XVI Теория вероятностей (1081428), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Б.Б. Мвогомервое ворматьвое расвределввве 187 Если Х1 и Хг являются независимыми случайными величинами, то, согласно результатам предыдущего параграфа (см. теорему 5.3), рх, х,(Х1,хг) = рх,(х1)рх,(хг) и в этом случае плотность двумерного нормального распреде- ления имеет вид 1 / (Х1 — 1711) (Х2 — тпг) РХьХт(Х1>хг) = г — г ЕХР ~ 2 2 2 2 (1~2я)го1ог 1, 2о1 2ог В общем случае вектор Х = (Х1, Хг) имеет (невырогкденное) двумерное норма.явное распределение, если его плотность распределения определяется формулой 1 -19(х -вт в -ы ) (Лт) го'1 ог 1/1 — Рг где функция двух переменных 1в(У11 рг) = — ~ — 2 — + — 2), (5.3) 1 /У1' 2ру1уг уг''1 1 — Рг ~о1 о1ог ор) у; = х; — тп,, т = 1, 2, есть положительно определенная квадратичная форма [1'т'] (т.е. Я(У1,уг) ) О для любых (У1, рг) Е )и, (р„р,) ~(о, о)).
Двумерное нормальное распределение зависит от пяти параметров: — координат тп1 и тпг вектора тй = (тп1,птг), называемого вектпором матпематпических охсиданий вектора Х = = (Х1, Хг); — координат о1 и ог вектора о = (о1, ог), называемого вектпором средних квадратпичных отпклонений вектора Х=(Х„Х,); — числа р, )р~ ( 1, называемого коэффицитпентпом корреллтфии случайных величин Х1 и Хг. 188 о. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Последние три параметра запишем для дальнейшего обобщения на случай и > 2 в виде мапгрицы ковариаций (ковариациокной матприцы) Е вектора Х = (Х1, Хг): ам о1г где оп = ог, 1 = 1, 2, а о1г = аг1 = ро1 аг.
Если ввести матрицу Й, обратную матрице Е, т,е. и вектор у'=(у1 уг) то квадратичную форму (5.3) можно записать в матричной форме в виде Я(у) =уЙу, (5.4) где знак „тч означает транспонированне. Действительно, если учитывать, что она 1 Е=— 1- рг то, подставляя Й в (5.4), приходим к выражению (5.3). Далее, если заметить, что множитель а1аг «/1 — рг = МеФ Е, где бе$Š— определитель матрицы Е, то выражение (5.2) можно записать в виде р;.(У) =, е-а(~-~)'('-~) . (5.5) («/2~г)г(бегЕ) г Теперь можно записать плотность (невырожденного) нормального распределения для случайного еектпора Х=(Х1, ..., Х„) произвольной размерности и > 2. 5.5.
Мяогомериое яорматьяое распредетеяие 189 Как и в двумерном случае, многомерное нормальное распределение ~многомерныт1 нормальныт1 закон) определяется вектором средних значений йт = (тпм ..., тп„) и матприцет1 коеариацит1 (коеариационной матприцей) Е = (сгту), т,у = 1, и, причем Е является положительно определенной симметрической матрицей [1Ч). Диагональный элемент оа матрицы Е называют дисперсиет1 случайной величины Хо а о; = ~Я,.
— средним кеадратпичным отпклонением Х;. Недиагонэльный элемент о;1 называют коеариацией случайных величин Х; и Х1 (ату зэ писывают также в виДе отУ = Р;уотот, и тогДа Р;. называют коэЯфициентпом корреляции Х; и Х ). Обозначив, как и прежде, Е матрицу, обратную к матрице Е, и использовав матричную запись, плотпностпь многомерного ~п-мерного) нормального распределения определим следующим выражением, аналогичным (5.2): (У) хх Е ~~ (~/2тт)" (бес Е) т Если матрица Е (а значит, и матрица Е = Е т) совпадает с единичной матрицей 1, а вектор тп = (О, ..., 0), то хт РХь...,Хх М''') х) ( я~ ) (ж Ж 1 — Е т (хт+"'+ха) Такую плотность по аналогии с одномерным случаем называют плотпноспъью стпандартпного многомерного (и-мерного) нормального распределения.
