XVII Математическая статистика (1081432), страница 12
Текст из файла (страница 12)
точечная оценка д(Хо) смещенная. Пример 2.21. Пусть задана случайная выборка объема и из генеральной совокупности Х с плотностью распределения Еа-х О, х < а. В качестве точечной оценки неизвестного параметра а возьмем 0(Х„) = ХПр Убедимся, что эта оценка смещенная. Найдем несмещенную оценку и покажем, что обе опенки являются сосгполгоельиы.им. Предварительно найдем плотность распределения случайной величины д(Х„).
Если г'(х) — функция распределения генеральной совокупности Х, то функция распределения случайной величины Х00 имеет вид Рлн (х) = 1 — (1 — г'(х))" (см. пример 2.20). Поскольку Г(х) = е ~Ь =1 — е а 1О1 2.4. Решение хюювых примеров при х > о, то 1 — е"д~ *), х)о; Глод(х) = О, х < а. Исходя иэ функции распределения, можем найти плотность распределения оценки д(Х„) ве"д *), х > дх; Рход(х) = О, а<о.
Таким обраэом, МВ(Х„) =МХОО = хпе"1 ") д)х = о+ —, О т.е. оценка д(Х„) = ХОΠ— смещенная. Иэ последнего равенства легко увидеть, как нужно модифицировать оценку д(Х„), чтобы получить несмещенную оценку. Несмещенной оценкой параметра дх является 6'(Х„) = д)(Х„) — 1/в. Ъ Покажем, что оценка д (Х„) является состоятельной. Для этого применим второе неравенство Чебышева. Так как 2 МХ2 = д хэве™да-е) е)х дхэ+ а ВХ(д) = МХ(эд) — (МХ1д))' = — „ то Отсюда следует, что обе оценки состоятельные. 2 ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ 102 Пример 2.22.
Пусть дана случайная выборка (Хы ..., Х„) из генеральной совокупности Х с плотностью распределения 1 ()их — Ю)в е зв', х)0", ха~/2я О, х(0, р(х;В) = Прежде всего убедимся, что В(Х„) является несмещенной оценкой параметра В. Имеем МВ(Х ) =М вЂ” ~~~ 1пХ; = — ~~1 М!пХ; = — нМ1пХ =М1пХ. ил ° и вы1 Поскольку (1п* — д)е М1пХ = / 1пх — е за~ <(х, ./ ха~/2к о 1ах-д то, введя новое переменное 8 = —, получим ОО Р 1 Г М1пХ= — / (сгг+В)е з ~1г= ~/2х ~ ОО Р сО ~2 — 1е 2 (В+ — е з й=В. ~/2~г .l ~/2~г г' Чтобы убедиться в том, что показатель эффекгиивностпи пв Рао — Кранеру е(В) равен единице, найдем дисперсию ПВ(Х ) где о — известный параметр.
Покажем, что эффекгаивной по Раа — Кранеру оценкой неизвестного параметра В является глк Решение типовых прнморов и количество информации по Фиитерд 1(()). Для дисперсии имеем ХИ(Х„) =П вЂ” ~~1 1пХ;= —,~) П)пХ;= 1 " 1 Й и 1=1 1=1 (1 -д)' 1 1 Г 1 = — нП1пХ= — ~ (1пх — (т) е 22' 1(х. пг И хоч/2з. о 'отх — д С помощью замены переменного 1 = — приходим к следующему результату: ОО Р г ог 1 Г г — — о Пд(Х„) = — — / Ф е 2 А= —. и 1/2~г ./ н Для 1((1) имеем 1(В)=М( ' '1 = ,а)п (Х;В),г 1 г 1 — 2 1 г О2 (Ь х — д) — ()их — д) ° е гпг т(Х = — О в"' У хо1/2тт ттл ог о В результате окончательно находим 1 - 1 (д) = 1(д) Пд(Х„)=, 1 — — 1.
и ов Пример 2.23. В условиях примера 2.21 найдем нижнюю границу — неравенства Рао — Крамера и объясним, по- 1 н1(д) чему дисперсия Пд'(Х„) = ПХ(1) несмещенной оценки (т*(Х„) 1 параметра (т' = тх меньше величины —. п1(д) 104 з, точкчнык оцкНки Имеем Поэтому 1 1 вГ(о) и и, следовательно, 1 1 110 (Х„)= — ( —, в>1. пэ Последнее неравенство объясняется тем, что рассматриваемая пораметрическол модель не является регулярной. Действительно, дифференцируя интеграл по параметру а, получаем — / р(х; а) с)х = О. д Г Однако | "1*' ~/ =|"- до В таких случаях часто можно найти несмещенные оценки, 1 дисперсия которых меньше чем — . п1(ю) Заметим также, что параметрическая модель, рассмотренная в примере 2.3, не является регулярной.
При этом, кнк мм 105 2А. Решениетншшых примеров видим, дисперсия оценок примеров 2.3 и 2.23 является бесконечно малой при и -+ оо более высокого порядка, чем 1/и. Такие оценки называют се ерхэффеиеииаиылеи. Пример 2.24. Пусть случайная величина Х имеет распределение Пуассона Й = О, 1, ..., где Л вЂ” неизвестный параметр.
В результате независимых наблюдений получена случайная выборка (Хы ..., Х„). Найдем методом ломеипюв точечную оценку д(Х„) параметра Л и убедимся, что зта оценка является несмещенной и состоятельной. Так как оценивается один параметр, то для получения оценки нужно составить одно уравнение. Известно [ХЧ1], что МХ = Л. Следовательно, в качестве точечной оценки параметра Л распределения Пуассона можно взять выборочное среднее, т.е. О(Х„) = Х.
