XVII Математическая статистика (1081432), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1ь Замечание 2.4. Из теоремы 2.2 следует, что статистика является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии ал генеральной совокупности. Ее называют истэраелеииой выборочной дисперсией. Действительно, Я~(Х„) = — ° — ~~~ (Х; — Х) = — о~(Х„). ° =! Имеем МЯ (Х„) = — Мо (Х„) = — ° — о = о -з-" "1ъ и — 1 и — 1 и 1ЭЯ~(Х„) = Ост~(Х„) -+ 0 прн и -+ со, откуда и следует несмещенность и состоятельность Яз(Х„). Отметим, что в дальнейшем ее выборочное значение будем обозначать Я~. Замечание 2.5. Можно доказать, что выборочные иачальиыс и иеитарааьиые .иоиеиты являются состоятельными оценками соответствующих моментов генеральной совокупности, если только они существуют'.
Однако эти оценки, кроме Х, являются смещенными. 'Сиз Крамер Г., в также: Ивченко Г.И.„Медведев Ю.И. а ТОЧЕЧНЫЕ ОЦеНКИ Пример 2.1. Пусть и — число испытаний по схеме Бернуллв с неизвестной вероятностью успеха В. Рассмотрим случайную выборку 1хы ..., Х„), где Х;, 1= 1, и, — случайная величина, которая с вероятностью В принимает значение 1 1„успех" в 1-м испытании) и с вероятностью 1 —  — значение 0 („ неудача" в 1-м испытании).
В качестве оценки В возьмем относительную частоту успехов, т.е. В(Х ) = й1Х„)/и, где и й1Х„) =,'» 'Х; есть суммарное число успехов в а испытаниях. Эта оценка является несмещенной, так как 1 1 1 мв1х„) =-м(х,+...+Х„) =-(мх,+...+Мх„) =- в=в, и состоятельной, что непосредственно вытекает из закона больших чисел в форме Бернулли, согласно которому для любого г)0 В дальнейшем в соответствии с установившейся традицией статистику к(Х„), так же как и ее значение, часто будем обозначать просто символом /с. В каждом конкретном случае должно быть ясно, о чем идет речь: о случайной величине или ее реализации.
Пример 2.2. Пусть Х„..., Մ— случайная выборка из генеральной совокупности Х, имеющей нормальное распределение с неизвестным средним значением В и известной дисперсией п~. Оценка В = В(ХО...,Х„) = Х» является несмещенной для В, ибо МХ, = МХ = В, но не является состоятельной, так как, во-первых, Х, не зависит от объема выборки и, следовательно, 2Л. Сестаетельные, неснещенные н эффективные аненкн 65 ее распределение не меняется с ростом а, а во-вторых, е р Р(~Хь — 9~ (г) = / е З«1 Щ ф 1.
и~/2л',/ о Пример 2.3. Имеем случайную выборку Х„из генеральной совокупности Х с равномерным законом распределения — ФЕ[а,61 р(1,6) О, 11с [а,6), где Ь вЂ” а = 1 — известная величина, В = (а+ 6) /2 — неизвестный параметр. Возьмем в качестве оценки параметра 6 среднее арифметическое крайних членов вариаиионного ряда К(Х) Х()+Х(- 2 Убедимся, что 6*(Х„) является несмещенной оценкой параметра д и в классе всех несмещенных оценок Х не является зффективной оценкой параметра д для заданной параметрической модели. Плотности распределения ХВ1 и Х1„1 на отрезке [а, 6) соответственно равны х — а «-ь 1 х — а -ь 1 рлн, ( ) — (1 ), рл,„(*) — ( ) (см.
пример 2.20). Вычислив тЬ-хх -1 1 а МХ1И = ха~ — ) — дх = Ь вЂ” (Ь вЂ” а), Ь-а Ь-а а+1 а ь 1«-1 /х — а1 1 а МХ1„) = ха ~ — ) дх = а+ — (Ь вЂ” а), 16 — а) Ь вЂ” а а+1 е 66 Я. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ получим 1 а+Ь мв (х„) (мх1Ц+мх1„1) что и доказывает несмещенность оценки В (у„). Далее, используя совместную плотность распределения вероятностей случайных неличин' Х1П и Х1„1 п(п — 1)(у — х)" ~ рл„льп(*>у) = а<х<у<Ь, (6 — а)" и равенство вв (х„) = — ю(х(п+х(„1) = 1 1 = — (1) ХП1+ В Х1к1) + — сонг(ХП1, Х(и1) э можно получить вв.(х„) = (6- )' 2(п + 1)(п + 2) Поскольку вв (х„) <в(х)= — = —, >з, аз (6- а)з и 12п то, следовательно, в классе всех несмещенных оценок Х не является эффективной оценкой параметра В для рассматриваемой параметрической модели.
