XVII Математическая статистика (1081432), страница 21
Текст из файла (страница 21)
4.6. Последовательный критерий отношения правдоподобия Во многих случаях на практике наблюдения проводят последовательно. При этом статистическая информация поступает не один раз, а последовательными порциями данных. Предположим, что наблюдается последовательность независимых одинаково распределенных непрерывных случайных величин Хь ..., Х„, ..., каждая из которых имеет плотность распределения р(х;В), где  — некоторый параметр, значение которого не. известно. На основе результатов наблюдений хь ..., х„, ...
нужно проверить две проствые гипотезы Не. В = Ве и Н1. В = Вь где Ве, В1 — некоторые заданные значения параметра. В рассматриваемой ситуации количество наблюдаемых случайных величин (и тем самым объем выборки) не фиксируется заранее, а определяется по ходу наблюдений, в зависимости от получаемых данных. Последооательныб мригперий отноигеиил правдоподобия (иритперий Вальда" ) строят следующим образом. На очередном и-м шаге наблюдений, исходя из полученных результатов наблюдений хь ..., х„, вычисляют р(хПВ1) р(хз,В1)...р(х„;В1) р(х1,.Во) р(хз,.де)...р(х„;Во) 'Сил Вальд А.
4.6. Последовательный критерий отношение нравдонодоонв 179 Эта величина имеет смысл значения отношения правдоподобия для гипотез Нд и Н| на и-м шаге наблюдений. На каждом и-м шаге проверяют следующие два неравенства: В «р„(хм...,х„) < А, (4.26) где В и А — некоторые заданные константы, удовлетворяющие условию 0 < В < 1 < А. Если оба неравенства (4.26) выполняются, то наблюдения продолжают, т.е. осуществляют наблюдение следующей случайной величины Х„+1.
Другими словами, неравенства (4.26) задают „область продолжения наблюдений" для критерия Вальда. Наблюдения прекращают при первом нарушении хотя бы одного неравенства (4.26). При нарушении левого неравенства принимают гипотезу Но. При нарушении правого неравенства принимают гипотезу Н1. Таким образом, номер и шага, ва котором прекращают наблюдения для критерия Вальда, определяют из равенства и = ш!п(и: ср„(хм...,х„) ф (В, А)). (427) Вектор результатов наблюдений для любого последовательного критерия, и в том числе для критерия Вальда, имеет вид (и, хл, ..., х„), где и — номер шага, на котором прекращены наблюдения, хм ..., х — совокупность всех результатов наблюдений.
Для критерия Вальда правило принятия решения по результатам испытаний хм ..., х„имеет следующий ввд: — если ~р~(х~ ° .,хи) < В, то принять гипотезу Но, — если !о„(хм...,х ) ) А, то принять гипотезу Н1. Вероятности совершения ошибок первого и втиорого рода (риски первого и втиорого рода) для этого критерия равны соответственно о=Р(~ре(Хм...,Хо) 3~А!Не), Д=Р(<ри(Хм...,Хи) ~<В! Н1) 180 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Значения рисков о, Д для критерия Вальда могут быть приближенно оценены с помощью следующих известных соотношений": — = м(д.(х„...,х„) ~ н.), д ~ = м(р„(х„...,х.цн,), (4.28) где М(<Р„(хм..., Х„) ) Н~) — условное математическое ожидание случайной величины ~р„(хм...,х„) при условии, что на шаге и (шаг, на котором прекращаются наблюдения) по результатам наблюдений хм ..., х„принято решение о справедливости гипотезы Н,, З = О, 1.
Из формул (4.28) можно получить соответствующие неравенства и приближенные оценки для значений рисков о,,0 критерия Вальда. Действительно, для критерия Вальда справедливы неравенства: а) 97„(хм ",х,) < В, если принята гипотеза Но, б) у„(хм...,х„) ) А, если принята гипотеза Н|. Поскольку для условных математических ожиданий справедливы аналогичные неравенства М(~Ри(хм'' ~хы))но) (~ Ну М(~Рр(хм ° ° -1хы))Н1) ~ )А1 Д 1 — Р— <В, — >А. (4.29) 1 — о о Множество точек плоскости (о, ~3), координаты которых удовлетворяют неравенствам (4.29), показано на рис.
4.1 штриховкой. 'С .:В ал. то с учетом (4.28) получаем известные неравенства для точных значений рисков о, Р' критерия Вальда 4.б. Последовательный критерий отношения правдоподобия 181 Из неравенств (4.29) следуют более грубые неравенства 1 А' (4.30) /3(В, которые также иногда используют при оценке рисков ся, р. Заметим, что для критерия Вальда наблюдения прекращают на шаге О 1/А 1 и и= в, на котором впервые происхо- Рие. 4.1 Дит выход значениЯ 1Р„(хы...,х„) из интервала (В,А), нли, другими словами, „перескок" значения 1о (хм--,х„) через уровень А (снизу вверх) или через уровень В (сверху вниз).
