XVII Математическая статистика (1081432), страница 18
Текст из файла (страница 18)
3.16. На основании 100 опытов было определено, что в среднем для производства детали требуется 1= 5,5с, а йоши = 1,?с. Сделав допущение, что время для производства детали распределено по нормальному закону, определите доверительный 154 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ интервал для математического ожидания производства детали с коэффициентом доверия 0,85. От вет: (5,25, 5,75). 3.17. По результатам измерений 100 резисторов, случайно отобранных из большой партии однотипных изделий, получена оценка сопротивления х = 10кОм. Найдите: а) вероятность того, что для резисторов всей партии значения сопротивления лежат в пределах (10 ~ 0,1) кОм (среднее квадратичное отклонение измерения известно: с = 1 кОм)," б) количество измерений, при котором с вероятностью 0,95 можно утверждать, что для всей партии резисторов значения сопротивления лежат в пределах (10 ~ 0,1) кОм. От ве т: а) 0,68; б) и ) 385. 3.18.
Провели 5 независимых равноточных измерений для определения заряда электрона, "получили следуюшие результаты (в абсолютных электростатических единицах): 4,781. 10 ~е; 4,792 10 'о' 4,795 ° 10 ш 4,779.10 1о 4,769.10 1о Определите значение оценки величины заряда электрона и найти доверительный интервал при коэффициенте доверия 99%, считая, что ошибки распределены по нормальному закону и измерения не имеют систематических ошибок. Ответ: х=4,783 10 'о; (4,761.
10 'о, 4,805.10 'о). 3.10. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены значения оценок математического ожидания и среднего квадратичного отклонения их срока службы, которые оказались равными я = 3000 ч и ст = 20ч соответственно. Считая, что контролируемый признак (срок службы лампы) имеет нормальный закон распределения, определите: а) доверительный интервал для математического ожидания при доверительной вероятности 0,9; б) вероятность, с которой можно утверждать, что абсолютная величина ошибки определения т не превысит 10 ч.
Ответ: а) (2991,2, 3008,8); б) 0,93. Вопросы и задача 155 3.20. Провели 40 измерений базы длиной Ь. По результатам опыта получены значения оценок измеряемой величины и среднего квадратичного отклонения: х = 10400м и о = 85м. Ошябкн измерения подчиняются нормальному закону распределения. Найдите вероятность того, что интервал со случайными границами (0,999Х, 1,001Х) накроет неизвестный параметр Ь. О т в е т: 0,55. 3.21. Из партии валов отобрали п~ — — 9шт. Значения выборочного среднего диаметра вала У~ — 30мм, выборочной дисперсии й~~ — 9ммз.
Затем осуществили повторный эксперимент, отобрав аз — — 16шт. и получили значения выборочных оценок Уг = 29мм, озз — — 4,5ммз. Используя объединенные выборочные оценки, найдите 99%-ный доверительный интервал для среднего. Ответ: (27,98, 30,74). 3.22.
По результатам 10 измерений емкости конденсатора прибором, не имеющим систематической ошибки, получили следующие отклонения от номинального значения (пФ): 5,4; — 13,9; — 11; 7,2; — 15,6; 29,2; 1,4; — 0,3; 6,6; -9,9. Найдите 90 о-ный доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратичного отклонения, предполагая, что генеральнзл совокупность имеет нормальное распределение. Ответ: (96,81,49,34)> (9,84,22,17). 3.23. По 15 независимым равноточным измерениям были рассчитаны значения оценок математического ожидания и среднего квадратичного отклонения максимальной скорости самолета е = 424,7м/с и о„= 7,7м/с.
Считая, что генеральнал совокупность имеет нормальное распределение, определите: а) доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения при доверительной вероятности 0,9; б) вероятность того, что абсолютная величина случайной ошибки при определении п„по 15 измерениям не превзойдет 2м/с. От вет: а) (6,69, 12,7); б) 0,76. 156 3.
ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 3.24. Известно, что измерительный прибор не имеет систематических ошибок, а случайные ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения. Сколько надо провести измерений для определения оценки среднего квадратичного отклонения прибора, чтобы с доверительной вероятностью 70% абсолютная величина ошибки определения этой величины была не более 20% от о(Х„)? Ответ: не менее 15 измерений.
3.25. При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных. Найдите 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии. Ответ: (0,055, 0,174). 3.26. Из большой партии транзисторов одного типа были случайным образом отобраны и проверены 100шт. Коэффициент усиления 36 транзисторов оказался меньше 10. Найдите 95%-ный доверительный интервал для доли таких транзисторов во всей партии. О т в е т: (0,266, 0,454) .
3.27. С автоматической линии, производящей подшипники, было отобрано 100 шт., причем 10 оказались бракованными. Найдите: а) 90%-ный доверительный интервал для вероятности того, что произвольно выбранный подшипник окажется бракованным; б) количество подшипников, которые надо проверить, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что доля брака отличается от частоты не более чем на 5%. Ответ: а) (0,12, 0,38); б) и > 88. 3.28. В 10000 сеансах игры с автоматом выигрыш появился 4000 раз. Найдите: а) 95%-ный доверительный интервал для вероятности выигрыша; б) количество сеансов игры, которые следует провести, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что вероятность р выигрыша отличается от его частоты не более чем на 1%.
