XVII Математическая статистика (1081432), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пример 2.16. Для общей нормальной модели 1«'(В1,Вял) методом максимального правдоподобия найдем оценку вектора параметров В = (В1, Вя). В этом случае функция правдоподобия о ЦХо;В1,Вя) = „ехр(- — ~~! (Х; — 61) ) ~ ««е1 Л. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ 92 и, как следствие, !пй(х„;ВОВз) = — н1п~/2х — п1пВз — — ~~) (х; — В1) . з 1=1 д и 1с — 1пл= — + — ~(х,-В,) =О.
дВз Вз Взз Решая систему, получаем в3= — 2 х' и В з ~— — — ~(х; — х) ~. и Следовательно, оценками максимального правдоподобия для математического ожидания МХ = В1 и дисперсии ОХ = Вз случайной величины, распределенной по нормальному закону, являются соответственно выборочное среднее в Х= — ~~ Х; 1=1 и выборочная дисперсия дз(Х„) = — ~ (Х; — Х)~. в=1 Оценки максимального правдоподобия могут быть смещенными (см.
примеры 2.16, 2.27) н не являться эффективны ни (см. пример 2.27). Однако, как показывают примеры, часто Поскольку число неизвестных параметров г = 2, система уравнений правдоподобия (2.11) будет состоять из двух уран. пений: д 1 — 1 7,= —,~(*;-в,) =о, дв1 взз.1 ' 2.3. Методы получение точечных оценок смещенность можно устранить. Кроме того, во многих случаях для несмещенной и не являющейся эффентаивной па Рвов Кранеру опенки д(Х„) параметра д выполняется условие 1нп е(д) = 1 (см. пример 2.27). В этом случае оцениу д(Х„) параметра д называют асимтпоьпичесии э44екотианой. Приведем без доказательства основные свойства оценок максимального правдоподобия для регулярных моделей.
1. Если для скалярного параметра д существует эффективная оценка, то уравнение правдоподобия (2.10) имеет единственное решение, которое является выборочным значением этой оценки. 2. Если существует доетаатцочнал етахниетина параметра д, то решения уравнения правдоподобия являются функциями от выборочного значения этой статистики. Следовательно, если, кроме того, существует эффективная по Рао — Крамеру оценка д(Х„), то единственное решение уравнения правдоподобия является функцией от выборочного значения достаточной статистики. 3. Если параметрическая модель (Р(в;д), д е 9) удовлетворяет некоторым общим условиям', то уравнение правдоподобия имеет решение д, которое является выборочным значением состоятельной оценки д(Х„) параметра д.
Оценка, д(Х„) является асимптотически эффективной и имеет асимптотически нормальное распределение Ф(д, 1/~/Ы(д)). Графический метод (метод номограмм). Графичесний метаод позволяет не только достаточно просто найти значения оценок неизвестных параметров распределения вероятностей Р(з;дмдз) наблюдаемой в эксперименте случайной величины, но и сделать предварительное заключение о правильности выбора вида распределения.
Окончательное заключение Смв Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. 94 г. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ о правильности такого выбора проводят с помощью так называемых критериев соаласия, которые рассмотрены подробно в 5. Идея графического метода состоит в следующем. С помощью некоторого нелинейного преобразования и = и(у) семейство уравнений у = Г(х; дпдз) приводится к виду и = ах + 6. По выборке х„= (хм ..., х„) нз генеральной совокупности Х строится эмпирическая функция распределения Г„(х), являющаяся, как известно, статистическим аналогом для тпеорегаической функции распреоеленил г'(х;дпдз).
Если в результате преобразования и = и(у), которое применяется к функции у= Р„(х), точки (х;, и(Г„(х;))) будут достаточно „тесно" концентрироваться около некоторой прямой, то можно говорить о правильности выбора семейства распределений г'(х;дпдз). В этом случае остается найти приближенные значения д1 и дз параметров д1 и дз. Для реализации идеи графического метода строят веролпзнослпную буллаеу — бумагу, разграфленную (специальным образом) так, чтобы график функции г'(х;дыдз) изображался на ней прямой линией.
С этой целью на оси ординат отмечают не значения переменной и, а соответствующие им значения у. Тем самым равноотстоящим точкам на оси ординат соответствуют значения у, связанные с и нелинейной зависимостью и= и(у). Из пояснений к вероятностной бумаге всегда ясно, как связаны параметры а и 6 с параметрами д1 и дз рассматриваемого семейства. Проиллюстрируем сказанное на примере нормального зако/х-н~ на распределения Ф~ — (, где р н о — неизвестные параметры.
Графики функций этого семейства при И= 2 и а=1/2,1,2 изображены на рис. 2.1. Рассмотрим преобразование и = Ф 1(у), в результате которого получим и = —, или и = ах+ 6, где х-р а= —, Ь=- —. р (2.12) а' а г.л. М лм уч оц -2 о 6 х Рнс. 2.1 По выборке (хз, ..., х„) из генеральной совокупности Х построим эмпирическую функцию распределения Г„(х). Если точки (х;, и(Е„(х;))) достаточно „тесно" концентрируются около некоторой прямой, то предположение о нормальном законе распределения принимаем. Затем на глаз проводим (на вероятностной бумаге) прямую линию н = ах+ Ь, проходящую как можно ближе ко всем точкам (х;, и(Г„(х;))), и определяем приближенные значения а и Ь.
