XVI Теория вероятностей (1081428), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Значит, согласно теореме 5.4, случайные величины Х и У являются независимыми. Пример 5.24. Известно, что рост Х1 и вес Хз взрослого мужчины (и женщины), проживающего в одном регионе, достаточно хорошо описывается двумерным нормальным законом раснределенив. В частности, рост (в сантиметрах) и вес (в килограммах) мужчин некоторой страны Нормзлии подчинены нормальному закону с вектпором средних значений ~74 = (172, 74) /45 28 1 и машриией ковариаиий Е = ~ Найдем вероятности следующих событий: а) рост случайно встретившегося нормзльца больше среднего;. б) его вес меньше среднего; в) его рост больше среднего, а вес меньше среднего. а. Одномерное распределение случайной величины Х4 является нормальным со средним значением гн1 = 172 и дисперсией о~~ = 45.
Поэтому вероятность того, что рост случайно встретившегося нормавьца будет больше среднего, равна: Р(Х1 > 172) = 1 — Ф17з,(4вв(172) = 1 — Фв(0) = 0,5. б. Действуя, как и в предыдущем пункте, приходим к следующему результату: вероятность того, что вес случайно встретившегося нормзльца будет меньше среднего, также равна 0,5. 207 б.б. Репзеппе типовых примеров в. Для того чтобы найти вероятность Р(Х1 > 172, Хг < 74) того, что рост случайно встретившегося нормальца будет больше среднего, а его вес меньше среднего, выпишем совместную плотность распределения случайных величин Х и У.
Вычислив коэффициент корреляции р= = ° 0,66, (712 28 зЯ~~2 ~45 40 имеем -~2 Я(х1-1722хз — 74) 2 2(42 42 (2 — 0,66 ( где Я(х1 — 172, хг — 74) = 1 (х1 — 172) г 2 0,66(х1-172) (хг — 74) (хг -74)2 1Г 40 1 — 0,662 45 45 40 Тогда Р(Х1 > 172,Х2 < 74) = 2т хз>172 хз <74 Проводя замену , — 172 = 46~/1 — 0,66Ъ 0, — 74= '40072-0,66 Ы0, вычисляя яззобоан (з(П] дх1 дх1 =445 40 (1 — 0,66 )г дхз дхз де д(р 208 3. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и учитывая, что область интегрирования (хт > 172, х2 < 741 при этом переходит в область (г > О, Зх/2 < тр < 2тг), получаем 1-0,66 Р1,>166, 414т= 2тг 2Р +044 х йр гехр~ — — (т сов тр-2 О,ббт' совтрвштр+г вш 4р) туг= 2 2 2 ° 2 2 2 ЗР/2 0 20 >44-0,66' Г 2тг 1 1-2 О,ббсовтрвштр 346 т'2 тх 0,66 = — 1--~16 ' 0,11.
6 '16 ! — 0,66 / Таким образом, искомая вероятность равна примерно 0,11. Отметим, что если бы рост и вес были независимыми величинами, то эта вероятность равнялась бы 0,5 0,5 = 0,25, т.е. была бы в два с лишним раза больше. Пример 5.25. 1рехмерньтйсзучвйньтйвектор Х=(Х21 Х2, Хз) распределен по нормазьному закону с вектором средних значений тй = (2,5, 1, 2) и матрицей ковариаций Найдем: а) совместную плотность распределения случайного вектора Х; б) одномерные плотности распределения случайных величин Хт1 Х2 и Хз. Б.о.
Ретеиие типовых примеров а. Вычислим определитель матрицы Е и матрицу Е, обратную к матрице Е (11)( 2 1 йеЗЕ = без 1 3 0,5 2 0,5 2 = 13,25, 4 -3 0,5 7,75 — 3,5 -35 5 1 8 Е=Е ~ = — -3 13,25 0 5 1 Тогда (х - оз)Е(х - т) = (х( — 2,5 хз — 1 хз — 2) х х — -3 7,75 -3,5 хз — 1 1 = — [8(хз — 2,5) — 6(х1 — 2,5) (хз — 1) + 7,75(хз — 1) + + (х( — 2,5)(хз — 2) — 7(хз — 1)(хз — 2) + 5(хз — 2)~~ > 1 Рх(х) (,/2я)з ДУ25 х ехр — — ~8(х( -2,5) -6(х(-2,5)(хз-1) +7,75(хз-1) + 3 1 <-( ~-2 5(( ~-2( — 7( г — 1(( г — 2(<-5(щ — 2(~)].
б. Случайные величины Хм Хз и Хз распределены по нормальному закону с параметрами гп1 = 2,5 и сг1 = Л, пзг = 1 и совместнал плотность распределения случайного вектора Х, согласно (5.5), имеет вид 210 6. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и <тз = ~ГЗ, тз = 2 и пз = ~Г2. Поэтому Рх,(х) = е-(х-з,6)'/4 Рх (х) = — е 1я 1) ~е, 1 Р,(х) е-(*-з)'/з 1 2~/2тг Пример 5.26. Двумерная случайная величина (Х1, Хз), представляющая собой координаты падения случайной точки на плоскость, распределена по нормальному закону с вектором средних значений тХ = (1, 2) и матрицей ковариаций Е у = 36 -2 5 Найдем: а) оси рассеивания двумерной случайной величины (Х1, Хз); б) вероятность попадания случайной величины Х1 в интервал (1/3, 1); в) вероятность попадания двумерной случайной величины (Х1, Хз) в область Р, ограниченную эллипсом [1?1], 5х1+ 4х1хз + Зхз — 18х1 — Збхз + 41 = О.
