XVII Математическая статистика (1081432), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Далее, если случайная величина ~ имеет гамма-распределение с параметрами Л, сх, будем использовать сокращенное обозначение с Г(Л, о). Теорема 3.1. Если две случайные величины (' Г(Л,о) и О Г(Л,~9) независимы, то С+О Г(Л,сх+Д). Е В соответствии с известной формулой свертки плотностей расиредедеиид, плотность распределения р~+„(1) суммы двух независимых случайных величин С и и имеет вид ю Рс+е(х) = Рс(х)ре(с х) ах> х > О~ о 146 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ где учтено, чтор4(х) =О при х < О и р„(С вЂ” х) =О при х >е. Прн х > О имеем рч(х)=Сах~ 'е ", р4(х) = С1х е где См Са — нормировочные формулам Л'" С = —, Г(а)' константы, вычисляемые по После простых преобразований получаем р4+„Я =С1Сае м х ~($ — х)~ ~их о и после замены х = и$ переменного под знаком интеграла при- ходим к равенству (3.11) где С вЂ” нормировочная константа: С=СаСа и" 1(1 — н)~ ~пи. о Доказательство утверждения теперь следует непосредственно из (3.11) и формулы Эйлера для бета- и гамма-функций [Ч11.
в Теорема 3.2. Если случайные величины С1, ..., („независимы, ~; Г(Л,ол), а=1,п, то(а+...+~„° Г(Л,о~+...+о„). Распределение Релеи. Пусть случайная велячина С имеет нормальное распределение с математяческим ожиданием и = О Из теоремы 3.1 легко получить следующее более общее утверждение. дить Необходимые сведение о некоторых раелредехеиихх 147 н дисперсией ггз. Тогда случайная величина ~з имеет расгхре- делемме Релея: (3.12) р(х) = для которого далее будем использовать сокращенное обозначение Сз ° Г(1/2ггз, 1/2).
Действительно, для функции распределения случайной величины сз при х > 0 находим где Рг(1) = Ф(1/гг) — функция распределения случайной величи- ны (, записанная через функцию и 1 г 2 Ф(и) = — / е ~г~гЬ /2~г ./ стандартного нормального распределения. Тем самым Р„(х)=Ф( — )-Ф( — )=2Ф( — )-1, х>О, ~/х /х откуда после дифференцярования получаем формулу (3.12) в случае х > О. Поскольку сз > О, имеем Р1х(х) = 0 при х < О. Распределение ~з. Пусть 6, сз, ..., (' — независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение. Тогда из теоремы 3.2 и распределения Релея следует, что 0+0+."+~' -Р4, — 2), 1 е 2ох, ггпу/2ях О, х>0; х<0, 3.
ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 148 т.е. плотность распределения случайной величины Я+Я+ .. ... +~~ имеет вид 1 х ~ е ~, х>0; р(х) = 2 ~зГ(т/2) О, х < О. Это распределение называют роспределекием Хз (хи-квадрат) или Хз-распределением с т степенями свободы. Для случайной величины С с Хз-распределением с т степенями свободы будем использовать сокращенное обозначение С ° Хз(т). Из теоремы 3.2 и установленной связи между распределением Хз и гамма-распределением вытекает следующее утверждение.
Следствие 3.1. Если случайные величины (и независимы, С; ° Хз(т;), 1= 1,п, то сумма этих случайных величин также имеет распределение Хз: 41+42+".+4и"' Х (т1+т2+" +та). Экспоненцианьное распределение. Частным случаем гамма-распределения при о= 1 является эмспомемцаальмое распределение, его плотность имеет вид Ле ", х>0; р(х) = О, х < О. (3.13) Экспоненциальное распределение часто используется в математической теории надежности, теории массового обслуживания и других приложениях. Распределение Эрланга.
Пусть ~м Сз, ..., ('„— независимые случайные величины, каждая из которых имеет экспоненциальный закон распределения (3.13). Из теоремы 3.2 следует, что сумма этих случайных величин имеет гамма-распределение: 5+сз+ ...+С„° Г(Л,п) (3.14) д.з.ь Необходимые сведении о некоторых распределениях 149 с плотностью л» х" е *, х>0; р(х) — (п — 1)! 0, х(0, которое называют распределением Эрлонво порядка и.
Замечание 3.1. Исходя из (3.14) нетрудно показать, что случайная величина Л(~1+... +('„), где ~м ..., ~„— независимые случайные величины, каждая из которых имеет экспоиенцизльный закон распределения 3.13, также имеет гамма-распределение: Лф+ ...+~„) ° Г(1,п). Учитывая указанную выше связь между гамма-распределением н распределением Хз, можно показать, что случайная величина 2Л(С1 +... +('„) имеет распределение ~з с 2п степенями свободы: 2Лф+...+~») ° Х~(2п). Этот факт используют, в частности, при построении доверительных интервалов для параметра Л экспоненциального распределения. О расиределеиии статистики Стьюдеита. При построении доверительных интперввдов для параметров нормального распределения использовалась статистика т Х-р,/-„— ~ 5(Х ) где Х вЂ” выборочное среднее, а Яз(Х„) — исправленная оценка дисперсии.
