XVII Математическая статистика (1081432), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Значение выборочного среднего квадратичного отклонения равно о = 1/2,749 ъ 1,69. По таблице квантилей распределения Стьюдента (см. табл. П.2) для п — 1 = 9 находим квантиль 71(п — 1) уровни 1 — о/2. По условию задачи о = 1 — 7 = 1 — 0,99 = 0,01. Следовательно, 11 7х(п — 1) = 1о вез(9) = 3,25.
Вычислив Э 5 1,65 71(п — 1) = 11 71(п — 1) — = 3,25 — ' 1,79, 1~п — 1 1/й ' 3 получаем доверительный интервал (1,01 — 1,79, 1,01+ 1,79), или ( — 0,78, 2,80). Пример 3.7. Из партии однотипных высокоомных сопротивлений отобрано 10 штук. У каждого иэ них измерены отклонения сопротивления от номинального значения (табл. 3.2). Таблица 3.9 Предполагая, что контролируемый признак имеет нормальный закон распределения, найдем выборочное среднее х, исправленную выборочную дисперсию оз и доверительный интервал длл дисперсии с коэффициентом доверия 7 = 0,96. 138 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Находим выборочное среднее 1с 1+3-2+2+4+2+5+3-2+4 х= — ~х;— — 2 и 10 и исправленную выборочную дисперсию 1 ч,,г 1+1+16+4+9+1+1+16+4 и — 1, 9 Чтобы построить доверительный интервал для дисперсии, вос- пользуемся статистикой (и 1)~гР.
) „Рг(Лг ) аг ог имеющей распределение ~1г с и — 1 степенью свободы. По таблице квантилей распределения дг (см. табл. П.З) находим квантилн Х~ (и — 1) и К~ (и — 1) уровней а/2 и 1 — о!2. В данном случае о = 1 — 7 = 1 — 0,96 = 0,04 и распределение имеет девять степеней свободы.
Следователь- но, Х 7 (9) = Хо аг(9) = 2,09; Хг .7г(9) Хоом(9) = 21 07. Для границ доверительного интервала получаем Отсюда находим доверительный интервал для дисперсии с каэффициентом доверия 0,96: (2,4, 24,9). Пример 3.8. Найдем доверительный интервал для вероятности попадания снаряда в цель с козффициентом доверия 7 = 0,9, если после 220 выстрелов в цель попало 75 снарядов. (и — 1)Яг 5,88 9 г (и ц (и — 1)5г 5,78 ° 9 Х27г(а — 1) 2,09 139 З.Л. Решение типовых прииеров Используя таблицу квантилей нормального распределения (см. табл. П.2), находим квантиль и> 7г для а=1- у.
Поскальку а= 1 — 7= 1 — 0,9=0,1, то и, „7г = иода = 1,645. Границы доверительного интервала (см. 3.3) имеют внд т н1- 7г т 7 т~ 75 1,645 75 145 т 0 289 и ~/й и и 220 Я20 220г т н1-о7г т 7 >и 1 75 1,645 ~75 ° 145 р= -+ — ~1- — ) = — + — 'у> =0,393. и 1/й и п 220 ~/220Ч 220г Значит, доверительный интервал для вероятности попадания снаряда в цель следующий: (0,289, 0,393).
Пример 3.9. По выборке (х1, ..., х„) объема и из генеральной совокупности Х, равномерно распределенной на отрезке (О, Я, построим доверительный интервал для неизвестного параметра д, если и = 500, 7 = 0,95 и задан статистический ряд (табл.
3.3). Таолица 3.3 х; 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 и, 41 34 54 39 40 45 41 33 37 41 47 39 Для построения доверительного интервала воспользуемся статистикой т(х„...,х„) = —, ХОО >" 3 и Вз где Х(и) = тах Х; — крайний член варионионного ряда. Эта 1=1,ть статистика имеет распределение О, х < 0; РХ1„>(Х)ее Х~, 0<Х< 1; 1, х > 1. 140 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Для сх = 1 — 7 находим кваитили уровня со/2 и 1 — о/2 данного распределения. Поскольку хх оо р'(1 7г) = 1.~г = 2 Г(11- 7г) = 11 .7г = 1 - 2 то '- =4) '-- =( ° ) Таким образом, значение статистики Х(„)/д с вероятностью Ь- гг 7- 7 попадает в интервал с границами ~-) и ~ — ) .
