XVII Математическая статистика (1081432), страница 20
Текст из файла (страница 20)
41 Минимально необходимый объем наблюдений, определенный с использованием оптимального критерия Неймана — Пирсона, не может быть улучшен (уменьшен) в ситуации, когда объем выборки фиксируется и задается заранее, до наблюдений. Тем не менее средний объем наблюдений может быть 4.5. Сложные параметрические гппотеэы 171 уменьшен при тех же значениях вероятностей совершения ошибок первого и второго рода в последовательной схеме наблюдений, когда решение об остановке наблюдений принямается по ходу процесса наблюдений, в зависимости от получаемых данных (см.
4.6). 4.5. Сложные параметрические гипотезы Предположим, что требуется проверить две сложные гипотпезы Но. йбтсте, Нт. 8ЕОм (4.13) где Оо, От — некоторые непересекающиеся области значений параметра й. Например, области сто, стт могут быть заданы неравенствами й < йо и й ) йт, где йо и йт — некоторые фиксированные значения параметра, удовлетворяющие неравенству в <в,. Критерий проверки сложных гипотез (4.13) по~трежнему задается с помощью критпического лтпожестпва И' реализаций случайной выборки Х„, на основе которого решение прянимают следующим образом: — если реализация к„случайной выборки Х„прянадлежит критическому множеству Ит, тогда основную гипотпезу Но отвергают и принимают альтперпаптивиую гипотпезу Нт,. — если реализация У„случайной выборки Х„не принадлежит критическому множеству И', тогда отвергают зльтерна тинную гипотезу Нт и принимают основную гипотезу Но.
Вероятности совершения оитибок первого и втпорого рода в случае сложных гипотез имеют прежний смысл и определяются выражениями о(й) =Р((Хт, ..., Х,) Е Ит! й), убого, ,9(й) = Р((Хд, ..., Хп) Е Ж ~ й), й Е От. 172 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ о = шаха(В) леэо называют размером критперил. Функцию М(д) = Р((ХО '..., Х ) Е И' ~ д), определяющую значение вероятности отклонения основной гипотезы Но в зависимостн от истинного значения параметра В, называют функциеб мощноскли нринзерил.
Если существует критерий, который при данном фиксированном размере а максимизирует функцию мощности М(д) по всем возможным критериям одновременно прн всех д из множества Оы то такой крилиериб называют равномерно наиболее мощным. Равномерно наиболее мощные критерии существуют лишь в не. которых частных случаях прн проверке гипотез относительно одномерных параметров (см. примеры 4.10-4.12). Вероятности совершения ошибок первого и второго рода связаны с функцией мощности следующими соотношениями: о(д) = М(д), д Е Оо~ (4.14) Р(В) = 1 — М(В), В Е Е,. (4.15) Тем самым равномерно наиболее мощный критерий, если он су- ществует, минимизирует вероятность совершения ошибки вто- рого рода,б(о) (при фиксированном размере о) одновременно при всех д е 9~. Замечание 4.1. Формально равенства (4.14), (4.15) справедливы прн всех возможных значениях д, но при значениях д, отличных от указанных в (4.14), (4.15), величины а(д),,0(д) В отличие от случая простыл гипогпез, величины а(д), ~3(д) являются некоторыми функциями от параметра д.
Максимально возможное значение вероятности совершения ошибки первого рода 4.$. Сложные параметрические гипотезы 173 теряют свой смысл — вероятностей совершения соответствую- щих ошибок. Иногда наряду с функцией мощности используется также оператпивиая характперистпика критпери. ° л(д) = Р((Х), ..., Х„) Е И" ~ д), представляющая собой вероятность принятия основной гипотезы Но при условии, что истинное значение параметра равно д. Нетрудно увидеть, что оперативная характеристика и функция мощности связаны соотношением а(д) =-1 — М(д).
Построение критериев для проверки сложных параметрических гипотез проиллюстрируем далее для случая нормальной модели. Пример 4.10. Рассмотрим проверку простой гипотезы Но. р = по против сложной гипотезы Н1. р > ро относительно параметра — среднего 1л нормального распределения прн известной дисперсии аэ. При любом п1 > ро критическая область оптимального наиболее мощного критерия Неймана — Пирсона размера а для простых гипотез р = до против р = р1 имеет вид (4.1), где константу С выбирают нз условия (4.2) илн (4.3).
Пазтому она не зависит от 1л1. Это означает, что построенный уже выше для укаэанных простых гипотез критерий с критическим множеством, задаваемым неравенством (4.1) (4.16) является равномерно наиболее мощным критерием размера а для данной задачи со сложной альтернативной гипотезой И;. р> р,. Пример 4.11. В условиях предыдущего примера рассмотрим проверку простой гипотезы Не. '1л = по против сложной гипотезы Н1.
