XVII Математическая статистика (1081432), страница 23
Текст из файла (страница 23)
табл. П.2). Находим выборочное значение 195 4.7. Решение типовых примеров 42,972 — 43 д~ 0,1 Поскольку полученное значение принадлежит критическому множеству (1,98 > 1,96), то гипотезу Но отклоняем. Пример 4.24. В условиях примера 4.23 проверим гипотезу Но. .р = ро —— 43мм при альтернативной гипотезе Н~. -р ~ 43мм, если ол неизвестна. Рассчитанное по результатам выборочное среднее квадратичное отклонение Я = 0,1мм. Решение.
Выбираем уровень значимости а=0,05. По таблице квантилей распределения Стьюдевпю (см. табл. П.4) находим квантиль 1~ 7э —— 2,01 с числом степеней свободы 49. Критическое множество для рассматриваемых гипотез (см. пример 4.13) имеет вид ~/в~ > 2,01. Вычисляя выборочное значение статистики 1 ~ И Я Л ) получаем 42,972' — 43 ~— в— 0,1 Полученное значение не принадлежит критическому множе- ству, поэтому гипотезу Но принимаем. Пример 4.25.
Ведутся наблюдения за состоянием технологического процесса. Разладка оборудования приводит к изменению номинального значения контролируемого признака Х, имеющего нормальное распределение с дисперсией оэ = = 0,069 ммэ. Для проверки стабильности технологического про- 196 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ цесса через каждые три смены изучают выборку объема в = 50.
По результатам двух выборок рассчитывают х1 — — 3,038мм н яя = 2,981мм. Проверим стабильность технологического процесса. Р е ш е н и е. Для проверки стабильности технологического процесса необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий Н1. н1 =Из (ол известна). В качестве конкУРиРУющей гипотезы выбиРаем НП И~ > нз, так как номинальное значение контролируемого признака уменьшается с течением времени. Выбираем уровень значимости, например о = 0,0027.
По таблице квантилей нормального распределения (см. табл. П.2) находим квантнль уровня 1 — а = 0,9973: в1 = 2,78. Критическое множество имеет вид (см. пример 4.15) ) 2,78. — +— и т Поскольку значение У1 — Уз 3,038 — 2,981 — 1,085 — — ~/0,069( — <- — ) не принадлежит критическому множеству, гипотезу Но принимаем, т.е. делаем вывод, что технологический процесс на момент проверки можно считать стабильным. Пример 4.26.
Давление в камере измерялось дважды двумя манометрами. По результатам 10 замеров получены следующие данные (в единицах шкалы приборов): х = 1573, р = 1671, Я~ = 0,72, Язз = 0,75. Выясним, есть ли основание считать, что давление в камере не изменилось, если ошибки измерения распределены по нормальному закону. Решение. Проверяем гипотезу Не. И1 — — Из при альтернативной НП И1 ф нз, предполагая, что дисперсии не известны, 197 4.7. Решение типовых примеров ио одинаковы. Задаем уровень значимости о = 0,01. Для построения критического множества используем статистику (см.
пример 4.15) )Х вЂ” У) )) + — 2) По таблице квантилей распределения Стьюдента (см. табл. П.4) находим квантиль уровня ск = 0,995 с числом степеней свободы и+ т — 2 = 18: 1) )г —— 1о,еев = 2,88. Рассчитываем выборочное значение статистики Т) 1573 — 1671 10.
10 18 и)). 0,147 20 Гипотезу Но отвергаем, так как значение — 243 принадлежит критическому множеству: ~ — 243[ > 2,88. Пример 4.27. Цех выпускает болты. Из партии болтов взята выборка объема и = 20 и измерена длина каждого болта, по которым рассчитаны выборочное среднее Х = 18мм и выборочная дисперсия 5г = 784ммг. Выясним, можно ли считать, что станок обеспечивает допустимый для данной партии разброс, или же расчетное значение 5~ указывает на несоответствие точности изготовления деталей предъявляемым требованиЯм, согласно котоРым пег — — 400 ммг.
КонтРолиРУемый признак распределен по нормальному закону. Решение. Для ответа на поставленный вопрос проверим гипотезу о величине дисперсии Но. по — — 400ммг, выбрав в качестве альтернативной гипотезу Н1. пг > пег. Назначаем уровень значимости а = 0,05. Для того чтобы построить критическое множество, воспользуемся статистикой (и — 1)5г(Х„) ог 198 4 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (см. Д.З.1), которая имеет распределение Хг с числом степеней свободы п — 1.