Зна~г) ~ г ) чит, интервальная оценка для д следующая: (( ) х<„о ( — ) х<„>). Согласно условиям примера, сх = 0,05, а статистика Х(„) принимает значение я(лсо) = 11,5. Поэтому доверительный интервал имеет вид ((~в) ~~х' (ооо) ~~о)' или (11,5, 11,6). Пример 3.10. Построим интервальную оценку для разности математяческих ожиданий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону с параметрами (Им о) и (Рг, ох) с неизвестной ДиспеРсией а по двУм слУчайным независимым выборкам (Хм ..., Х„) и (х'м ..., У,)- Предполагая, что и = т = 5, о~ = 3,37, сог~ — 0,46, у = 0,9, найдем доверительный интервал.
Для построения интервальной оценки воспользуемся статистикой Т(Х)= " /Й+ -2, т,(х„) гт.(х.) 141 3.$. Решение тииеимя примеров где т,(х„) = ( „,="', "', а — +— и т ая оз Покажем, что статистика Т1(Х„) имеет распределение Стьюдента с т+ п — 2 степенями свободы. Для этого достаточно убедиться, что статистика Т~(Х„) имеет нормальный закон распределения с параметрами (0,1), а статистика Тз(Х„)— распределение ХЯ с т+ п — 2 степенями снободы.
Действительно, статистика Х вЂ” У имеет нормальное распределение с параметрами (р1 — ря, оз(1/п+1/т)), так как свертка нормальных законов распределения есть нормальный закон распределения (ХУ1). Следовательно, (Х"-~') -(р1-Ря) Р п+т — 2 <1р(п+т — 2) = у ( т,(х„) ( )/Т,(х„) имеет нормальный закон распределения с параметрами (О, 1). Статистика 2'я(Х„) есть сумма независимых случайных величин па~~(Х„)/оз и таял(Х„)/оз, имеюших распределение хз с и — 1 и т — 1 степенями свободы соответственно, т.е.
распределение Тз(Х„) есть композиция двух Х~-распределений, а потому ямеет ХЯ-распределение с числом степеней свободы (и — 1) + (т — 1) = и+ т — 2. Для заданного коэффициента доверия у по таблице квантилей распределения Стьюдента (см. табл. П.4) находим квантиль $в(п+ т — 2) уровня Д = (1+ у)/2.
Соотношение 142 2. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ означает, что с вероятностью 7 выполняется неравенство ! (Х вЂ” У) — (р1 — И2) тп(п+ т — 2) ( 1д(п+т-2). Отсюда заключаем, что границы интервальной оценки параметра р1 — р2 имеют вид Х вЂ” У ~ 1д(и + т — 2) Для 7 = 0,9, и = т = 5 находим квантиль 1о,ця(8) = 1,86 распределения Стьюдента (см. табл. П.4). В результате, учитывал, что а12 — — 3,37, а22 —— 0,46, получаем доверительный интервал вида илн (-2,28, 1,32). Пример 3.11. Пусть (Х1, ..., Х„) и (У1, ..., У ) — независимые случайные выборки из двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону с параметрами (И1, а~~) и (р2, а22) соответственно.
Построим интервальную оценку для отношения дисперсий аз/о~ с доверительной вероятностью у. Значения границ доверительного интервала найдем при и = 25, т= 16, а~ = 1,44, аз = 1,21, 7=0,9. Для построения интервальной оценки воспользуемся статнстнкон Т = Ть (т — 1) , где статистики Т1 = па1(Х„)/п1, Т2 —— 2 2 Т2 (и — 1) = та22(Х„)/а22 независимы и имеют Х2-распределения с и — 1 я т — 1 степенями свободы соответственно. Следовательно, статистика Т имеет распределение Фишера со степенями свободы т — 1 и п — 1. По таблице квантилей распределения Фишера (см. табл. П.5) находим квантили /,„~2(и — 1,т — 1) и Л ~2(п — 1,т — 1), где 143 З.Б.