и ( до. 174 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В зтом случае, используя результаты, полученные прн рассмотрении примера 4Л, приходим к выводу, что равномерно наиболее мощный крнтернй размера о для данной задачи задается критическим множеством, определяемым неравенством Пример 4.12. В условиях примера 4.10 рассмотрим проверку двух сложных гипотез вида Нсл п<р„Н,: Р>п„ (4.17) где до < р~. Заметим, что для критерия с критическим множеством (4.16) вероятность совершения ошибки первого рода есть возрастающая функция переменного и. Тем самым максимальное значение вероятности совершения ошибки первого рода, определяемое как о = шах о(д), и4ио достигается в точке и = де, откуда следует, что данный критерий, применяемый к сложным гипотезам (4.17), имеет размер = (Ро).
Рассуждая далее так же, как в примере 4.10, получаем, что указанный критерий с критической областью (4.16) является равномерно наиболее мощным критерием для данной задачи со сложными гипотезами. Пример 4.13. Рассмотрим проверку гипотез относительно параметра нормального распределения и следующего вида: Но. И=до, Н1. И76РО (по-прежнему предполагаем, что дисперсия ~тз известна). 4.$. Сложные параметрические гзшотезы 175 Х-р, а которая имеет стандартное нормальное распределение. Кри- тическое множество для проверки указанных гипотез Не, Н~ определим следующим образом: Соответствующий критерий по построению имеет вероятность совершения ошибки первого рода а. Пример 4.14. Рассмотрим проверку двух сложных гипотез (4.18) Но: р = до~ Нт: р > ро относительно параметра р нормального закона распределения в случае, когда дисперсия пг неизвестна. В отличие от примера 4.10 гипотеза Не также является сложной.
При и = до статистика (4.19) имеет распределение Стьюдектиа с и — 1 сшепеклжи свободы (см. Д.3.1). Исходя из этого получаем, что критерий с уровнем значимости о для гипотез (4.18) задается критическим множе- ством , ~/и > 1т (и — 1), 51Я„1 где 1~ (и — 1) — квантиль уровня 1 — о распределения Стьюдента с п — 1 степенями свободы. В этом случае основная гипотеза Нв является простой, а альтернативная гипотеза Н~ является сложной.
При р = ро рассмотрим сткапгисшику 176 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Аналогично на основе статистики (4.19) строят критерий для проверки сложных гипотез (4.20) Н,: р=р„н,: п<р или Но. 'Р=ро Нг:,и~до. (4.21) Для гипотез (4.20) критерий размера а задается критическим множеством, определяемым неравенством Для гипотез вида (4.21) критерий размера о задают критиче- ским множеством, определяемым неравенством Пример 4.10. Рассмотрим проверку гипотез о равенстве математических ожиданий для двух различных нормальных распределений.
Пусть определены две случайные выборки (Хг, ..., Х„) и (Уг, ..., У ) объемов и и т вз генеральных совокупностей независимых случайных величин Х Ж(смог~) и У Ж(рг,пгг) соотнетственно. Рассмотрим следующие задачи проверки сложных гипотез относительно паРаметРов Иы,иг в слУчае, когДа дисперсии о, ог известны: г г Но: И =Иг Нг: И >Иг (4.22) Но: Рг = Иг Нг: Р~ < Рг; (4.23) Но: И = Иг Нг: р~ ~ Рг (4.24) Разность выборочных средних Х вЂ” У имеет нормальное распределение с математическим ожиданием И~ — рг и дисперсией 177 4.а Слолатые иеоеиетоичеекие гипотезы тт12/и+ ттгг~ттт. Отсюда следует, что при справедливости основ- ной гипотезы, т.е. при р1 — — рг, статистика Х-У (4.25) имеет стандартное нормальное распределение.
Исходя из это- го, заключаем, что критерии размера о для указанных задач задаются критическими множествами Рассмотрим также задачу проверки гипотез (4.22) — (4.23) о равенстве средних двух нормальных распределений в предположения, что их дисперсия не известны, но равны между собой: тт1 — — ттг — — <т. Обозначим через п ит Яг(Х„) = — ~~~ (Х; — Х)', 4(У" ) =, ~~~ (11 — 1')' т=1 1=1 соответствующие исправленные оценки дисперсии.
Статистики (и — 1)512(Хи)/<тг и (т — 1)522ф„)~ттг имеют Хг-распределеиил с и — 1 и тп — 1 степенями свободы. Тем самым статистика (и 1)~1 (Хи) (тт1 1)~2(' ти) 2 + 2 имеет также Хг-распределение с и+ та — 2 степенями свобо- ды (см. Д.3.1). Учитывал, что случайная велячина (4.25) при р1 = рг имеет стандартное нормальное распределение, получа- ем, что статистика [» — »1 яг иФ ай~в 1+ — ( — 1)ЯДХ„)+( — 1)52(1» ) х-у . ° П1 — а~ 02 02 + 2 я тп й-р кп -а т ,тг,тг — +— 1 2 и ттг (*-И > п1-а/2 41 Ог ттг + г 178 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРА МЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ имеет распределение Стьюдента с и+ па — 2 степенями свободы (см. Д.З.1). Поэтому критерии размера о для проверки гипотез (4.22) — (4.23) задаются с помощью критических множеств, определяемых следующими неравенствами: Т(х„, у ) ) ~1 „(п+ т — 2), Т(х„,у ) ~ — 1г (и+го — 2), ~Т(х„,у,„Я ) С, 7з(о+т — 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