Из теоремы 2.1 следует, что зта оценка является несмещенной и состоятельной. Пример 2.25. Пусть дана случайная выборка (Хм ..., Х„) объема и из генеральной совокупности Х, имеющей равномерный закон распределения — х Е (а, Ь); р(х) — Ь вЂ” н ' О, х 1с (а, Ь), с неизвестными параметрами а и 6 Найдем методом моментов точечные оценкв зтих параметров. Известно (ХЧЦ, что для равномерно распределенной случайной величины Х МХ= —, ПХ = а+ Ь (6 — а)з 2 ' 12 106 2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ Выборочное среднее Х и выборочная дисперсия оз(Х„) вычи- сляются по формулам и в Х=-",~ Х;, оз(Х„)=-~ (Х;-Х)'. в=1 Составляем систему двух уравнений а+Ь вЂ” =х 2 1 — =о (х„). (Ь- а)з 12 Решая систему, получаем Ь = х+ ~ГЗо(х„), а = х — ~ГЗо(х„).
Окончательно имеем Ь(Х„) = Х+ ГЗо(Х„), а(Х„) = Х вЂ” ГЗо(Х.). Пример 2.26. Пусть дана случайная выборка (Хы ..., Х„) объема и из генеральной совокупности Х, распределенной по биномиальному закону Рл(.)=СР'(1-В)'-', у=О,Ь, с неизвестным параметром о (вероятностью появления события в одном испытании). Методом максимальиоео правдоподобии найдем точечную оценку параметра о. Функция правдоподобия в этом случае имеет вид А(Х1 ",Х;о) = Пр(Х*',и), где р(хбр) =Рь(х;) =С*,'И '(1 — о)л *'.
1О7 2.4. Репиевее типовых примеров Отсюда находим 1и Ь(х !,..., хп; В) = 1п (Сь! С~в*...С~'") + о о +~~! х;1пВ+ (Йп — ~~! х!) 1п(1 — В). а=! 1м! Следовательно, уравнение правдоподобия д1пЦх„;В) дв в данном случае сводится к следующему: — ~ь х; — (йп — ~~> х!) — = О. 1 1 В.'.*1 — В !=! !=! Решив уравнение правдоподобия, найдем критическую точку функции правдоподобия 1 В= — Ех; йп ьо Покажем, что эта точка является точкой максимума выборочного значения функции правдоподобия. Для этого найдем вторую производную по В: дз!пА(хо,В) 1 " 1 =- —,~*;+ ~, ~~~й -~*;).
юм! ие! Легко убедиться, что дз1пЦхп;В) <о, в=в. двз Поэтому  — точка максимума выборочного значения функцви правдоподобия, определяющая оценку иаксеьиальиоео правдоподобия р(Х„) = — '~~.х,. !м! 108 2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ Пример 2.27. Методом максимального правдоподобия по случайной выборке (Хы ..., Х„) найдем оценку параметра В распределенол Парепьо (В > О, о > 0): р( ;В) = В О, х < В. Для выборочного значения функции максимального правдоподобия при выполнении условий В < х;, ~ = 1, п, находим Ясно, что л,(хд,..., х„; В) = О, если В > х; для какого-либо значения индекса 1.
Из вида функции правдоподобия Ь(хы...,х„;В) заключаем, что она является возрастающей функцией В прн В < ХИ н равна нулю при В > Х(И. Следовательно, В(Х„) = = Х1„1 — оценка максимального ~равдоподобня параметра В. Пример 2.28. Рассмотрим параметрическую модель В" — х е, х>0; л-1 -ее г(л) р(х;Л) = х<0, О, где р(х;Л) — плотность распределения генеральной совокупности Х, Л > 0 — неизвестный параметр, В > О, а Г(х)— хамме-функция.
Для зтой модели: а) найдем оценку В(Х„) параметра В методом максимального правдоподобия и покажем, что она смещенная; б) найдем несмещенную оценку В*(Х„) параметра В; 2А. Решение типовых примеров в) покажем, что для рассматриваемой параметрической модели существует достаточнал статистика; г) убедимся, что оценка В" (Х„) не эффективная, но асимптотичсски эфВ1сктивная.
а. Запишем функцию правдоподобия Вел ЦХ1,...,Х„;в) = — (Х1Х2...Х„)л ~ехр( — в 2м Х;). (Р(Л))о Отсюда находим а1пЦ*„...,к„;В) Л дв в Решая уравнение правдоподобия — ич =О, нЛ в 1=1 получаем Л в=-. Ю Покажем, что В(Х„) = Л/Х вЂ” смещенная оценка параметра В. Плотность распределения случайной величины У = 1/Х ямеет вид (кВ)ел ~1лол+1 р (В.Л.*) = Р(„л) ~-„) Этот результат можно получить, зная для данной модели ха- рактеристическую функцию (ХЧ1] 11О з.
точкчнык оценки Найдем математическое ожидание случайной величины У = = 1/Х: м(г)=м(=) =/ ~„~ оЯ ° тии= о (вд)"" Г Г(вл),/ а где 8 = 1/у. Используя равенство и свойство гамма-функции Г(Л+ 1) = ЛГ(л), получаем ~Х) Г(вЛ),/ ( В)- Г(вЛ-1) вВ Г(вл) (вд)""-' вл — 1 Следовательно, б. Легко заметить, что несмещенной оценкой параметра 8 янляется в"(х„) =" вХ в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
