XVII Математическая статистика (1081432), страница 22
Текст из файла (страница 22)
186 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ имеющих биномиальное распределение. Пусть 6„— индикатор отказа злемента на и-и шаге (исход и-го испытания), принимающий значения О или 1 с вероятностями Р(6 = О) = 1 — д и Р(б„= 1) = д, где д — вероятность отказа. Требуется по результатам наблюдений проверить гипотезы Но: 4 =4о, Н1: д=дм р(61,д~) р(6з1д1)...р(5п~~сл) р(6~;4о) р(6 '4е) ".Р(6 '4о) где случайная величина В„= 61 + 6з+... + 6„есть суммарное число отказов за п шагов. Пусть 6„— значение случайной величины В„.
Область продолжения испытаний (4.26) для критерия Вальда задается неравенствами В<( — ) ( — ) <А, которые после простых преобразований сводятся к неравенствам С1н — Сзб < Н„< С~п+Сза, (4.49) где а =1пА) О, б= — 1пВ) О, 1 Сз = 1п п1 01 40(1 — е 1 С1 = Сз1п 1 — 4о 1 — В где до и д1 — заданные критические уровни показателя д, удовлетворяющие условию до < д1.
В данном случае параметром является д = д, наблюдаемой на и-м шаге случайной величиной — Х„= 6„, а закон распределения имеет вид р(6Р4) = дл(1 — д)~ л, где 6 принимает два значения О и 1. Отношение правдоподобия на и-м шаге испытаний имеет вид е.б. Посеедоиаттльиый критерий отиопииии преедоподобие 187 Испытания продолжаются, если выполняются оба неравенства (4.49) в прекращаются на том шаге и = в, на котором впервые нарушается хотя бы одно иэ этих неравенств.
При нарушении левого неравенства принимается решение о справедливости гипотезы Но. .д = 4о. При нарушении правого неравенства принимается решение о справедливости гипотезы Н1. д = о1 . Таким образом, границы области прекра- ти щения наблюдений имеют вид прямых линий на плоскости (и, д„) „с'Р (рис. 4.2), которые определяются уравнениями: а) 4 = С1в — Сзб — граница, Я ' ' ~ ~о „области принятия" гипотезы Но.
..'ф.' Ь» б) И„ = С1в + Сза — граница „области принятия" гипотезы Н1. Рис. 4.2 В биномиальной схеме испытаний случайная величина (4.34) имеет вид Я(6) = !п ' = Б!и — + (1 — 6)1п— р(б; о1) о1 1 — Е р(6; 4о) 4о 1 — 4о откуда, учитывая, что МеБ= 4о, М1б= ды получаем Формулы (4.41) — (4.43) для среднего объема испытаний при 4 = де и д = д1. Мое =, М1, ( .50) Р(В В) Р(91 В) где р(4о,д~) = бо!и — + (1 — 4В)!и— Чо 1- до Ч1 1 — о1' Пример 4.17. В эксперименте наблюдают последовательность независимых случайных величин 188 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ имеющих энспоненциольный занан распределения с парамет- ром Л. Требуется на основе наблюдений проверить следующие гипотезы относительно параметра Л: (4.52) Но.
.Л = Ло, Н1.. Л = Лм где Ло < Л1. В этом случае отношение правдоподобия на и-м шаге испытаний имеет вид р(Х,;Л,) р(Х,;Л,)...р(Х„;Л,) р„(х„...,х„) р(Х11Ло) р(Хз, .Ло)... р(Х„; Ло) ъп ~я)я» Н< 1 -(л-л).<А ~Л,) ' илн (4.53) С1 и — Сза < л„< С~п+ СзЬ где а=!вА, Ь= — 1пВ, Сз =, С1 = Сз1п —.
л, (4.54) Л1 - Ло' Ло Испытания продолжают, если выполняются оба неравенства (4.53), и прекращают при первом нарушении хотя бы одного из этих неравенств. При нарушении правого неравенства в (4.53) принимают решение о справедливости гипотезы Не, а при нарушении левого — решение о справедливо- где случайнал величина о'„= Хя +... + Х„представляет собой сумму результатов наблюдений за и шагов, а л„— ее реализа- ция. Область продолжения испытаний для критерия Вальда в данном случае задается неравенствами 4.6.