Покажем, что эта статистика имеет распределение Стьюдентв с п — 1 степенями свободы. Заметим, что выборочное среднее Х имеет нормальное распределение Ф(р,оз/и). Отсюда следует, что случайная 150 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ величина г= ",Г и имеет стандартное нормальное распределение. В то же время, случайная величина (и — 1)Я2ф„) п2 имеет распределение уя с п — 1 степенями свободы, причем случайные величины Я, 1' независимы*. Статистика Т далее может быть представлена в виде г Т = — 1/в — 1, /Р откуда с учетом определения распределения Стьюдента следует, что статистика Т имеет распределение Стьюдента с п — 1 степенями свободы.
Распределение са1ишера. Пусть случайные величины С, ц независимы и имеют распределение у2 с и и т степенями свободы соответственно, т.е. с у2(в), и у2(т). тогда 1пе случаинял величина ~Р = — имеет плотность распределения пп ив -1 х2 С 2;>0; Р()= ~1+ — ) ' х(0, О, где С вЂ” нормировочная константа, равная 'См., например, Рао С.Р. дльь Необходимые сведение о иеноторео«распределениях 151 Это распределение называют рискреде««екиед««сии«ера со степенями свободы и и «и. Бета-распределение. Плотность бе«ко-роскределеки.в (раскределекчиь бепза) с параметрами с«, 13 имеет вид Сх" (1 — х)д, х Е [О, Ц; р( )= О, хф[0, Ц, где С вЂ” нормировочная константа, равная С = 1/В(««„8), а В(о„8) — бета-функция. Соответствующая функция распределения при х > 0 имеет вид Ве(о,Р) В(о,Р) ' где В (««„9) = и ~(1 — и)д ~Ыи о иеколкол беоза-фукк«1и«я.
Заметим, что для неполной бета-функции справедливо следующее известное равенство: о« В (о«+1,и — т) = 1 — ~~«С'хз(1 — х)" ~, у=о где «и, и — целые числа. Это равенство, в частности, используется при построении стандартных доверительных границ Клоппера — Пирсона для параметра р биномиального распределения. Частным случаем бета-распределения при о = ~3 = 1 является равномерное распределение на отрезке [О, Ц.
152 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Вопросы и задачи 3.1. Что называют интервальной оценкой для неизвестного параметра распределения генеральной совокупности? 3.2. Что такое козффициеит доверия 1доверительная вероятность), нижняя и верхняя границы интервальной оценки неизвестного параметра? 3.3. Какую статистику называют центральной? 3.4. Какую статистику используют при построении интервальной оценки для параметра зкспоненцизльного распределения? 3.5.
Какую статистику используют для построения интервальной оценки для математического ожидания в случае нормальной модели при известной дисперсии? По какому закону статистика распределена? 3.6. Какую статистику используют для построения интервальной оценки для математического ожидания в случае нормальной модели при неизвестной дисперсии? По какому закону статистика распределена? З.Т.
Какую статистику используют для построения интервальной оценки для дисперсии нормально распределенной генеральной совокупностя? По какому закону она распределена? 3.8. На чем основан метод построения приближенной интервальной оценки для неизвестного параметра генеральной совокупности? 3.9. Какую статистику используют при построении приближенной интервальной оценки: а) для параметра биномиального распределения, б) для математического ожидания случайной величины? 3.10. В чем состоит метод доверительных множеств? 3.11. Что называют у-зоной для параметра д? 153 Вопросы и задачи 3.12.
Запишите уравнения Клоппера — Пирсона. Как их используют при построении интервальной оценки параметра бнномизльного распределения? 3.13. Постоянная величина измерена 25 раэ с помощью прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены по нормальному закону со средним квадратичным отклонением и = 10м.
Определите значения границ доверительного интервала для измеряемой величины при каирфициенте доверия 0,99, если У = 100 м. О т не т: значение нижней границы 94,9 м, верхней — 105,1 м. 3.14. Оценка измеряемой величины определяется формулой 1 Х=-~ Хь и и=1 Результаты отдельных измерений не содержат систематиче. ской ошибки и подчинены нормальному закону распределения со средним квадратичным отклонением о=2,1.
Определите интервальные оценки .7„с доверительной вероятностью 0,9 для значения измеряемои величины при различных объемах случайной выборки Х„: а) в=5, б) в= 10, в) в=25. Ответ: а) (Х вЂ” 1,55, Х+1,55); б) (Х вЂ” 1,09, Х+1,09); в) (Х вЂ” 0,69, Х+0,69). 3.15. Средняя квадратичная ошибка высотомера и = 15м. Сколько надо иметь таких приборов на самолете, чтобы с достоверностью 0,99 ошибка измерения средней высоты Х была меньше 30м? При этом случайные ошибки распределены по нормальному закону, а систематические ошибки отсутствуют. От ве т: на самолете должно быть не менее двух высотомеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
