XVII Математическая статистика (1081432), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Чтобы доказать существование достаточной статистики для рассматриваемой модели, используем критерий (2.7). Для этого функцию правдоподобия представим в виде 2лх Решеиие типовых примеров где и в 1 о в(~) ячв) = — ехр(-в~~ х1), зм1 1=1 О(В1г. ~во) = (И1".и ) Иэ этого представления, согласно критерию (2.7), вытекает, что о т(х,...,х„) = ) х; =(" ') м(=) -в'= ( ) 1,2 „2 в в в = и ) (пл — 1)(пл — 2) пл — 2 Отметим, что Л Ох=в Вл Л мх=-, в' (см. пример 2.12). Испольэуя эти равенства, вычислим 1(В): цв)=м( ' ) =м(--х) =вх= —. а1пр(х;в) г л 2 л является достаточной статистикой.
г. Чтобы проверить, является ли несмещенная оценка В'(Х„) эффективной, необходимо вычислить ее дисперсию и количество информации по Фишеру 1(В). для дисперсии оценки, предполагая, что пл ) 2, получаем вв (Х„) = м(в (Х„))'- (мв (Х„))' = 112 2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ Теперь можно найти показатель эффективности по Рао— Крамеру 1 пй-2 е(В)— п1(В) ВВ'(Х„) пл Поскольку е(В) < 1, оценка В" (Х„) не яыяется эффективной по Рао — Крамеру. Но при этом 1пп е(В) = 1, так что В'(Х„)— »-+оо асимптотически эффективная оценка параметра В. 41 В заключение отметим, что для нормальной подели Ж(В1, В2~) выборочное среднее Х является несмещенной эффективной оценкой параметра В1 — — и независимо от того, известен параметр В2 2— — оэ или нет.
Для параметра В22 — — ая оценка яыяется смещенной (см. теорему 2.2), а оценка » Еэ(Л„) = — ', ч,,"(Х,- Х)'— 1=1 несмещенной. При известном параметре В1 = и эффективной по Рвов Крамеру является оценка » ~2(Х ) ~ ~»~(Х )2 1=1 (см. пример 2Л). При неизвестном параметре В1 = 11 оценка з2 эффективная, но по Рао — Крамеру она не является эффективной*. 'См:.
Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Вопросыи задачи Вопросы и задачи 2.1. Что называют точечной оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности? 2.2. Какую точечную оценку называют несмещенной? 2.3. Какую точечную оценку называют состоятельной? 2.4. Какая точечная оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе линейных оценок для математического ожидания генеральной совокупностя? 2.5.
Какая точечная оценка для дисперсия генеральной совокупности является: а) смещенной; б) несмещенной? Являются ли зти оценки состоятельными? 2.6. Какую точечную оценку называют эффективной по Рао — Кр амеру? 2.7. Запишите неравенство Рао — Крамера. 2.8. Что называют показателем эффективности по Рвов Крамеру? 2.0. Какую статистику для параметра 6 называют достаточной? 2.10. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования достаточной статвстики.
2.11. Какая связь существует между достаточными статистиками и эффективными по Рао — Крамеру оценками? 2.12. В чем состоит метод моментов нахождения точечных оценок? 2.13. В чем состоит метод максимального правдоподобия нахождения точечных оценок? 2.14. В условиях задачи 1.16 определить значение несмещенное оценки дисперсии ошибок прибора: а) если значение измеряемой величины известно и равно 2800; 114 2.
ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ б) если значение измеряемой величины неизвестно. От ве т: а) зз = 1287,8; б) Яз = 1508,5. 2.15. В условиях задачи 1.18 определите значение несмещенной оценки дисперсии генеральной совокупности Х. Ответ: 52=1,205. 2.16. Выборка объема и извлечена из равномерно распределенной на отрезке 1а, Ь] генеральной совокупности Х. Известна длина этого отрезка Ь вЂ” и = 5, но не известна середина интер- а+Ь вала с= —.
В качестве оценки середины интервала предла- 2 гается среднее арифметическое крайних членов вариационного ряда выборка. Покажите, что зта оценка несмещенная и состоятельная. 2.17. Из генеральной совокупности, распределенной по биномиальному закону, извлечена выборка объема и. Найдите методом моментов оценку неизвестного параметра р и покажите, что эта оценка будет несмещенной, состоятельной и эффективной по Рзо — Крамеру.
2.18. Найдите методом максимального правдоподобия по выборке объема в точечную оценку геометрического распределения Р(Х= хс) =р(1 — р) ' где х; — число испытаняй до появления события; р — вероятность появления события в одном испытании. Ответ: р(Х„) = 1/Х. 2.19. Найдите методом максимального правдоподобия по выборке объема и точечную оценку параметра Д гамма-распределения (о известно) с плотностью 1 Лх)= ..х е Ф, о> — 1, Р>0, х>0. Р~+1Г(о+ 1) Ответ: ЩХ„) =— а+1 115 Вопросы и задачи 2.20. Имеется выборка объема и из генеральной совокупности Х, распределенной по закону Хз с плотностью оьхь-1е-аж р(х)= Г „), х)0 где о — неизвестный параметр.
Найдите с помощью метода максимального правдоподобия оценку параметра а. Ответ: а(д„) = й/Х. 2.21. Из распределения с плотностью извлечена выборка объема в. Найдите оценку максимального правдоподобия для параметра В. Ответ: д(Х„) = гпах~Х;~. 1=1,в 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ 3.1. Понятия интервальной оценки и доверительного интервала Р (В(Х„) < В < В(Х„)) = у. (3.1) В этом случае интервал (В(Х„), В(Х )) называют интервальной оценкой для параметра В с коэффициекяпом доверилч (или, сокращенно, 'у-доверитпелькой интервальной оценкой), а В(Х„) и В(Х ) соответственно низкней и верхней границами интервальной оценки.