По таблице квантилей этого распределения (см. табл. П.З) «Д „(19) = 30,1. Критическое множество имеет вид (и - «)Я~ ~ — ' — > 30,1. Вычисляем выборочное значение статистики Ъ'. аг (и — 1) Яг 19 ° 784 аг 400 Гипотезу Но отклоняем, так как 37,24 > 30,1.
Пример 4.28. До наладки станка была проверена точность изготовления 10 изделий и найдена оценка дисперсии контролируемого признака Я = 9,6. После наладки измерено еше 15 изделий и получена оценка дисперсии Я = 5,7. Можно ли считать, что точность изготовления изделий после наладки повысилась? Контролируемый признак имеет нормальное распределение. Р еш ен и е. Для ответа на поставленный вопрос проверим гипотезу о равенстве дисперсий Но. .а~ — — аг при альтернаг г тивной гипотезе Нг. аг > агг. Назначаем уровень значимости о = 0,05. Для построения критического множества используем статистику Г = Я(Х„)/Я(Х„), которая имеет распределение Фин«ерасо степенями свободы и« вЂ”вЂ” 9 и юг =14 (см. Д.З.1). По таблице квантилей распределения Фишера (см. табл. П.5) находим Л- (9 14) = Уиди(9, 14) = 2,65.
Критическое множество имеет вид Я(я„)/Я(х„) > 2,65. Вычисляем значение статистики Г: 9,6/5,7 = 1,68. Гипотезу Но принимаем, так как 1,68 < 2,65. Пример 4.29. В условиях примера 4.15 найдем границы областей принятия гипотез Но, Н«и средний объем испытаний (нижнюю гРаницУ), если Но: д =4о = 1/3, Н«. 'а= у« = 1/2, о = 0,05,,6 = 0,1. Решение. Для определения границ областей принятия гипотез Но и Н«(см.
(4.49)) находим В 0,1/0,95= 2/19, 199 Вопросы и задачи А = 0,9/0,05 = 18. Тогда 6 = — !и(2/19) = 2,25, а = !и 18 = 2,89. Далее получаем С2=!и ~ ' ' =!и '(19/9) =1,34, С2 =!и =0,072. 2 0,1 0,95, 19/18 0,05 - 0,9 ' ' 19/9 Итак, 4„ = 0,072п — 2,915 — граница области принятия гипотезы Но, а 4, = 0,072п+3,873 — граница области принятия гипотезы Н4, Наконец, находим средний объем испытаний для двух рассматриваемых гипотез: (1 — 0,05) 1и -еи- + 0,05 1и ое з з з з з 11и 3+ 1!и 4 М,и= 2 з 4 з --40,3.
— !и-+ — !и— 2 2 2 4 Вопросы и задачи 4.1. Что такое статистическая гипотеза (гипотеза)? 4.2. Какую статистическую гипотезу называют параметрической, однопараметрической, многопараметрической? 4.3. Какую гипотезу называют основной, альтернативной, простой, сложной? 4.4. Что такое статистический критерий? 4.5. Что такое уровень значимости критерия для проверки статистической гипотезы? 4.6.
Какое множество называют критическим для проверки статистических гипотез? 4.7. В чем состоит ошибка первого рода, второго рода? 4.8. Что называют мощностью критерия? 4.9. Какой критерий называют оптимальным (наиболее мощным) при заданном уровне значимости? 200 4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 4.10. 1то называют размером критерия? 4.11. Какую функцию называют функцией мощности критерия,оперативной характеристикой критерия? 4.12. Какой критерий называют равномерно наиболее мощным? 4.13. В чем состоит общий метод отношения правдоподобия для сложных параметрических гипотез? 4.14. В чем состоит последовательный критерий отношения правдоподобия (критерий Вальда)? 4.15. Чему равны средний объем испытаний, нижняя граница среднего объема испытаний для критерия Вальда? 4.10.
Генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения, пз = 1. Укажите объем выборки, при котором может быть построен критерий для проверки двух простых гипотез Но'. и = по —— 4,6, Н~. и = д~ —— 5. Заданы вероятности о = 0,01 — ошибка первого рода и Р = 0,05 — ошибка второго рода. Указание: используйте решение примера 4.8. Ответ: и ) 99. 4.17. Иэ продукции автомата, производящего некоторые детали с номинальным значением контролируемого размера до — — 40мм, была взята выборка объема и = 36. Значение выборочного среднего контролируемого размера х = 40,2мм. Есть основание предполагать, что фактические размеры образуют нормальную генеральную совокупность с дисперсией ох = 1 мм~. Выясните: а) можно ли по результатам проведенного выборочного обследования утверждать, что контролируемый размер не больше номинального (принять о = 0,01); б) каково критическое множество в этом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
