XVII Математическая статистика (1081432), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Предварнтельнав обработка результатов зкоперннента 43 Замечание 1.3. При больших и от выборки х часто переходят к интервальному статистическому ряду. При этом значения х, оз и Кку соответственно вычисляют по формулам к * =,~ р!хб (1.13) оз = ~р!(х! — х), в=! (1.14) Кку = ~ р;(х; — х)(у; — у), (1.15) ввц где р; = и;/и — отыосительыая частота события (Х Е .Ц, ! = = 1, т, а у; и у имеют тот же самый смысл, что и хь и х, ыо для случайной величины У. Основное свойство выборочных моментов, как начальных, так и центральных, и в том числе выборочного среднего Х и выбоРочной диспеРсии оз(Хв), состоит в том, что пРи Увеличении объема выборки и они сходятся по вероятности к соответствующим теоретическим (генеральным) моментам'.
В Р з - Р частности, при п-+ оо имеем Х вЂ” ! МХ, а о (Х„) — + РХ. Более того, можно показать, что распределение выборочных моментов является асимптотически (при и — ь оо) нормальным. Точные формулировкы этих утверждений в некоторых частных случаях будут приведены в дальнейшем изложеыии. 'Смл Крамер Г. Значения К(х„,у„) и р(х„,у„) выборочного корреляционного момента и выборочного коэффициента корреляции, где (х„, у„) — реализация случайной выборки (Х„, У ), будем соответственно обозыачать К „и р, называя корреллционнььи моментоле выборки (х, у ) и коэффициентом коррел*- ции выборки (х„, у„). 44 Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОЙ ТЕОРИИ 1.4. Решение типовых примеров Пример 1.7.
В результате эксперимента получена выборка объема и = 79: Построим статистический ряд, полигок частот, эмпирическую функцию распределения и нарисуем ее график, найдем х, о ,а. Наименьший элемент выборки (первый член вариациоипого ряда) хОО = О, наибольший — х17в) = 7. Составим статистический ряд, расположив все элементы выборки в порядке возрастания (табл. 1.6).
Таблица 1.6 Статистический ряд содержит восемь элементов: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Для построения полигона частот (рис. 1.6) следует вычислить относительные частоты пл/и каждого из элементов статистического ряда: п1 4 — — 0,0506; и 79 13 — й 0,1646; в 0 2025- 16 2 — ъ 0,0253. 79 пз 14 — = — ~ 0,1772; и 79 — = — ~ 0,3038; п4 24 и 79 пв 3 — = — т 0,0380," и 79 пт 3 — = — т 0,0380; п 79 11в и 2; 4; 2; 4; 3; 3; 3; 3; 1; 3; 6; 4; 7; 4; 1; 4; 3; 3; 5; 1; О; 1; 2; 3; 3; 1; 4; 1; 3; 2; 3.
3; 2; 0; 2; 4; 3; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 4; 1; 3; 6; 1; 2; 2; 2; 3; 1; 7; 4; 5; 3; 4; 1; 0; 0; 3; 2; 2; 3; 1; 3; 2; 4; 5; 4; 6; 4; 46 Б ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОЙ ТЕОРИИ Учитывая, что элементы выборки повторяются, с помощью формулы (1.6) находим среднее значение выборки: 1 х = — (О ° 4+1 13+2 ° 14+3 24+ 79 + 4. 16+ 5. 3+ 6 ° 3+ 7. 2) 2,835.
С помощью формулы (1.9) находим дисперсию выборки оз = — ((0-284)'-4+(1 — 284)'. 13+(2-284)'. 14+ 79 +(3 — 284)~ 24+(4-284)~ 16+(5 284)з 3 + (6 — 2,84) 3+ (7 — 2,84) 2) ж 2,3668; а с помощью формулы (1.10) — среднее квадратичное отклонение выборки о=4 э=1,54. Пример 1.8. Измерена максимальная емкость 20 подстроечных конденсаторов, и результаты измерений (в пикофарадах) приведены в табл.