Интервальная оценка (В(Х„), В(Х„)) представляет собой интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью у накрывает невзвестное истинное значение параметра В. Таким образом, для различных реализаций случайной выборки Х„, т.е. для различных элементов выборочного пространства Х„, статистики В(Х„) и В(Х„) могут принимать рззлич- При оценивании неизвестных параметров наряду с рассмотренными выше точечными оценками используются также интервальные оценки. В отличие от точечной оценки интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оценивання неизвестного параметра. Пусть Մ— случайная выборка обьгма и из генеральной совокупности Х с функцией распределения г (х;В), зависящей от параметра В, значение которого неизвестно.
Предположим, что для параметра В построен интервал (В(Х„), В(ч„)), где В(Х„) и В(Х„) являются функциями случайной выборки Х„, такими, что выполняется равенство з. Ь Понатиа интервальной оценки и доверительного интервала 117 ные значения. Более того, согласно (3.1), существует подмножество К С .ь,„такое, что если х„б IС, то В ф (В(х„), В(х„)).
При этом вероятностной характеристикой точности оценивания параметра В является случайная величина 1(х„) = в(х„) — в(х„), которая для любой реализации х„случайной выборки Х„есть длина интервала (В(х„), В(х„)). Интервал (В(х„), В(х„)) называют доверительным интнервалом для параметра В с коэффициентом доверия 7 или 'у-доверительным интервалом. Заметим, что наряду с термином „коэффициент доверия" широко используют также термины доверительнал веролтность и уровень довери,а. При этом коэффициент доверия 7 чаще всего выбирают равным 0,9, 0,95 или 0,99, т.е. близким к 1.
В некоторых ситуациях (например, при рассмотрении дискретных случайных величин) вместо равенства (3.1) удается обеспечить лишь неравенство Р1В(Х„) < В < В(Х„) ) > 7, т.е. построить интервальную оценку для параметра В с коэффициентом доверия, не меньшим 7. Иногда требуется оценить параметр В только снизу или только сверху, При этом, если Р(в(Х„) < В) = 7, то статистику В(л„) называют односторонней нижней 7-доверительной ераницей для параметра В. Аналогично, если Р(в <в(х„)) =7, то статистику В(Х„) называют односторонней верхней 7-доверительной границей для параметра В.
118 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Пример 3.1. Пусть д — среднее значение предела прочности Х некоторого материала, которое оценивают независимо друг от друга в каждой из 1У различных лабораторий по результатам и независимых натурных испытаний. Иначе говоря, среднее значение предела прочности в каждой лаборатории оценивают по „своим" эксперимвнгаальным данным, представленным выборкой объемап, и в каждой лабораторви получают „свои значения верхней и нижней границ у-доверительного интервала (рис. 3.1). Рис.
3.1 Возможны случаи, когда у-доверительный интервал для параметра д не накрывает его истинного значения. Если М вЂ” число таких случаев, то при больших значениях Й должно выполняться приближенное равенство у (1У вЂ” М)/Й. Таким образом, если опыт — получение выборки объема п в лаборатории, то уровень доверия у — доля тех опытов (при их многократном независимом повторении), в каждом из которых у-доверительный интервал накрывает истинное значение оцениваемого параметра. 3.2. Построение интервальных оценок Пусть Մ— случайная выборка объема и из генеральной совокупности Х с функцией распределения г (к; д), зависящей от параметра й, значение которого неизвестно. Рассмотрим один 3.2. Построение интервальных оценок из наиболее распространенных методов построения инецереальнмх оценок для В, связанный с использованием цемеара юамой стпапчисепияи — любой спцппистики Т(Х„,В), функция распределеняя которой ие зависит от параметра В.
Примеры центральных статистик приведены в З.З. Для упрощения дальнейших рассуждений будем предполагать следующее: 1) функция распределения Рт(1) является непрерывной и возрастающей; 2) заданы такие положительные числа о и,9, что коэффициеиш доверил у= 1 — о — )3; 3) для любой выборки х„из генеральной совокупности Х функция Т(х„,В) является непрерывной и возрастающей (убывающей) функцией параметра В Е 9. Согласно допущению 1, для любого и Е (0,1) существует единственный корень Ье уравнения Ет(1) = д, который называют квантилью уровня и функции распределения Рт(е) случайяой велнчины Т(Х„,В). Таким образом, согласно допущению 2, имеют место равенства Р(Ь < Т(Х,В) < Ь1 л) = = т'т(Ь1-р) — т'т(Ь~) = 1 — д — о = 'у1 (3 2) которые справедливы для любых возможных значений параметра В, так как Т(Х„, В) — центральная статистика, и ее функция распределения ГтЯ не зависит от В. Для преобразования (3.2) в (3.1), т.е.
для построения искомой интервальной оценки, воспользуемся следующнми соображениями. Пусть для определенностя функция Т(х„,6) является возрастающей функцией параметра В. Тогда, согласно допущеяяю 3, для каждой выборки х„Е Х, уравнения Т(х„,В) = Ь и 120 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Т(х„,В) = Ь1 д имеют единственные решения В(х„) и В(х„) со- ответственно.
При этом неравенства Ь <Т(х,В) <Ь1 П, В(х ) <В<В(х ) являются равносильными, т.е. для любой выборки х„б Х„ они выполняются или не выполняются одновременно. Таким образом, 'у = Р1Ь < Т(Х„, В) < Ь1 д ) = Р ~В(Х„) < В < В(Х„) ) и (В(Х ), В(Х„)) — искомая интервальная оценка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
