинтенсивность монотонно уменьшается, пока нестановится минимальной при выполнении условияrbsinϕ = λ.
Разность фаз между колебаниями Е1 иrЕn достигает при этом 2π – векторная диаграммапервый минимумsinϕ = λ/bРис.4.17имеет вид, представленный на рис. 4.17.При ещё больших углах дифракции наблюдается чередованиевсё более слабых максимумов и минимумов освещённости –векторная диаграмма будет “свиваться” в спираль, длинарезультирующего вектора то возрастает до размеров диагонали,то убывает почти до нуля – см. табл.4.1.Таблица 4.1.bsinϕ0классификациянулевоймаксимумвекторныедиаграммыАмплитудаИнтенс.rЕ0E0I0 ∼ Е02±λ/2±λплечо нул.
первыймаксимум минимум±2λ±5λ/2первыймаксимумвторойминимумвтороймаксимумrЕ1rЕ0′2E00≈ 0,4 I00Е 0′ =±3λ/2π2 E03π00,045 I00Е0′ =Е 0′ =2 E05π0,016 I0Над каждой векторной диаграммой приведена величинаразности хода для крайних лучей; под каждой диаграммой –длина результирующего вектора и интенсивность света. Надопомнить, что неизменной остаётся полная длина спирали – Е0,следовательно постепенно уменьшается её “диаметр”.108Колебания и волны. Волновая оптикаIs in ϕРис.4.18- 2 λ /b - λ /bСоответствующая0зависимостьλ /b2 λ /bизмененияосвещённостиэкрана от синуса угла дифракции представлена на рис. 4.18.Точное аналитическое описание зависимости интенсивности отугла дифракции мы приводим в разделе «Дополнительныеглавы» – см.
соотношение (6.9,а).Минимумыосвещённостинаэкраненаблюдаютсяпривыполнении условия:bsinϕ = ± mλ,m = 1, 2, …(4.13)Как мы увидим в дальнейшем, угловое положение первогодифракционного минимума sinϕ 1 = λ/b является наиболеехарактерным параметром дифракционной картины от щели.Именно этот параметр определяет протяжённость центральной,наиболее освещённой, области экрана.Запишемусловиянаблюдениявсехмаксимумовm = 1, 2, …(4.14)дифракционной картины от щели:bsinϕ = 0, ± (m + ½)λ,Число m в условиях (4.13) и (4.14) называется порядкомсоответствующего минимума или максимума в дифракционнойкартине. Используя метод векторных диаграмм, можно показать,что интенсивность “боковых” максимумов Im связана с интенсивностью в центре дифракционной картины I0 (ϕ=0) соотношением:109Глава IV. Дифракция волнIm = I0⋅ [(m + ½)π]-2.(4.15)Отметим, что центральный максимум в два раза шире, чемвсеостальные,аегомаксимальнаяинтенсивностьприблизительно в 25 раз больше, чем двух соседних.
Поэтомупочти вся энергия светового потока, проходящего через щель,сосредоточена в области центрального (“нулевого”) максимума.Взаключениеэтогопараграфаподчеркнёмдваобстоятельства:1) положения минимумов и максимумов (кроме центрального)зависят от длины волны, т.е. щель является простейшимспектральным аппаратом;2) для наблюдения дифракции Фраунгофера использованиелинзы необязательно, необходимо лишь, чтобы экран находилсядостаточно далеко от щели (более строгое количественноеопределение условий наблюдения дифракции Фраунгофераобсуждается в следующем параграфе).110.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