Ответ: а) (0,39,0,41); б) и >16231. 157 Вопросы и задачи 3.29. Для экспоненциального распределения со „сдвигом", имеющего плотность по выборке объема и постройте интервальную оценку параметра 0 с доверительной вероятностью 7. У к а з а н и е: В качестве исходной рассмотрите статистику Т = Х(П вЂ” д, имеющую функцию распределения 1 — е™, х>О; О, х < О.
Ответ: (Х(11+ —, Х(11+ ), где о > О и Д > О (п13 (п(1-о)~ и и связаны равенством 1 — а — 11 = 7. З.ЗО. Постройте интервальную оценку для разности р1 — Из математических ожиданий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальным законам с параметрами (~щ, ~т1з) в (рз, из~) по результатам независямых выборок (Хм ..., Х„) и (Ум ..., У ) в предположении, что дисперсии п1з, пз известны. Указание: В качестве исходной следует взять статистику (Х - У) — (д1 - рз) о1 и и убедиться в том, что эта статистяка имеет стандартный нормальный закон распределения с параметрами (О, 1).
Ответ: ~Х-У-и1 1з~/ — '+ — ', Х вЂ” У+и, ~>р~ — '+ — *). ~/ и ~и о7 ~/ и и1) 4. ПРОВЕРКА ГИПО'ХЕЗ. ПАРАМЕТРИкХЕСКИЕ МОДЕЛИ В этой главе рассмотрен второй класс задач математической статистики (см. 1.2), связанных с проверкой статистических гипотез. Выше (см. 2, 3) были рассмотрены задачи оценивания неизвестного параметра В по реализации случайной выборки нз генеральной совокупности случайной величины Х, закон распределения которой зависит от В. При этом мы не располагали никакой априорной информацией относительно параметра В.
При проверке статистической гипотезы о параметре В исследователь заранее на основании той или иной априорной информации выдвигает предположение (гипотезу) о величине В, например В = Ве, где Ве — некоторое заданное значение параметра. После этого он проводит эксперимент, в результате которого получает реализацию х„случайной выборки Х„из генеральной совокупности Х, распределение которой зависит от параметра В. По этим данным ему нужно дать ответ на вопрос: согласуется гипотеза В = Во с результатами эксперимента нли нет? Другими словами, исследователю нужно решить, можно ли принять выдвинутую гипотезу или ее нужно отклонить как противоречащую результатам эксперимента н принять некоторую альтернативную гипотезу (например, В ~ Ве).
4.1. Основные понятия Пусть имеется выборка х„, являющаяся реализацией случайной выборки Х„из генеральной совокупности Х, плотность распределения которой р(е;В) зависит от неизвестного пара метра В. 159 Статистические гипотезы относительно неизвестного истинного значения параметра д называют каралтетприческими гикотпезалти. При этом если д — сквляр, то речь идет об одноиаралтетпрических гипотпезах, а если вектор, — то о лтногопараметпрических гитютпезах. Стпатпистпическую гипотпезу Н называют простой, если она имеет вид Н: д=д,, где до — некоторое заданное значение параметра. Стпатпистпическуто гипотпезу называют сложной, если она имеет вид Н: дбо, где .0 — некоторое множество значений параметра д, состоя- щее более чем из одного элемента. Пример 4.1.
Предположим, проводится серия иэ п независимых испытаний по схеме Бернулли с неизвестным параметром р, где р — вероятность „успеха" в одном испытании. Тогда гипотеза Н: р = 1/2 является простой. Примерами сложных гипотез являются следуюгпие: Н1. 'р > 1/2; Ньс р < 1/2; Нз- 1/4 < р < 3/4 и т.д. Пример 4.2. Пусть Մ— случайнал выборка объема и нз генеральной совокупности Х, распределенной по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием р и известной дисперсией аз.
Тогда гипотеза Н: р = ро, где ро— некоторое заданное значение параметра р, является простой. Гипотезы Н1.' р > ро, Нз. 'р < рв, Н: ро < р < р1 являются сложными. Пример 4.3. Пусть в примере 4.2 оба параметра р и а неизвестны. В этом случае гипотеза Н: р = ре становится сложной, так как ей соответствует множество значений двумерного вектора д= (р, а), для которых,и= до, 0 < а < со. 160 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 4.2.Проверка двух простых гипотез Рассмотрим сначала случай, когда проверяются две простпые стпатпистпические гипотпсзы вида Н: В=В, На. В=бе, где бе, б1 — два заданных (различных) значения параметра. Первую еинотвезу На обычно называют основноб, а вторую Н1 — альтпернатпивной, или конкурируктилей, гииотпезоб, хотя эта терминология является достаточно условной.
Так, например, одна и та же гипотеза может в одних задачах выступать в качестве основной, а в других — в качестве альтернативной. По данным выборка У„ необходимо принять решение о справедливости одной иэ указанных гипотез. Критерием, или снтатиистпическим критерием, проверки гипотез называют правило, по которому по давным выборки х„принимается решение о справедливости либо первой, либо второй гипотезы. Критерий задают с помощью критпическоео мнозкестпва И', являющегося подмножеством выборочного простпранстпеа Х„случайной выборка Х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