Решеные нешяых примеров о = 1 — 7. В силу соотношения Т1(т- 1) ы.,~ ) < У а(и — 1,т — 1)~=7 ~ з Ыи — 1) интервальная оценка имеет вид < тЭзз(Х„) п — 1 тозз(Х„) и — 1~ ~и(~ — 1,т-1) —, ~ и(п — 1,т-1) з поз(Х ) т-1' 1 з и3з(Х„) т — 1,/ Для заданных значений 7 = 0,9, и = 25 и т = 16 находим ~еда(24,15) = 0,474 и ~олв(24,15) = 2,29. Отсюда получаем границы доверительного интервала тозз и — 1 16. 1,21 24 ~о,оя(24, 15) =з — = 0,474. — = 0 408 иоз т — 1 ' 25 1,44 15 тозз п — 1 16 ° 1,21 24 ~о,яя(24 15) =з — = 2 29 ' — = 1 97. поз т — 1 ' 25-1,44 15 Пример 3.12.
Предположям, что некоторый элемент испытывается последовательными независимыми циклами. Точное значение вероятности р безотказной работы элемента в каждом цикле неизвестно. Испытания проводятся до первого отказа. Требуется построить доверительный интервал для р в предположеняи, что первый отказ наблюдался в цикле с номером и. Рассмотрим случайную величину и — номер цикла, в котором наблюдался первый отказ. Эта случайнзл величина имеет отрицательное биномиольное распределение: Р(и = п) = (1 — р) р" 1, п = 1, 2, Таким образом, задача сводится к построению доверительного интервала для параметра р отрицательного бяномиального распределения ио значению наблюдаемой случайной величины.
Э. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 144 Функция распределения случайной величины и определяется выражением ~'(пр) =(1-р)(1+р+."+р" ') =1-р"-'. р="Ф, р= ~ГГ- Тем самым нижняя и верхняя границы интервальной оценки для параметра р, найденные из уравнений (3.9), совпадают соответственно с нижней границей в биномиальной схеме испытаний для случая И = О отказов в серии из п — 1 испытаний и верхней границей для случая И= 1 отказу в серии из и испытаний, являющихся решением уравнений Клаппера — Пирсона. Пример 3.13. При доверительном оценивании по результатам испытаний показателя надежности (коэффициента готовности) восстанавливаемого элемента возникает следующая задача. Построить интервальную оценку для отношения р = Л/р параметров двух экспонеициальных законов распределений с плотностями ре "*, х>О; О, х ( О, на основе двух независимых случайных выборок (Хм ..., Х„) и (Ум ..., 1;„) из этих распределений.
Рассмотрим статистику Т = (Тлт)/(Тяп), где Т1 — — 2Л~) Х; и Тз — — 2р~~ Ъ'. в=1 1=1 Статистики Т1 и Тз имеют Хл-распределения с 2п и 2т степенями свободы. Отсюда следует, что статистика Т является Применяя далее общие уравнения (3.9), получаем значении нижней и верхней границ интервальной оценки для параметра р с коэффициентом доверии у = 1 — о —,О: Д.З.ь неовходимые сведение о некоторых распределениях 145 центральной я имеет распределение Фишера с 2а и 2т сте- пенями свободы. Применяя общий подход, получаем нижнюю я верхнюю границы доверительного интервала для параметра Р=Л~Р: и) У1 р(х,у )=~1 д(2и,2т) т2;х; и); Уу в(х,у )=~ (2и,2т) т~ х; Дополнение 3.1. Необходимые сведения о некоторых распределениях Гамма.-распределение. Плотность зтого распределения -л* — х е *, х>О; р(х) = Г(о) О, х ( О, определяется двумя параметрами Л > О и сх > О. Здесь Г(о) = 1 1е ~ах а гамма-1йуиицид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