Используя равенства (2.12), находим приближенные значения неизвестных параметров: 1 й= —, а Пример 2.17. Для определения предела прочности стекловолокна, изготовленного по новой технологии, проведены испытания на разрыв п = 17 образцов. Получены следующие значения предела прочности Х (в мегапаскалях): х~ = 181,хз = 194, хз= 173,хл = 153,хл = 168, хе = 176,хт = 163,хя = 152, хе = 155, хю — — 156, хы — — 178, х~з —— 160, х~з — — 164, хы — — 169, хш — — 155, хзе — — 122, х~т =144- Предел прочности образцов, изготовленных по старой технологии, хорошо согласовывался с нормальным законом распределения. Требуется проверить согласие результатов экспе- г.
точкчнык оцкнки римента с нормальным законом распределения и оценить его параметры. Для решения поставленной задачи воспользуемся графическим методом. Перейдем от выборки к вариационному ряду хо1, х121, ..., х021 и нанесем значения х;, 1= 1, 17, на ось Ох. Далее с помощью таблицы квантилей нормального распределения (см. табл. П.2) находим значения функции Ф ~(у;), обратной к функции Ф(х), при у; = —, 1= 1, 17: го Ф 1(17/34) = Ф 1(1/2) =О, Ф-'(19/34) = -Ф-'(1 б/34) = 0,1479, Ф-'(21/34) = -Ф-'(13/34) = 0,2993, Ф 1(23/34) = — Ф 1(11/34) = 0,4578, Ф 1(25/34) = — Ф 1(9/34) = 0,6289, Ф 1(27/34) = — Ф 1(7/34) = 0,8208, Ф 1(29/34) = — Ф 1(б/34) = 1,0494, Ф-'(31/34) = -Ф-'(3/34) = 1,3617, Ф 1(ЗЗ/34) = — Ф 1(1/34) = 1,8895.
На рис. 2.2 приведены значения К„(х) в плоскости переменных х и и = Ф 1(у). Рис. 2.2 97 2.Е Решение типовых примеров На рис. 2.2 видно, что точки графика функции Р„(х) расположены достаточно близко от прямой и = ах + Ь при Ь = -фа и -62,7, а = $6о — 0,58, распределения г'(х;«,а) = Ф( — «) равны а = 1/а = 1,75, « = -Ь/а = И = 110. Для сравнения приведем оценки параметров «и а, полученные методом максимального правдоподобия: « = 162 5, и =, т.е. оценки весьма близки. 2.4. Решение типовых примеров Пример 2.18.
В результате пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие данные: 92; 94; 103; 105; 106. Найдем выборочное значение несмещенной оценки Яз(Хл) дисперсии ошибок приборе Выборочное значение несмещенной оценки вычисляется по формуле Я (Х„) = — ~~) (х;-х)~, где и — объем выборки. В данном случае среднее значение х выборки равно 92+ 94+ 103+ 105+ 106 х— 5 — 100. где и' — расстояние от 0 до точки пересечения прямой с осью Ок. Следовательно, оценки параметров «и о нормального 3. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ Используя зто значение, находим Я~(хв) = — ((92 — 100) +(94 — 100) +(103 — 100)з+ 41 + (105 — 100) + (106 — 100)з) = — 42,5. ( 8)з+ ( 6)з+ Зз+ 5з+ бз 4 Пример 2.19.
Убедимся в том, что выборочная 15ункцил распределения является несмещенной оценкой для функции распределения г'(х) генеральной совокупности Х в точке х 6 К. По определению выборочная функция распределения имеет вид .Х ) п(х>хь) где п(х,Х„) — число элементов случайной выборки, меньших х. Используя функцию Хевисайда (ХЦ 1, х)0; 5(х) = О, х < О, получим Так как МЬ(х — Х;) = Цх — с) р(с)~й = р(Ф) й = Е(х), где р(х) — плотность распределения генеральной совокупности Х, оценка Г(х;Х„) является несмещенной: 1 1 МГ(х;Х„) =-~МЦх-Х;) =- Г(х) =Р'(х). 99 2.4. Решение типовых примеров Пример 2.20. Рассмотрим случайную выборку (Хм ..., Хь) объема и = 5 из генеральной совокупности Х, распределенной по показательному закону Л е ~, х>0; р(х) = В качестве точечной оценки математического ожидания возьмем среднее арифметическое крайних членов варнационного улда д(хь) = х,ц+ хрц Покажем, что оценка является смен<енной.
Из свойств математического ожидания получаем Мд(хь) = МХ<ц+ МХ<ц откуда заключаем, что для вычисления математического ожидания точечной оценки необходимо знать законы распределения случайных величин Х<ц и Х<ц. Для первой из них имеем Ех< (х) = Р(Х<ц < х) = = 1 — Р(Х<11 )~ х) = 1 — Р(Х1 > х, ..., Хь > х) = =1 — Р(Х~ > х)...Р(Хь > х) = 1 — (1 — Р(х)), где Цх) — функция распределения генеральной совокупности. Аналогичны вычисления для случайной величины Х<ц. Рх, (х) = Р(Х<ц < х) = Р(Х1 < х, ...,Хь < х) = (Р(х))".
Учитывая вид функции распределения генеральной совокупности (вид показательного закона распределения), заключаем, что 100 2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ Следовательно, МХ(П= хрло (х)дх=бЛ хе ~~~сЬ= —, о о 00 о» о» 4 л 287 МХ~ ~= /*р» (*)» =»Л/*(1 — )»*= —. о о Из найденных формул окончательно находим 1 к 1 287~ 299 мв(х,) = -( — + — 1 = —. 2 ~5Л 60Л) 120Л Сравнивал найденное значение с математическим ожиданием для рассматриваемой генеральной совокупности Х, убеждаемся, что Мд(Хя) ф МХ, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