Посяедоватеяьиый вритерий отношения правдоподобия 189 сти гипотезы Н~. Границы области прекращения наблюдений, как и в ~>,ф;, предыдущем примере, также имеют вид прямых линий на плоскости (о, в„) (рис. 4.3), зти ляпин зада- (граница „области принятия" ги- ,%; потезы Но) и я„ =С~в — Сга (гра- > ница „области принятия" гипоте- Рие.
4.3 зы Н~). Оценим средний объем испытаний. Случайная величина (4.34) в данном случае имеет вид Я(Х) =1п ' =1п — -Х(Л,-Л,). р(Х;Л1) Л1 р(Х; Ло) Ла Учитывая, что Мо Х = 1/Ле, М~ Х = 1/Лм получаем формулы для среднего объема испытаний (4.41) — (4.43) при- Л = Ло и Л=Л: ( .11) о, ) ~(Л, Л,)' '" ~(Л, Л,)' где л,— л л, р(Ле, Л~) = — 1п —.
Ло Ло Приведем далее численный пример, иллюстрирующий выигрыш в среднем объеме испытаний, который дает последовательный критерий Вальда по сравнению с овптииадьиыи иришериеи Неймана — Пирсона с детерминированным объемом испытаний. Пример 4.18. Пусть в условиях примера 4.14 требуется проверить гипотезы (4.52) относительно параметра интенсивности отказов, где критические уровня равны Ле — — 0,1 и Л~ =0,2.
Заданные значения рисков первого и второго рода равны о = 0,1 и 11 = 0,1. 190 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Ро(5~(Х~) < С) < о, Р, (5„(Х„) > С) < )1. Эти неравенства могут быть записаны в виде Ро(2Ло5„< 2ЛоС) < а, Рз (2Ль5„> 2ЛзС) < ~3, или, учитывал, что случайная величина 2Л5„(Х„) имеет Хз-рас- пределение с 2п степенями свободы (см.
Д.З.1), в виде Хз(2ЛоС,2п) < о) 1 — Л~(2ЛзС,2п) < 11, где Хз(х,2п) — плотность Лз-распределения с 2п степенями свободы. Отсюда после преобразований получаем, что необ- ходимый объем испытаний и' является минимальным целым числом и, удовлетворяющим неравенству Х, д(2п) < — 'Х (2 ). Ло По таблице квантилей Лз-распределения (см. табл. П.З) находим и = ппп (п: Хо э(2п) < 2Л~ з(2п) ~ = 15. Если номер шага прекращения наблюдений (объем испытаний) определен заранее и является детерминированной величиной: и = п, то наилучший для этого случал критерий Неймана — Пирсона имеет следующий вид: — если л„< С, то принимают гипотезу Н3,. — если л„> С, то принимают гипотезу Но.
Здесь л„— значение случайной величины 5„= Хз+ ... ... +Х„. Риски первого и второго рода для этого критерия равны соответственно следующим вероятностям: Ро(5„< С) и Р~(5„>С1. Тем самым объем испытаний п' = п'(о„В), необходимый для того, чтобы обеспечить заданные значения рисков о,,б, определяется как минимальное целое число и, удовлетворяющее двум неравенствам 191 4.Т. Решение типовых примеров р (1 — сх) !и:+ се!и Мои — 1 — 1 — !и — 1 л ле (1- ~3) 1п:+,8!и а М1р ле — ' — 1 — !и — ' л л1 ! д 0,91п 9 — 0,1!п9 1 — !п2 й а 0,9!п9 — 0,11п9 !и 2 — 0,5 Таким образом, при Л = Ло и Л = Л1 выигрыш в среднем объеме испытаний, который дает последовательный критерий Вальда по сравнению с детерминированным объемом испытаний и', равен соответственно и' 15 — — = 2,63, Мор 57 и' 15 — и — = 1,63.
М1р 92 4.Т. Решение типовых примеров Пример 4.19. Для выборки объема и = 9 построить оптимальный критерий Неймана — Пирсона для проверки двух простых лииотез относительно параметра р нормального рас- яределения Но: р= ро =53, Н1. .р =р1 — — 54 с заданным уравнен значи.ности (вероятностью ошибки нереого рода) сх = 0,1 при известкой дисперсии аз = 16. Для построенного критерия найти вероятность ошибки етороео рода !! и мощность критерия. Решение.