Дадим геометрическую интерпретацию плотности нормального распределения. 190 Б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ РХьХъ(хд ~х2) о ~ которое с учетом (5.2) можно записать в виде Я(хд — дддд,хг — дддг) = Ь, (5.6) где Ь = -21п(2ха(д$егЕ)*), а Я(хд — дпд,хг — дддг) определяется д формулой (5.3). Последнее уравнение представлжт собой уравнение эллипса (точнее говоря, семейства эллипсов при разных значениях Ь). Оси симметрии О'хд и О'хг этого эллипса (рис. 5.5) проходят через точку О'(дддд;дддг), а их направления совпадают с напра влевиями собственных векторов матрицы Е.
В свою очередь, собственные векторы е;, д = 1,2, матрицы Е определяются из уравнений [1У] е";Е = Л;е"; где Л; — собственные значения матрицы Е, т.е. решения характеристического уравнения д1ег(Š— Л1) = О, Лгпдгпгг(1 — рг) — Л(огд + огг) + 1 = 0. Углы дг;, г = 1,2, между осями симметрии эллипса и осью Охд можно выразить через параметры од, аг и р по формуле 2ридп2 262ол =, од — пг (5.7) Начнем с двумерного случая.
При этом (Хд,Х2) будем трактовать как координаты брошенной случайным образом на плоскость точки. Функция рх„х,(хд,хг) задает некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Ливии уровня этой поверхности имеют уравнение 5.5. Мвогомервое вормаеьвое рвсвредееевве 191 Рис. 5.5 Оси симметрии эллипса (б.б) называют осямн рассеивания, сам эллипс — эяяипсом рассеивания (или эя внпсо.н равной ееро*тпностпн), а центр эллипса — точку О (т6 пИ) — Ченпьром рассеивания. Из формулы (5.7), в частности, следует, что при р = О, о1 55 оз оси рассеивания параллельны координатным, при о1 —— <тз = о эллипс рассеивания представляет собой окружность радиуса и и в качестве осей рассеивания можно взять любые две перпендикулярные прямые, проходящие через точку О'.
Вводя новую (прямоугольную) систему координат, оси которой совпадают с осями рассеивания, т.е. каноническую систему координат для эллипса рассеивания, можно показать, что в этой системе координаты (Х1, Хз) случайной точки имеют нормальное распределение с нулевым вектором средних значений 1п' = (О;О) и матрицеи ковариации Е' = ~ 1 ), где п1 —— —, у 1 оз — — —. ~Гл,' Если изменить масштабы на осях канонической системы координат, взяв за единицы отсчета о~~ и о~~ соответственно, то в такой системе координат координаты случайной точки будут иметь нормальное распределение с нулевым вектором средних 192 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и единичной матрицей ковариаций, т.е.
иметь двумерное стандартное нормальное распределение. Аналогично в случае и ) 2 уравнение или эквивалентное ему уравнение (х - тй) Е(х - тй) = Ь, Ь = -21п1(~/2~г)" а(бей Е) ~ ) в силу положительной определенности матрицы Е представляет собой уравнение и-мерного зллипсоида, называемого зллиисоидом рассеиваиил, его оси симметрии по-прежнему называются осями рассеивания. Будем трактовать п-мерный случайный вектор Х как координаты случайной точки в и-мерном пространстве. Пусть х~»...,х'„— каноническая система координат эллипсоидов рассеивания, тогда новые координаты (Х(, ..., Х„') случайной точки снова будут описываться и-мерным нормальным законом, имеющим нулевой вектор средних га' и диагональную матрицу ковариаций Е', причем ее диагональные элементы оЦ = 1/Л;, где Л;, 1 = 1, и, — собственные значения матрицы Е с учетом их кратностей.