1.7. Составим статистический ряд и построим гистограмму. Таблица 1. 7 Статистический ряд представлен в табл. 1.8. Наименьшее значение выборки хО1 — — 4,31, наибольшее — х1ю1 = 4,71. Для построения гистограммы результаты наблюдений представим в виде интервального статистического ряда, разбив отрезок [4,31, 4,71] на пять равных промежутков (табл. 1.9). Ь4. Решение типовых аримеров Таблица 1.о Таблица 1.9 1ь [4,31, 4,39) [4,39, 4,47) [4,47, 4,55) [4,55, 4,63) [4,63, 4,71] пь 4 8 3 3 2 Длина Л каждого полученного промежутка равна 0,08. Определим эмпирическую плотпность распределениц используя формулу (1.5): О, График функции р„(х) (гистограмма) представлен на рис.
1.8. Пример 1.9. В результате измерения диаметров 200 валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом, получены отклонения измеренных диаметров от номинала (в микрометрах). Группированные данные представлены в виде интервального статистического ряда (табл. 1.10). Найдем среднее значение х и дисперсию аз выборки. 4 го,о ов 2 500 = 5,000, з зо. о,ов з зо.о,оз 2 = 1,250, зо.о,он х 6 [4,31, 4,39); х Е [4,39, 4,47); х Е [4,47, 4,55); х Е [4,55, 4,63); х Е [4,63> 4,711; х ф [4,31, 4,71).
48 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОЙ ТЕОРИИ 4,З( 4,З9 4,47 4,55 4,аЗ 4,71 х Рис. 1.6 Таблица 1.10 Обозначив через х((1 середины промежутков 4, 1= 1,10, представим группированные данные в виде табл. 1.11. Таблица 1.11 12,5 7,5 -7,5 -2,5 -17,5 17,5 22,5 27,5 2,5 -12,5 гз ~; и~ = 200 17 7 3 41 49 15 24 26 Среднее значение, согласно формуле (1.13), можно представить следующим образом: К4.
Решение типовых примеров В данном случае н = 200, т = 10, а значения н; и хр3 даны в табл. 1.11. Вычисляя, находим 1 х= — ~ — 7 ° 17,5 — П 12,5 — 15 7,5 — 24 2,5+49 2,5+ +41 ° 7,5+26 ° 12,5+17 ° 17,5+7 ° 22,5+3-27,5) =4,3. Дисперсию выборки находим по тем же данным с помощью формулы «.14): ш ю ог = ~~~ — '(х61 — х) = — ~~) нг(х61 — 4,3) = — ~7 ° 21,8г+ 200., ' ' 200~ + 11 16 8г + 15 11 8г + 24 6 8г + 49 1 8г + 41 3 2г + +26 ° 8,2 +17 ° 13,2 +7 ° 18,2 +3 ° 23,2~) в 8384 Пример 1.10..Нз двумерной еенеральноб совокрнности (Х, У) получена выборка объема н = 20: «365, 0,28); «375, 0,38); «375, 0,42); «375, 0,31); «405, 0,33); «410, 0,47); «410, 0,60); «420, 0,47); «425, 0,50); «415, 0,66); «440, 0,65); «385, 0,37); «390, 0,53); «395, 0,38); «450, 0,85); «450, 0,93); «455, 0,60); «475, 1,68); «480, 1,45); «485, 1,80).
Найдем значение корреляционноео момента выборки 1 ( " Нвр в). По выборке 1365; 1375; 1375; 1375; 1405; 1410; 1410; 1420; 1425; 1415; 1440; 1385; 1390; 1395; 1450; 1450; 1455; 1475; 1480; 1485 находим го х= — 7 х;=1419. 20~ Вж! 50 ь ОснОВные пОнЯтиЯ ВыБОРОчнОЙ теОРии По выборке 0,42; 0,31; 0,33; 0,47; 0,60; 0,66; 0,65; 0,37; 0,53; 0,38; 0,60; 0,68; 1,45; 1,80 0,28; 0,38; 0,47; 0,50," 0,85; 0,93; находим — '7- у= — 7 у; =0,683-0,68. 20~-' ' В результате получаем К~ — ((1365 — 1419) (0,28- 0,68) + (1375- 1419) (0,38 — 0,68) + + (1375 — 14! 9) (0,42-0,68)+ (1375- 1419) (0,31 — 0,68) + +(1405- 1419)(0 33-0 68)+ (1410-1419)(047-0 68)+ + (1410- 1419) (0,60 — 0,68) + (1420- 141 9) (0,47 — 0 65) + + (1425 — 1419) (0,50 — 0,68)+ (1415 — 1419) (0,66 — 0,68) + + (1440- 1419) (0,65- 0,68) + (1385 — 1419) (0,37- 0,68) + + (1390 — 1419) (0,53 — 0,68)+ (1395- 1419) (0,38 — 0,68) + + (1450- 1419) (0,85-0,68)+ (1450 — 1419) (0,93 — 0,68) + + (1455 — 1419) (0,60-0,68) + (1475- 1419) (1,68 — 0,68) + +(1480 — 1419)(1,45-0,68)+(1485-1419)(1,80 — 0,68)) 10,955.