Теорема 2.3 (о единственности эффективной оценкн). Пусть В(Х„) и В(Х„) — две эффективные оценки для параметра В рассматриваемой параметрической модели. Тогда в(х„) = в(х„), Смк Емекьлиое Г.В., Скитоеич В.П. 2.Ь Соохоихельнвее, неенещеннпве и эффектнюше оценки 67 где равенство следует понимать в вероятностном смысле: Р(Х„~ (Ы.: д(х„) ~ д(У„Ц ~ = О. ~ Действительно, рассмотрим статистику в (х„) (в(х„)+в(х„)). По условию Вд(Х„) = Вд(Х„). Значит, Вд (Х„) = — (Вд(Х„) + Вд(Х„)) + — сон(д(Х„),д(х„)) = = — (Вд(Х„) +со1в(д(Х„),д(Х ))). Поскольку вввх„1в1х Л~< ~пвЩпввх„)=пввх„1 то Вв (х„) ~Вв(х„)+ (в(х„),в(х„))~ < < -(Вв(х„)+ (д(х„),в(х„))) < Вв(х„). А так как д(Х„) — эффективная оценка, то Вд*(Х„) = Вд(Х„) = Вд(Х„) и, как следствие, сон(д(Х„),д(Х„)) = Вд(Х„) =Вд(Х„) = Вд(Х„) Вд(Х„).
Иэ последнего равенства следует [ХУЦ, что в(х„) = йд(Х„)+ь. г. точячныя оцкнки 68 Так как Рд(Х„) сесоч(йд(Х„)+Ь,д(Х„)) = кРВ(Х„) = йРВ(Х„), то получаем й = 1. Из условия несмещенности оценок следует, что Ь= рл мв(х„) =мв(х„) =м(в(х„)+ь) =мв(х„)+ь. Таким образом, В(Х„) = д(Х„). ~ь Теорема 2.4 (неравенсгпво Рао — Храмера'). Пусть рассматриваемая параметрическая модель является регулярной н В(Х„) — несмещенная оценка неизвестного параметра д. Тогда имеет место неравенство Рд(Х„) >— п1 (В) (2.2) где цв) =м (д1п р(Х; д) Здесь 1(д) — ноличесгпв о информации по сришерр"* в одном наблюдении, ар(1;д) — плотность распределения генеральной совокупности Х в случае непрерывной статистической модели и вероятность события (Х =1) в случае дискретной статистической модели.
'С.Р. Рао — индийский математик, К.Х. Крамер — шведский математик. "Р.Э. Фшиер (1890-1962) — английский статистик и генетик. В дальнейшем изложении при рассмотрении параметрических моделей будем использовать дифференцирование по параметру под знаком интеграла, завислн1еео от параметра. Параметрические модели, для которых выполнены условия, обеспечивающие законность указанных операций, называют рееулярными моделями. 2.1. Состоятельные, несыещенные н эф4ектнэны ценки е оценки 69 « р» (т,в) =р» (~„...,г„,в) =Пр(ц;в) вш1 случаинои в р ыборки Х отлична от нуля на множестве В=Ах Ах ...х Асй", где Т = (Фы ..., Ф„) — векторный аргумент. Поскольку | р» (т,в)вт= р (т,в)ат=1, и« в имеем — р» (т,в)йт= — р» (т,в)е~т= дВ и« в в или | (Т 6)ИТ=Ю.
дВ « в Так как 6(Хы...,Х„) — несмещенная оценка параметра В, то (2.3) МВ(Х„)= 6(Т)р» (Т,в)атее 6(Т)р» (Т,в)йт=в. и" и Таким образом, — 6(Т)р» (Т,в)йт = ~6(Т) р» (Т,в)ИТ= 1, дд и« < Доказательство проведем для непреры " д аной мо ели. Пусть р(ь. 6) > О при Ф Е А С И и р(ь'; 6) = О при Ф ф А. Тогда плотность р~Ф,6 > О при распределения 2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ 70 или, что то же самое, | д!пр~ (Т,В) В(Т) Р~"~ ' р (Т,В) 1Т=1. в (2.4) (В(Т) — В) " р~ (Т, В) ЙТ = 1. (2.5) | д!пре (Т,В) в Согласно неравенству Коши — Буняковского, имеем 1 <|(В(Т) — В) ру ~7,В)Ж| " ру ~Т,В)НУ= (д!пру (Т,В) 1 в в Уд1прХ (Х„,В)~' =пв(х„)м~ ~" "' ), откуда и следует неравенство (2.2), так как < д1пру (Х„,В) 1 Г (д1пр» (Х,В)~ в в ~~В) ЯЦ,д\'~ ~ ~'д~ р(Х;,6)) *=' в /д!пр(Х,В) 1 /'д!пр(Х,В)'1 =пМ ~~ = .цв).