В соответствии с результатами примера 4.4 критическое ннозсество задается неравенством (4.56) Применяя далее формулы (4.55), находим средний объем испытаний при Л = Ло и Л = Л1 для последовательного критерия Вальда (при тех же значениях Ло, Лы ех, 11): 192 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ где константа С выбирается иэ условия обеспечения заданного уровня а = 0,1: С = про + вг-а с~4и = 9 . 53+ 1,28 . 4 - 3 = 492 4. Для построенного критерия с критическим множеством 14.56) вероятность ошибки второго рода равна Ф(С-пег) ф(4924 — 9.54) =О, 6. Мощность критерия равна 1 — ф = 0,24.
Значение мощности невелико, что объясняется в данном случае относительно малым объемом выборки п = 9. Пример 4.20. В предыдущей задаче найти минимально необходимый объем выборки и', позволяющий обеспечить заданные значения вероятностей ошибок о = 0,1, )3 = 0,1. Построить соответствующий оптимальный критерий Неймана— Пирсона в этой ситуации. Решение. В соответствии с результатами примера 4.8 ог(иг +ил д)г 16-11,28+1,28)г )г Гг Оптимальный критерий Неймана — Пирсона в этом случае задается с помощью критического множества где константа С определяется из равенства 14.4): С = п"до+ и1 о~(п' = 570,4.
Пример 4.21. Партии волокна испытываются на прочность, прн этом предел прочности Х распределен по нормальному закону с дисперсией ог = 9. Партия считается удовлетворительной, если среднее значение предела прочности входящих 4.7. Решениетиповых примеров в партию образцов р = МХ ) 14, и неудовлетворительной, если р < 10. Из каждой партии на испытание ставится и образцов, для которых измеряют значения их прочности хы ..., х„. Требуется проверить по результатам испытаний две слозкные гипотезы Но.. р > 14, Н1. р < 10 с заданными максимальными вероятностями ошибок о = 0,1, Д = 0,05. Для этой ситуации необходимо решить следующие задачи: — найти необходимый объем выборки и", при котором могут быть обеспечены данные значения о,,8; — построить равномерно наиболее мощный критерий при найденном объеме выборки; — для построенного критерия найти функцию мощности и оперативную характеристику.
Решение. Для решения поставленных задач используем результаты 4.3-4.5. Необходимый объем выборки находим по формуле (4.11): 2( + )2 Ь~ - ро)з Равномерно наиболее мощный критерий совпадает с оптимальным критерием Неймана — Пирсона для двух простых гипотез Но.. р = 14, Н1 . .р = 10. Соответствующее критическое множество задается неравенством (4.16): ее х;<С, где С = и'ро — и1 п~/и', откуда С = 61,4. Функция мощности (вероятность отвергнуть гипотезу Но) в данном случае имеет вид и М(р) =Р(~Ь Х;<С~р) =Ф( ). 1=1 Оперативная характеристика критерия 5(~и) = 1 — М(,и). 194 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Пример 4.22. В условиях примера 4.7 найдем минимальный объем выборки, если Но.
р = ре — — 0,1, Н1. р = рю = 0,2, о=0 01 и ~9 =0 05. Решение. По таблице квантилей нормального распределения (см. табл. П.2) находим в1 —— иоде= 2,33, ид = ио,ел = = — води = — 1,65. Далее, используя (4.12), получаем (2,33~/бД 0,9+ 1,65~/0,2. 63) (0,2 — 0,1)з Пример 4.23. В цехе завода выпускают валы электродвигателей. Из продукции одного станка произвольно выбирают 50 изделий, измеряют их диаметры и вычисляют значение выборочного среднего г = 42,972 мы. По техническим условиям станок настраивается на номинальный размер 43мм. Можно ли на основании полученных результатов сделать вывод о том, что станок обеспечивает заданный номинальный размер, или полученные данные свидетельствуют о неудовлетворительной наладке технологического оборудования.
Контролируемый признак имеет нормальное распределение,оз = 0,01ммз. Решение. Для оценки правильности настройки оборудования необходимо проверить гипотезу Не. и = ро — — 43мм о математическом ожидании нормально распределенной генеральной совокупности Х (оз известна) при альтернативной гипотезе Н1. и ф 43мм, выбор который объясняется тем, что станок можно настроить на размер как выше, так и ниже номинального. Выбираем уровень значимости а = 0,05. Для рассматриваемых гипотез при о = 0,05 критическое множество имеет вид (см. пример 4.13) ~/в~ ) 1,96, где 1,96 — кваитиль «1 /з — — нодтз стандартного нормального распределения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
