XVII Математическая статистика (1081432), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ответ: а) да; б) х > 40,32. 201 Вопросы и задачи 4.18. В соотиетствии с техническими условиями среднее время безотказной работы приборов из большой партии должно составлять не менее 1000 ч со средним квадратичным отклонением 100 ч. Значение выборочного среднего времени безотказной работы для случайно отобранных 25 приборов оказалось равным 970ч.
Предположим, что среднее квадратичное времени безотказной работы для приборов в выборке совпадает со средним кнадратичным во всей партии, а контролируемая характеристика имеет нормальное распределение. Выясните, можно ли считать, что вся партия приборов не удовлетворяет техническим условиям, если: а) о =0,1; б) а=0,01.
От нет: а) да; б) нет. 4.10. Решите предыдущую задачу при условии, что среднее квадратичное отклонение времени безотказной работы, вычисленное по выборке, равно 115 ч. Ответ: а) нет; б) да. 4.20. Утверждается, что шарики, изготовленные станком- автоматом, имеют средний диаметр 4> — — 10мм. Используя односторонний критерий при о = 0,05, проверьте зту гипотезу, если в выборке из и = 1б шариков средний диаметр оказался равным 10,3мм, считал, что: а) дисперсия ол известна и равна пз= 1мм~; б) значение оценки дисперсии, определенное по выборке, составляет 5з = 1,21ммз.
Контролируемый размер имеет нормальное распределение. Ответ: а) гипотеза принимается; б) гипотеза принимается. 4.21. Для проиерки внутреннего диаметра кольца была нанта выборка объема и = 25 и найдены отклонения от размера (погрешность изготовления) 100мм. По результатам измерений подсчитано значение выборочного среднего х = 31,52мм и оценка среднего квадратичного отклонения 5 = бмм. Требуется проверить, существенно ли превышает рассчитанное по выборке среднее значение 131,52мм) номинальный размер 202 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (30мм).
В производстве недопустимы большие положительные отклонения. Погрешность изготовления имеет нормальное распределение. Уровень значимости о = 0,05. Ответ: номинальный размер согласуется с опытными данными. 4.22. Из большой партии резисторов одного типа и номинала случайным образом отобраны 37 шт. Значение выборочного среднего величины сопротивления при этом оказалось равным 9,3 кОм. Используя двусторонний критерий при о = 0,05, прс~ верьте гипотезу о том, что выборка взята из партии с номинальным значением 10кОм при альтернативной гипотезе, согласно которой номинальное значение не равно 10кОм, если: а) дисперсия рассматриваемой случайной величины известна я равна 4кОм~; б) дисперсия значения сопротивления неизвестна, а значение выборочной дисперсии равно 6,25 кОм.
гаспределение контролируемого признака нормальное. О т в е т: а) гипотеза отклоняется; б) гипотеза принимается. 4.23. Установка имеет среднюю произнодительность 1000 кг вещества в сутки со средним квадратичным отклонением, равным 80кг~. При изменении технологии производительность возрастает до 1100кг вещества в сутки с тем же средним квадратичным отклонением. Можно ли считать, что новая технология обеспечивает повышение производительности, если: а) о=0,05; б) о=0,17 Контролируемый признак имеет нормальное распределение. Ответ: а) да; б) да. 4.24.
Ожидается, что при добавлении специальных веществ жесткость воды уменьшается. По опенкам жесткости воды до и после добавления специальных веществ по 40 и 50 пробам соответственно получили средние значении жесткости (в стандартных единицах), равные 4,0 и 3,8. Дисперсия измерений в обоих случалх предполагается равной 0,25. Подтверждают ли 203 Вопросы и задачи зти результаты ожидаемый зффект7 Принять о = 0,05. Контролируемый признак имеет нормальное распределение. Ответ: да. 4.25. Два штурмана определяли пеленг маяка по нескольким замерам, используя различные пеленгаторы. Результаты замеров: ж = 70,2' прн п~ = 4 и у = 70,5л при пз — 9.
