XVII Математическая статистика (1081432), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Полученную таким образом совокупность множеств Во на; и зывают систпелаой -г-доверитпельных ммохеестпв, а рассмотренную процедуру — метподом доверитпельиых миожестпв (методом Неймана) для параметра д. Если о' — скаляр, то метод доверительных множеств имеет простую и наглядную графическую интерпретацию (рис.
3.2). Поэтому все дальнейшие рассуждения проведем именно для этого случая, т.е. при г = 1. П Я В Э Рис. з.в Заметим, что процедура построения доверительных множеств Ву основана на выборе множеств Ит, а это может быть в реализовано различными способами, в том числе и с использованием некоторой статистики П = П(Х). Зачастую в качестне статистики П(Х„) используют несмещенную точечную опенку параметра и. Для упрощения дальнейших рассуждений функцию распределения Щь',В) статистики П(Х„) будем предполагать непрерывной, возрастающей по Ф и убывающей по д. Каждому возможному значению параметра о поставим в соответствие значения 1т = 1т(о), 1з = 1з(В), выбираемые из условий Рп(1мд) =о, ~ПЬЮ Р) =1 — б.
(3.5) 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Таким образом, 11(В), 1з(В) являются соответственно кванти- лями уровней а и 1 — В для функции распределения Рп(Ф,В) статистики П(А„). При этом выполняется равенство Р(1~(В) ( П(Х„) ( 1з(В)) = у, 81(В(ж„)) = П(х„), 1з(В(У )) = П(Уе), которые в силу (3.5) эквивалентны следующим: г (П(х„),В) = о, г (П(х„),В) = 1 —,8. (3.6) Построенный таким образом интервал является у-доверительной оценкой для параметра В. Действительно, при любом возможном,а следовательно, и при неизвестном истинном значении В интервал (В(Х„), В(Х„)) накрывает значение В тогда н только тогда, когда наблюдаемое значение статистики П(Х„) попадает в т-зону Не для данного значения В. Тем самым, согласно определению у-зоны, выполняется равенство Если функция распределения Г(е;В) вазрастает по параметру В, то границы 81(В) и 1з(В) у-зоны убывают по В.
Повторяя где т = 1 — о — ~9. Множество значений статистики П(Х„), принадлежащих отрезку [11(В), 1з(В)), обозначим Не и назовем .у-зоной (гамма-зоной) для В (см. рис. 3.2). Как следует иэ этого определения, для любого нозможного значения параметра В вероятность того, что статистика П(А„) попадет в у-зону, равна у.
Далее, каждому значению статистики П(Х„) поставим в соответствие интереел тех значений В, для которых данное значение статистики П(Х„) попадает в у-зону (см. рнс. 3.2). Значения нижней В(Х„) и верхней В(Х„) границ этого интервала определяются из условий 131 Зэь Метод доверительных множеств предыдущие рассуждения, заключаем, что в этом случае значения нижней и верхней границ формально (см. 3.2) определяются из условий Рп(П(я"„),д(я„)) = о, Этот метод применяют аналогичным образом и в тех случаях, когда статистика П(Х„) является дискретной случайной величиной. Рассмотрим, например, случай, когда статистика П(Х„) принимает неотрицательные целые значения О, 1, 2, ... Рис. З.З В отличие от непрерывного случая, рассмотренного выше, границы у-эоны теперь становятся ступенчатыми кривыми (рис.
3.3). При данном фиксированном значении д границу Цо) т-зоны определим как максимальное из чисел к, таких, что выполняется неравенство Р(П(Х ) > Ц = 1 — г'(к;д) > 1 — се. Границу 1з(о) у-зоны определим как минимальное из чисел й, удовлетворяющих неравенству Нижнюю д(Х„) и верхнюю В(т„) границы интервальной оценки параметра д с коэффициентом доверия не меньше Г = 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 132 = 1 — а — Д определим как минимальное и максимальное значе- ния среди всех В, удовлетворяющих неравенствам 1,(в) <щх„) <~,(в), (3.8) т.е. среди всех В, принадлежащих Т-зоне при данном значении статистики П(Х„), полученном в результате эксперимента. Неравенства (3.8) эквивалентны неравенствам с РП(П(я„)+1, В) > ...
Гп(П(я„), В) < 1 — Ф. Отсюда получаем, что если функция распределения статистики П(Х„) убывает по В, то нижнюю и верхнюю границы т-интер- вальной оценки для В формально (см. 3.2) можно определить нз уравнений < Гп(П(Х„), В(Х„)) =1-д, Рп(ЩХ„)+1,В(Х„)) = . (3.9) Аналогично, если функция распределения статистики П(Х„) возрастает по В, то границы Т-интервальной оценки для В формально (см. 3.2) можно найти из уравнений Рп(П(х„)+1, В(Х„)) = о, Р„(х„, в(х„)) =1-в, (3.10) Интервальная оценка Клоппера — Пирсона для параметра биномиального распределения. Пусть дискретная случайная величина Хь 1 = 1, а, характеризует исход 1-го испытания в серии из и испытаний, проводимых по схеме Бернулли.
Тогда случайная величина К = Х~ +... + Մ— число где коэффициент доверия Т= 1 †о †,3. Рассмотрим далее в качестве примеров построение интервальных оценок для параметров биномизльного распределения и распределения Пуассона. 1ЗЗ 3.4. Метод доверительных множеств успехов в и испытаниях. При этом К = К(Х„) — функция случайной выборки Х„= (Хм...,Х„). В рассматриваемом случае П(Х„) = К(Х„).