Еще раз вводя новые координаты у; = о~х'; (т.е изменяя масштабы на осах канонической системы координат), получаем, что в последней системе координат ум...,у„координаты случайной точки будут распределены по стандартному нормальному закону. Таким образом, делая обратные преобразования, можно трактовать (невырожденный) нормально распределенный вектор Х с произвольным вектором средних тв и матрицей ковариаций Е как координаты случайной точки в некоторой (вообще говоря, не ортонормированной, но ортогональной) прямолинейной системе координат, причем эта точка имеет стандартное нормальное распределение.
Пример 5.12. Известно, что при стрельбе по плоской цели отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания хорошо описывается двумерным нормальным распределением. о.о. Мвогомервое иормавьвое ривдревееевие 193 1' 0,005 -0,0035 ( (~ -0,0035 0,0075 /' Определим собственные эначения и собственные векторы матрицы Е. Собственные эначения находим иэ уравнения 40400Лг 500Л+ 1 0 они равны Лд ю 0,0025, Лэ и 0,01. Решая уравнения -0,0035 д 0 0075 / = 0,0025ед ) -0,0035~ ~ =0,01е, „1' 0,005 д Л -0,0035 ( 0,005 ~, -0,0035 находим собственные векторы ед — (7, 5), еэ — (-5, 7). Тогда уравнения осей рассеивания принимают вид яд-2 яэ-3 -5 7 х~ -2 яэ — 3 7 5 а матрица ковариаций в канонических координатах При испытании гаубицы было обнаружено, что в некоторой прямоугольной системе координат с центром в точке О прицеливания вектор Х = (Хд, Хэ) отклонений (в метрах) от точки О имеет вектор средних дУд = (2, 3) и матрицу коварнаций (в /300 140 д квадратных метрах) Е = ~ Найдем уравнения осей рассеивания двумерной случайной величины (Хд,Хэ).
Центр рассеивания находится в точке О'(2, 3). Матрица Е = Е д имеет вид 194 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Плотность распределения случайного вектора (Х1,Х2), представляющего собой координаты отклонения точки разрыва от точки О', вычисленные в ортонормированной системе координат, связанной с осями рассеивания, имеет вид + рх',х'(хмхг) = — е 2 ~400 1007 400я Для того чтобы получить стандартное нормальное распределение, мы должны за единицу масштаба по большей оси эллипса рассеивания принять 20 м, а по меньшей — 10 м.
Предположим теперь, что цель поражаетсл в том случае, когда точка разрыва снаряда находится от нее не далее чем в 10 м. Вычислим вероятность поражения цели одним снарядом. В соответствии с формулой (5.5) двумерная плотность распределения вектора Х = (Х1,Х2) имеет вид (см. вид матрицы Е) рХоХ7 (х1, х2) — 3 [0,005(з1-2) г -0,007(х1-2) (жг — 3)+0,0075(яг -3) ~) 400я И скомая вероятность равна вероятности попадания снаряда в область х21 + хг г< 100 и в силу свойства 6 двумерной плотности распределения определяется выражением 1 Р(Х1 + Хг ( 100) = рхьХг(ХМХг) С(Х1ПХг — Х з(+я 7~(100 -$(0,005(ж1-2) -0,007(ж1-2)(аг-З)+0,0075(жг-З) ] (( *',+*,'<100 Для вычисления последнего интеграла необходимо применить численные методы, поэтому окончательный ответ мы не приводим.
7Р Рассмотрим основные свойства многомерного нормального распределения. 195 о.о. Многомерное нормальное распределение 1. Закон распределения каждой из координат случайного вектора Х, имеющего и-мерное нормальное распределив с вектором средних й = (пап ..., п2 ) и матрицей коверная(ий Е = сг;, является нормальным с параметрами етц и о;. ~ Докажем зто утверждение для случая в = 2 (общий случай требует более громоздких преобразований).
Определим плотность распределения рг, (х1) в случае, когда Рх„л, (х1, х2) определяется формулами (5.2) и (5.3). Используя свойство 7 двумерной плотности распределения, находим +ое Рх,(х1) = 1 оХ2~ -4(е1 ие) 2яо1о2 1 — р2 где 1 Я(х1,х2) = — х Делая замену еа-щл Де1-т~) ае й= 2 1 после преобразований получаем +со / 1 У 1: о рх (х1) = / — е '1 Иу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