а. Направление осей рассеивания совпадает с направлением собственных векторов матрицы [1У] 2 Собственные значения матрицы Еу определим из уравнения бес(Е~ — Л1) = Йе1 = Л вЂ” 13Л+ Зб = О. 2 8-Л/ Они равны Л1 — — 4, Лз = 9. Решая систему '1,2 8/ 211 Б.б. Решение типовых аримероа находим нормированные собственные векторы Поскольку оси рассеивания проходят через точку О'(1;2), то уравнения осей рассеивания имеют вид х1 — 1 хг — 2 х1 — 1 хг — 2 и 2 -1 1 2 В частности, в системе координат х~10'х~г с центром в точке О' и базисными векторами Щ е1' и ег' координаты (Х',;Хг) случайной точки имеют нормальное распределение с вектором средних йг о, = (О; 0) и матрицей ковариаций х* 0 1УЛг 0 1У9 ег' ( 1 2 ~ГЛг г~ ~Г45 5~/45 5~ е1' ( 1 1 ~/Х~ ~ Л' ~/200) ' то в этой последней системе координаты (1~~,Уг) случайной точки будут иметь стандартпное нормальное распределение.
б. Случайная величина Хг имеет нормальное распределение со средним значением гпх, = 1 и средним квадратичным оп~- нлонениен сто, = ~(2/3. Паьтому Р(- <Х1 <1) =Ф д(1) — Ф, д(-) = =Ф( — '') — Ф('~~ ') =Ф(0)-Ф(-~/2) =0,42. в. Матрица квадратичной формы 5х1г + 4х1хг + 8хг, которая представляет собой многочлен второй степени, определяющий Наконец, если ввести систему координат у10'уг с центром в той же точке О' и бззисными векторами 212 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ рассматриваемый эллипс, совпадает с матрицей ЕЕ. Поэтому оси симметрии эллипса параллельны осям рассеивания случаиной величины (Х1, Х2). Более того, проводя вычисления, получаем, что центр эллипса совпадает с центром рассеивания О'. Значит в системе координат, образованной осями рас- 1 Ф сеивания, т.е. в системе координат с центром в точке О и базисными векторами е1' и е2', эллипс имеет каноническое уравнение.
Поскольку матрица квадратичной формы в уравнении рассматриваемого эллипса совпадает с матрицей Еу, видим, что этот эллипс является одновременно эллипсом рассевванил, и в системе координат у10у2 он превращается в окружность р2+ р2 = 4. Поэтому вероятность попадания двумерной случай- 1 2 ной величины (Х1, Х2) в область 12 равна вероятности попадз ния двумерной случайной величины (1~~, Ъ'2), распределенной по стандартному нормальному закону, в круг радиуса 2 и определяется формулой гг 1 я+22 Р((Х1, Х2) Е Щ = Р(Ъ'~~+1г2~ (41 = Д вЂ” е 2 Ир1Ыу2. 22+22 <4 Переходя к полярным координатам, получаем 2т 2 2 Р((Х1,Х2) ЕВ)= байр '4 — е 2 рйр=1 — е 0,14.
,/ 2я 0 О Таким образом, искомая вероятность приближенно равна 0,14. Вопросы и задачи 5.1. Что называют и-мерной случайной величиной (п-мерным случайным вектором)? 5.2. Дайте определение совместной функции распределения (вероятностей) и-мерной случайной величины (и-мерного случайного вектора). Вопросы и задачи 213 5.3. Какими свойствами обладает функция распределения и-мерного случайного вектора? 5.4. Как найти вероятность попадания двумерной случайной величины (Х, У) в прямоугольник (а~ < х < аз, 6~ ( (у < Ьз) с помощью совместной функции распределения Рху (я, у)? 5.5.
Какую двумерную случайную величину называют дискретной? 5.6. Каким образом можно задать распределение двумерной случайной величины? 5.7. Какую двумерную случайную величину называют непрерывной? 5.8. Дайте определение совместной (и-мерной) плотности распределения (вероятностей). 5.9. Какими свойствами обладает двумерная плотность распределения? 5.10.
Как найти одномерные плотности распределения по двумерной плотности распределения? 5.11. Как найти вероятность попадания в некоторую область с помощью плотности распределения? 5.12. Как найти совместную плотность распределения, если известна совместнал функция распределения непрерывной случайной величины? 5.13. Как найти совместную функцию распределения и- мерной непрерывной случайной величины, если известна ее совместная плотность распределения'? 5.14. Какие случайные величины называют независимыми? 5.15. Могут ли случайные величины быть независимыми попарно,но зависимыми в совокупности? 5.16. Как проверить независимость двух дискретных случайных величин? 214 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