С помощью двустороннего критерия проверьте при о = 0,05 гипотезу о том, что различие результатов вызвано только случайными ошибками, если средние квадратичные отклонения для обоих пеленгаторов известны и равны п~ = пз — — 0,5'. От вет: гипотеза принимается. 4.26. Заводы А и В выпускают приборы одного типа.
По выборке из 50 приборов завода А установили среднюю продолжительность работы прибора 1288 ч со средним квадратичным отклонением 80ч, а также по выборке того же объема с завода  — 1208 ч со средним квадратичным отклонением 94ч. На уровне значимости о = 0,05 проверьте гипотезу о том, что средний срок службы приборов с обоих заводов одинаков. Считать, что продолжительность работы одного прибора распределена приближенно по нормальному закону.
Ответ: гипотеза отклоняется. 4.27. При обработке втулок на станке-автомате ведутся наблюдения за режимом его работы. Для проверки стабильности работы станка через определенные промежутки времени изучают выборки объема и = 10. По результатам двух выборок (табл. 4.Ц проверьте стабильность работы станка. Распределение контролируемого признака предполагается нормальным. Также предполагается, что дисперсии генеральных совокупностей, из которых получены выборки, равны. Уровень значимости о=0,05. Ответ: гипотезу о стабильности работы станка следует отклонить. 204 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Таблица 4.1 4.28. Точность наладки станка-автомата, производящего некоторые детали, характеризуется дисперсией длины деталей. Если эта величина будет больше 400 мкмэ, станок останавливается для наладки. Значение выборочной дисперсии, найденное по 15 случайно отобранным деталям нз продукции станка, оказалось равным аэ = 680 мкмэ. Определите, нужна ли наладка станка, если: а) о = 0,01; б) о = 0,1. Контролируемый признак имеет нормальное распределение. Ответ: а) нет; б) да. 4.29. При изменении определенной процедуры проверки коэффициента трения установлено, что дисперсия результатов измерений этого коэффициента составляет 0,1.
Значение выборочной дисперсии, вычисленное по результатам 26 измерений коэффициента трения, оказалось равным 0,2. При уровне значимости о = 0,1 проверьте гипотезу о том, что дисперсия результатов измерений коэффициента трения равна 0,1. Предполагается, что контролируемый признак имеет нормальное распределение. От нет: гипотеза отклоняется. 4.30. На двух токарных автоматах изготавливают детали по одному чертежу. Из продукции первого станка было отобрано в1 = 9 деталей, а иэ продукции второго ия = 11 деталей. Оценки выборочных дисперсий контрольного размера,определенные по этим выборкам, равны а1Я вЂ” — 5,9мкмэ и аяэ — 23,3мкмэ соответственно.
Проверьте гипотезу о равенстве дисперсий при о = 0,05, если альтернативная гипотеза утверждает следу- 205 Вопросы и задачи ющее: а) дисперсии не равны; б) дисперсия размера для второго станка больше, чем для первого. О т нет: ь) гипотеза принимается; б) гипотеза отклоняется. 4.31. Давление в камере контролируется по двум манометрам. Для сравнения точности этих приборов одновременно фиксируют их показания.
По результатам 10 замеров значения оценок 1в единицах шкалы приборов) оказались следующими: У = 1573, у = 1671, з~ = 0,72, 5~Я = 0,15. При о = 0,1 проверьте гипотезу о равенстве дисперсий. Ответ: гипотеза принимается. 4.32. На двух станках А и В производят одну и ту же продукцию, контролируемую по внутреннему диаметру изделия. Из продукции станка А быль взята выборка из 16 изделий, а из продукции станка  — выборка из 25 изделий и получены значения хл = 36,5мм, Вл — — 1,21мм~, Ув = 36,8мм, Яв~ — — 1,44ммз. Проверьте гипотезу о равенстве математических ожиданий контролируемых размеров в продукции обоих станков при двусторонней альтернативной гипотезе, если: а) о = 0,05, б) а = 0,1.