Неравенство (2.2) определяет нижнюю границу дисперсий несмещенных оценок параметра В для регулярных моделей. Умножив равенство (2.3) на параметр В я вычти его из равен- ства (2.4), приходим к равенству аь Состоятельные, несыенкнныв н эффективные оненкн 71 Величину е(в) = 1 = а1(В) ПВ(Х„) называют покаэатпеяем эффектиекостпи по Рао — Кремеру. Из (2.2) следует, что для любой несмещенной оценки параметра В величина е(В) удовлетворяет условию 0 < е(в) < 1. Определение 2.4.
Несмещенную окекку В(Х„) параметра В Е 9 С 1ь называют эффектпиекой ко Роо — Кремеру, если показатель эффективности е(в) = 1. Замечание 2.6. Равенство Рв(Х„) =— п1(в) имеет место тогда и только тогда, когда В1пр~ (Х„,В) "' ) = (в)(в(х„)-в), что является необходимым и достаточным условием обращения неравенства Коши — Буняковского в равенство.
Следовательно, это равенство является крктаерием эффектаиекоскьи для рееул,аркьва моделей. При этом из равенства (2.5) следует, что а(в) = 1/Рв(Х„). Замечание 2.7. Эффективная оценка по Рао — Крамеру для рассматриваемой регулярной модели является эффективной (см. определение 2.3). Утверждение следует из теоремы 2.3 о единственности эффективной оценки в классе несмещенных оценок. Обратное утверждение неверно, поскольку не любая параметрическая модель является регулярной (см. пример 2.21).
Пример 2.4. Рассмотрим нормальную модель Щв,эз) в предположении, что дисперсия ол известна. Оценка и в(х„) =х= — ~~> х; 2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ является несмещенной для неизвестного среднего значения В = = 11 (см. теорему 2.1). Убедимся в ее эффективности по Рао — Крамеру. Во-первых, в силу независимости элементов случайной выборки Х„= (Хм ..., Х„) имеем Р(х„) =В~ — ~х;) = — ~~ 11Х1= — по = —. п '~ и2 ' и2 и 1=-1 1~1 Во-вторых, (х-л)* ~2 1(В) = М~ — 1п( — е 2в' ) ~ ~ав ~дг а. 1 (х-в)2,~2 (х в)2 =М( — ~!и — — 1пп- ~~ =м ~ад 1/2я 2н2 ) ~ о4 н4 п2 Следовательно, е(В) = = =1, 1 п п1(В)ВХ и 1 . 2 т.е.
для нормальной модели Х вЂ” эффективная оценка парамет- Ра И. Пример 2Л. Рассмотрим модель Ф(11, В) в предположении, что среднее значение 11 генеральной совокупности известно, а В = п2 — неизвестный параметр. Покажем, что а У(х„)=-',~ '(х;-р)2 является несмещенной и эффективной по Рао — Крамеру оцен- кой параметра н2. Действительно, МЯ (Х„) = — ~~1 М(Х;-И) = — ~1ЭХ1= — ~~т2= — пн2= 112, 2 - 1, 2 1 1 2 1 2 2 и й и й 1=1 1ю! 1=1 т.е.
о2(Х„) — несмещенная оценка. 2.1. Сеетаительиые, иесиеи»енине и эффективные оценки 73 Вычислим дисперсию Яг(Х„)1 оУ(х„) =МУ(х„) — (МЗ (х„))'= = М( — ~~» (Х; — ~и) ) — а~ = з=1 з и зз = —,(,'» м(хг-р)'+ ,'» м((х; з„»=1 з»11' -з»'[х;-з»')> — '= в 171,1 П(И вЂ” 1) 1,$3а Я вЂ” 1 4 4 2а з 1 4 = — + а — а= — + — а — а= —. 12 пг и и П Затем определим информацию по Фишеру: , т д 1 (Х вЂ” тз)э Ъ2 1(д)=М~ — ~1п — е гз' )~ ~дог 1 аког тд ~ 1 1 (Х,)г,, 2 = М~ — ~1п — — — 1паг— (1 даг 1 з/2К 2 2аг ) 1 (Х вЂ” ~ы)2»2 1 М(Х вЂ” п)2 М(Х вЂ” 1»)е 2о 2 2ае / 4о4 2ав + 4ав 1 аг Зае 1 + з 4аг 2ав 4ав 2а4 ' т.е. ог(Х„) — эффективная оценка параметра В для нормальной модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