Пренебрежем указанным „перескоком", т,е. будем считать, что на шаге прекращения наблюдений выполняется одно из двух вриближеиных равенств фк(хм...,хя) ж В, если принята гипотеза Но, 1р„(хм...,х„) А, если принята гипотеза Нм Тогда из точных равенств (4.28) получим известные приближенные (с точностью до указанного „перескока") ровемства в аа: Р 1-11 =В, — ~А. (4.31) 1 — о се Эти приближенные равенства часто используют на практике для оценки значений рисков се, ~3. Поэтому, согласно (4.31), будем считать, что точные значения рисков ся, В удовлетворяют приближенным равенствам рисков о',,9' находятся из ра- где приближенные значения венств фФ =В, Оь (4.32) 'Смл Валье А. 182 4.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Таким образом, 6(А — 1) А — В ' 1 — В О А — В' где о, !3' — укаэанные выше приближенные значения рисков. Кроме того, неравенства (4.30) с учетом (4.32) могут быть записаны в виде Средний объем испытаний. Рассмотрим также вычисление среднего объема испытаний для критерия Вальда. В соответствии с (4.2Т) номер шага и прекращения наблюдений может быть представлен в виде дискретной случайной величины: и=пни(хс Я„ф ( — Ь,а)), где а = !пА > О, Ь = -!пВ > О, ߄— логарифм отношения функций правдоподобия на п-м шаге: р(х,;в,) р(х,;в,)...р(х„;в,) р(Х„.Во) р(х;,В,)...р(х„;В,) Введем случайные величины р(х;в,) У(Х) = )и (4.34) точка (о', 13') в плоскости (о, !3) находится на пересечении прямых линий Ц = 8 — Ва и ф = 1 — Ао (см. рис.
4.1). Как следует из рис. 4.1, точные значения рисков о,,3 критерия Вальда (они находятся внутри заштрихованной области) всегда удовлетворяют неравенствам 4.о. Последовательный критерий отиошеимл правдоподобия 183 Я(Х„)=1п ', в=1,2,... р(х„;в,) р(х„;в,) ' г„= г(х,)+... + г(х„). (4.35) Обозначим через Мои математическое ожидание объема испытаний (номера шага, на котором прекращаются наблюдения), если справедлива гипотеза Но.' В = Во.
В соответствии с (4.35) справедливо равенство М04, = Мо(~(хл)+".+аахм)), (4 36) где Мо — математическое ожидание при В= Во. Для мате- матического ожидания суммы случайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин" Мо(Я(хл) +...+ Я(Х„)) = Мои Мо У. (4.37) Для левой части равенства (4.36) имеем МоЯ =Ро(ЕЕо)Мо(Х ~Но)+Ро(Нл)Мо(У ~Нл) (4.38) где Ро(Н ) — вероятность принятия гипотезы НЕ, у = О, 1, прн условии, что истинной является гипотеза Но.
Таким образом, согласно (4.32) — (4.38) и определению ошибки первого рода, Мо Я„= (1 — сл) Мо (1п ~р„(хм..., Х„) ~ Но) + + оМо(1п ~р„(хы..., Х„) ~ Нл). (4.39) 'Смл Вальд А., а также: Швраее А.Н. В этом случае, согласно равенствам (4.32) — (4.34), случайная ве- личина Я„представляет собой сумму и независимых одинаково распределенных случайных величин Я(Х1), ..., Я(Х ), т.е. 184 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В результате из (4.37) и (4.40) получаем приближенное значение среднего объема испытаний при д = до: М,.= ("Р) Мо( — Я)' (4.41) где ю(а, д) = (1 — а) !и + а!и Р 1-11 Аналогично можно получить приближенное значение среднего объема М1 и испытаний при справедливости гипотезы Нм т.е.
при д=д1. М1 и Ю а) (4.42) М, (Е) С учетом (4.34) формулы для среднего объема испытаний могут быть также представлены в следующем виде: (а,11) юф, а) Мои ~,д ), М, и =, (4.43) где р(дм до) = М1 У = М1 )и р(х;д1) р(х;до) (4А4) Формулы (4.41)-(4.43) для среднего объема испытаний являются приближенными с учетом „перескока". Из равенства (4.39), пренебрегая снова указанным выше „перескоком" и используя приближенные равенства (4.31), получаем Р 1 — д МоЯ„ж (1 — а)!п — + а!и . (4.40) 1 — а а 4.а Посаедоиетееьный критерий отношение прандоподооик 185 Нижняя граница для среднего объема испытаний.
Из равенства (4.39) далее нетрудно получить также нижнюю границу среднего объема испытаний при данных фиксированных значениях рисков а, д. Учитывая, что функция !пи выпукла вверх [1Ц, и применяя неравенство Иенсена (ХЧН11 для математического ожидания от выпуклой функции, получаем Мо(!п~р„(Хп...,Х„)(Ну) < < !пМо(~р.(Х1 " Хк) ~ Н~), ! = О, 1- (4.45) Из неравенства (4.45) с учетом (4.39), (4.28) находим Р 1 — Р МоЯ„< (1 — о)!и — +о!и —, 1 — о о откуда с учетом (4.36), (4.37) получаем неравенство в(о, д) (4.46) Аналогично можно получить неравенство для среднего объ; ема испытаний при д = д|: и(11, о) М1и)~ М Я 1 (4.47) Пример 4.16.
Обратимся к биномиальной схеме испытаний и рассмотрим последовательность независимых случайных величин бы бз, ..., б, (4.48) Неравенства (4.46), (4.47) определяют нижние границы для среднево объема нспыепаниб при д = до и д = дв при заданных значениях рисков о, !3. Кзк следует из приближенных равенств (4.41), (4А2), средний объем испытаний для крнтеряя Вальда достигает нижней границы, указанной в (4.46), (4.47), по крайней мере приближенно (с учетом указанного выше „перескока").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