Предполагается, что распределение контролируемых размеров нормальное и ил~ — — а~в. Ответ: а) гипотеза принимается; б) гипотеза принимается. 4.33. Сравниваются прочностные характеристики сталей а марок А и В. Для этого испытаны на предел прочности 145 образцов марки А и 200 образцов марки В. В результате получили з~ — — 31,40, Я = 3,36, зл~ — — 28,84, Я = 3,51. Можно ли на уровне значимости о = 0,1 считать, что стали имеют разные прочностные характеристики? Предварительно следует убедиться, что дисперсии равны.
Контролируемый признак имеет нормальное распределение. Ответ: да. 206 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 4.34. При 50 подбрасываниях монеты „герб" появился 20 раз. Можно лн считать, что процент появления „герба" не равен 507 Принять о=О>10. Ответ: гипотеза принимается. 4.35. При 120 бросаниях игральной кости „шестерка" выпала 40 раз. Согласуется ли зтот результат с утверждением, что кость „правильная"'? Ответ: нет.
4.36. В условиях примера 4.15 найдите границы областей принятия гипотез Но, Н1 и средний объем испытаний, если Но- 9=до=04' НП >7=9! =05' о=005 11 =005. О т нет: Н„= 0,45в — 8,26; И„= 0,45в+ 8,26; Мои = 127; М1 и= 148. 4.37. В условиях примера 4.16 найдите границы областей принятия гипотез Но, Н1 и средний объем испытаний при Л=Л =О,1; Л=Л, =О 3. О т нет: 5„= 5>49в+ 11,25; Я„= 5>49и — 1445; Мои = 3; М|и= 6. 5. ПРОВЕРКА НЕПАРАМЕТРИ'ЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Статистические методы, изложенные в 2-4, опираются на различные априорные допущения о виде исследуемой статистической модели.
Например, метод максимального правдоподобия применяют при известном (с точностью до вектора параметров) законе распределения генеральной совокупности. Основные методы построения доверительных интервалов и проверки статистических гипотез основаны на предположенян о нормальном законе распределения генеральной совокупности. Все зти методы предполагают, что результаты наблюдений являются реализациями независимых случайных величаи. Оказывается, что многие предположения о виде статистической модели, в том числе все перечисленные выше, можно сформулировать как статистические гипотезы и проверить при помощи статистических критериев на основании егаатистичеекиг данных.
Наиболее важные из этих критериев рассмотрены в этой главе. 5.1. Критерии согласия. Простая гипотеза Критериями согласия называют статистические критерии, предназначенные для обнаружения расхождений между гипотетической статистической моделью и реальными данными, которые эта модель призвана описать. Другими словами, они выясняют, насколько предположения о распределении случайных величин соответствуют экспериментальным данным, т.е. не вступает ли принятая статистическая модель в противоречие с имеющимися данными.
208 Л. ПРОВЕРКА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Критерий Колмогорова. Пусть Մ— случайная выборка объема п из генеральной совокупности Х. Рассмотрим задачу проверки простой статистической гипотезы Но о том, что функция распределения г'(с) случайной величины Х совпадает с некоторой известной функцией со(с): (8.1) Но. "с'(С) = со(я), 1 Е як. Предположим, что случайнал величина Х непрерывна. Провер- ка основной гипотезы Нр против альтернативной гипотезы Ня. .Р($) ф Ро(1) длЯ некотоРых 1 Е К (5.2) Р(го) = вир)" (я) — го(я)! с (5.3) где р'„(1) — эмпирическая функция распределениц построенная по реализации г„случайной выборки Х . При заданной вероятности о совершения оияибки первого рода критперий Коллаогорово" отклоняет гипотезу Но в пользу Н1 нв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