Вопросы и задачи 1.2. Что называют генеральной совокупностью? 1.1. Что называют случайной выборкой, объемом выборки, элементом выборки, реализацией случайной выборки (выборкой)? Вопросы и задачи 1.3. Какие повторные наблюдения (эксперименты) называют независимыми? 1.4. Укажите связь между функцией распределения случайной выборки и функцией распределения генеральной совокупности. 1.5. Что такое статистика, выборочная характеристика? 1.6.
Что такое выборочные распределения? 1.7. Что называют вариационным рядом случайной выборки, вариационным рядом выборки? 1.8. Что называют статистическим рядом? 1.9. Что такое интервальный статистический ряд? 1.10. Дайте определение выборочной и эмпирической функций распределения.
1.11. Дайте определение эмпирической плотности распределения. 1.12. Что такое гистограмма? 1.13. Что такое полигон? 1.14. Что называют выборочным средним, выборочной дисперсией, выборочными моментами, выборочным корреляционным моментом, выборочным коэффициентом корреляции? 1.15. Напишите выражения для среднего значения, дисперсии, начального н центрального моментов, корреляционного момента, коэффициента корреляции выборки. 1.16. По результатам измерений имеем выборку 2781, 2836, 2807, 2763, 2858. Составьте вариационный ряд, постройте эмпирическую функцию распределения и ее график.
Вычислите — -з я,п. Ответ: У= 2809; ~т~ =!206,8. 52 ь ОснОВные пОИЯтиЯ ВыБОРОчнОЙ теОРии 1.17. Докажите, что имеет место равенство В'(Х„) = -'т 'Х,'- (Х)'. в=1 1.18. По результатам измерений задана выборка По выборке составьте статистический ряд, постройте гистограмму, эмпирическую функцию распределения и ее график. Вычислите значения числовых характеристик э, оэ, о. О т в е т: х = 5,73; о э = 1,167; о = 1,06. 1.19. При сверлении отверстий одним и тем же сверлом и последующем измерении диаметров отверстий получены данные, представленные в виде интервального статистического ряда (табл. 1.12).
Найдите значения У и о . Таблица 1.12 О т в е т: э = 40,355; о - 0,04. 3,7; 6,2; 5,2; 7,2; 5,2; 6,2; 5,2; 4,7; 5,2; 5,7; 6,7; 5,2; 5,7; 4,2; 5,2; 5,2; 5,7; 4,2; 5,7; 6,2; 5,2; 7,2; 3,7; 7,7; 5,7; 6,2; 4,7; 7,2; 5,7; 4,2; 5,7; 5,2; 6,2; 5,7; 5,2, "6,2; 4,7; 5,7; 3,2; 3,7; 4,7; 4,2; 6,7; 5,2; 4,7; 5,7; 6,7; 5,2; 6,2; 4,2; 5,2; 4,7; 6,2; 5,7; 4,2; 7,2; 5,2; 4,7; 6,7; 7,2; 6,7; 7,7; 5,2; 4,7. Вопросы и задачи 1.20. Из двумерной генеральной совокупности сделана выборка объема в = 60 (данные приведены в табл. 1.13). Найдите значение выборочного коэффициента корреляции. Таблица 1.И Ответ: р=0,63.
2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ Одной из задач математической статистики (см. 1.2) является оценка неизвестных параметров выбранной параметрической модели. Очень часто в приложениях рассматривают параметрическую модель. В этом случае предполагают, что закон распределения генеральной совокупности принадлежит множеству ( г'(х; И): Йе 6~, где вид функции распределения задан, а вектор параметров И = (Иы ..., И„) неизвестен. Требуется найти оценку для И или некоторой функции от него (например, математического ожидания, дисперсии) по случайной выборке (Хы ..., Х ) из генеральной совокупности Х. Например, предположим, что масса Х детали имеет нормальный закон распределения, но его параметры И1 — — р и Ия = о Я неизвестны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