Функция распределения статистики К(Х„) имеет вид С'р'(1 — р)" ', х > 0; И 'р)= О, к <О. Эта функция убывающая по р. Применяя общую формулу (3.9), получаем, что нижняя и верхняя границы интервальной оценки с коэффициентом доверия г = 1 — а —,9 для параметра р (см. 3.2) определяются из следующих уравнений: о(оо) С'р'(Х„)(1 — р()ь„))" л = 1 —,8 при К(Х„) ) 1, к(Аа) ~~> Сср~(Х„Н1 — р(Х ))" 1 =о при К(Х„) < п — 1.
Эти уравнения называются ироепепиллеи К,лоппера — Пирсомо. При К(Х„) = 0 нижняя граница р(Х„) = О. При К(Х ) = = и верхняя граница р(Х„) = 1. Заметим, что приведенные уравнения Клоппера — Пирсона могут быть также выражены через неполную бета-функцию (см. Д.З.1): В Х (К(Хн),п — К(Х )+1) =А В-Х (К(Х„)+1,п-К(Х„)) =1 — а. Пример З.З. Пусть число испытаний и = 16, а число наблюдаемых „успехов" К = 8, коэффициент доверия у = 0,95.
134 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Полагая о =,6 = 0,025, получаем р= 0,247, р = 0,753. Доверительный интервал для параметра распределения Пуассона. Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, имеющая распределение Пуассона с неизвестным параметром Л. Требуется построить доверительный интервал для параметра Л на основе наблюдаемого значения Н, случайной величины Х. Согласно предположению, функция распределения случайной величины Х имеет вид Лу у —., е, х>0; р(с;Л) = . у.
О, я<0 Это функция, убывающая по Л. Применяя снова формулы (3.9), получаем уравнения л Л е ~~~ я=о, 1=о э' решая которые находим значения нижней и верхней границ доверительного интервала для Л с коэффициентом доверия 7 = 1 — а —,В. При Ы, = 0 значение нижней границы Л= О. 3.5. Решение типовых примеров Пример 3.4. При помощи вольтметра, точность которого характеризуется средним квадратичным отклонением 0,2В, проведено 10 измерений напряжения бортовой батареи. Найдем дояернглельный интервал для истинного значения напряжения батареи с коэффициентом доверия 7 = 0,95, если среднее арифметическое результатов наблюдений У = 50,2В.
Контролируемый признак имеет нормальный закон распределения. 135 3.5. Решение типовых примеров Для нахождения доверительного интервала 1см. З.З) где и1 7з — квантиль нормального распределения уровня 1 — а/2,а о = 1 — 7, обратимся к таблице квантилей нормального распределения (см. табл. П.1). По этой таблице находим и, 7з — но,ять = 1,96. Поскольку о 0,2 и 7 ==1,96=' 01, ~/н ' ~/10 доверительный интервал имеет вид (50,2 — 0,1, 50,2+0,1), или (50,1, 50,3). Пример 3.5.
Из большой партии электроламп было отобрано случайным образом 400 шт. для определения средней продолжительности горения. Выборочная средняя продолжительность горения ламп оказалась равной 1220 ч. Найдем с коэффициентом доверия 7 = 0,997 доверительный интервал для средней продолжительности горения электролампы по всей партии, если среднее квадратичное отклонение продолжительности горения равно 35 ч. Независимо от закона распределения генеральной соеонупностпи Х 1продолжительности горения электролампы) статисуинкп Х-р — 4и, и где и х=-'~~ 'х, имеет аси.нптотичесни нормааьное распределение с парамет- рами 10, 1), что следует из центральной предельной теоремы.
1Зб 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ а 298 35 иг- !г== 5,52 ~/п ~/400 доверительный интервал имеет вид (1220 — 5,52, 1220+ 5,52), или (1214,48, 1225,52). Пример 3.6. В результате пусков 10 ракет получены (в условных единицах) значения боковых отклонений точек попадания от точек прицеливания (табл. 3.1). Таблица 8.1 Номер ракеты 3 4 10 1 2 1,0 1,0 — 0,1 -0,5 -1,0 Отклонение 1,0 2,0 3,0 0,5 5,0 Полагая, что случайная величина Х (случайное боковое отклонение точек попадания от точек прицеливания) имеет нормальное распределение, построим доверительный интервал для ее математического ожидания с коэффициентом доверия т =0,99.
Для нахождения доверительного интервала воспользуемся статистикой Х-р Э(Х„) которая имеет распределение Стыодента с п — 1 степенью свободы. Выборочное среднее имеет значение х = -~х; = — ~1+0,2+1 — 0,1 — 0,5+5— — 1+З+О,5+1) = 1,О1, Поскольку объем выборки большой (и= 400), то границы доверительного интервала находим так же, как и в примере 3.4. Для о = 1 — т = 0,0028 находим квантиль нормального распределения и1 ~г — — ио,озвв — — 2,98. В силу соотношений 137 3.5. Решение типовых приперев а выборочная дисперсия — значение о~ = — ~(х1 — х) = — ~(-001) +0,991+( — 0,01)з+ 1 г и 10 Ы1 + ( — 1,11) + ( — 1,51)~ + 3,99 + ( — 2,01) з + 1,99 + +(-0,51) +( — 0,01) ) =2,8673.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
