XVI Теория вероятностей (1081428), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Случайны величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием пз и средним квадратичным отклонением о. Определите абсциссы и ординаты точек перегиба кривой плотности распределения. Ответ: шло; е 1~з/(а~(2~г). 4.41. Нормально распределенная случайная величина Х имеет математическое ожидание, равное нулю. Найдите среднее квадратичное отклонение а,при котором вероятность попадания случайной величины в интервал (5, 10) была бы наибольшей. О: = ~/75Д2) 2).
164 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 4.42. Время Х (в часах) безотказной работы электрической лампочки имеет распределение Вейбулла с параматрами а = = 0,02 и ~3 = 0,5. Определите вероятность того, что лампочка проработает не менее 10000 ч. Ответ: Р(Х ) 100001 =е ~Ли~сесе -0,14. 4.43. Время Х (в месяцах) безотказной работы некоторой системы, состоящей из одного основного и двух резервных элементов, имеет гамма-распределение с параматрами у = 3 и А = 0,05.
Найдите вероятность того, что система проработает не менее 5 лет. О т в е т: Р 1Х ) 60) = е з(1+ 3 = Зз/2) и 0,42, 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛ'У ЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В прикладных задачах обычно приходится рассматривать не одну случайную величину, а несколько случайных величин, одновременно измеряемых (наблюдаемых) в эксперименте. При этом с каждым элементпарным всходом ат е Й бывает связан набор числовых значений некоторых количественных параметров. В этой главе мы обобщим ранее полученные результаты на совокупность из нескольких случайных величин, задзвных на одном и том же веролптностпном простпранстпве. 5.1.
Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения Определение 5.1. Совокупность случайныя величин Хт = Хт(от), ..., Х„= Х„(ы), заданных на одном и том же веролтпностпном простпранстпве (Й,З,Р), называют многомерной (и-мерной) случайной величиной или тт-мерным случайным еектпором. При этом сами случайные величины Хт, Хт,, Х„называют коордннатптьнн случайного вектпора.
В частности, при и = 1 говорят об одномерной, при и = 2 — двумерной с.аучайной еелнчнне (или двумерном случайном вектпоре). Для и-мерного случайного вектора воспользуемся обозначе. пнями (Хм ..., Х„) и Х = (Хт, ..., Х„). В случае двумерных и трехмерных случайных векторов наряду с обозначениями (Хм Хз) и (Хы Хг, Хз) будем испольэовать также обозначения (Х, У) и (Х, У, Я).
166 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Множество значений и-мерного случайного вектора можно отждествить с точками и-мерного линейного арифметического пространства Ж" [1У]. Замечание 5.1. Обратим внимание, что в данном выпуске в отличие от предыдущих [1У] вектор пространства й" будем обозначать матрицей-строкой. Приведем примеры случайных векторов. Пример 5.1. Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (Х, у), где Х вЂ” отклонение по дальности, а 1' — отклонение в боковом направлении.
При стрельбе по воздушной цели необходимо рассматривать трехмерный случайный вектор (Х, У, 2), где Х, У, Я— координаты отклонения точки разрыва зенитного снаряда от точки прицеливания в некоторой пространственной системе координат [П1]. Пример 5.2. При испытании прибора на надежность совокупность внешних воздействий в некоторый момент времени можно описать случайным вектором [Х, У, Я, ...). Здесь, например, Х вЂ” температура окружающей среды, У вЂ” атмосферное давление, 2 — амплитуда вибрации платформы, на которой установлен прибор и т.д. Размерность этого вектора зависит от количества учитываемых факторов и может быть достаточно большой.
ф Свойства многомерных случайных векторов мы будем в основном изучать на примере двумерного случайного вектора, делая, если это потребуется, пояснения для случайного вектора произвольной размерности. Напомним, что рассмотрение одномерной случайной величины начиналось с обсуждения способа задания ее закова распределения. В частности, закон распределения одномерной случайной величины можно задать с помощью фрикции распределения. То же можно сказать и по отношению к п-мерному 167 5.1. Совмеетвае фувввве реевРедееевве случайному вектору. Отметим, что в дальнейшем для пересечения событий (Х1 < х1),..., (Х„< х„) вместо записи (Х1 <х1)п...п(Х„<х„) будем использовать запись (Хт < х1,..., Х„< х„).
Определение 5.2. Фуннцией распределения (вероятпностпей) Г (Х1 ° ° °,Ха) = ГХ„...,Х„(Х1 ° ° Ха) (и-мерного) случайноео вентпора (Х1, ..., Х„) называют функцию, значение которой в точке (х1, ..., х„) е Й" равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий (Х1 <хт),...,(Х„<х„), т.е. Р(хт,..., х„) = Рх, ... х„(х1,..., х„) = Р(Х1 < х1,..., Х„< х„).
Функцию распределения Р(хт,...,х„) называют также совместпной (и-мерной) фуннт4ией распределения случайных величин Х1,..., Х„. В частности, при п = 1 будем говорить об одномерной, при и = 2— о двумерной функции распреде- вт лен ия. а Значение двумерной функции распределения в точке (а1, аз), согласно определению 5.2, предста- тт х а, х~ вляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами (Х1,Хз) в квадрант с вершиной в точке (а1,аз), за- Рве. 5.1 штрихованный на рис.
5.1. Свойства двумерной функции распределения, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины, доказываются в следующей теореме. 168 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Теорема 5.1. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам. 1. О < Р(хд, хг) < 1. 2. Р(хд,хг) — неубывающая функция [Ч] по каждому из аргументов хд и хг.
3. Р(-оо,хг) = Р(хд, — оо) = О 4. Р(+ос,+со) =1. 5. Р(ад < Хд < Ьд, аг < Хг < Ьг) = Р(Ьы Ьг) — Р(Ьд аг) — Р(ад Ьг)+Р(ад, аг). 6. Р(хд, хг) — непрерывнал слева в любой точке (хм хг) Е К~ по каждому из аргументов хд и хг функция. 7. Рх„х (х,+со) = Рх,(х) Рхд,х~(+со,х) = Рх (х). < Утверждения 1 и 2 доказываются точно так же, как и в одномерном случае (см. теорему 4.1).
Сооыидил (Хд < -оо) и (Хг < — оо) являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием, как известно, также невозможное событие, вероятность которого равна нулю. Отсюда с учетом определения 5.2 вытекает утверждение 3.
Аналогично из того, что собьипия (Хд <+оо1 и (Хг < +со) так же, как и их пересечение, являются досидовврными, вероятность которых равна единице, вытекает утверждение 4. Рис. Ь.г Чтобы найти вероятность попадания двумерной случайной величины (Хд, Хг) в прямоугольник (ад <хд <Ьд, аг <хг <Ьг) (на 169 5.1. Созместлае фуллялл раепределелил рис. 5.2 заштрихован), сначала определим вероятность попадания в полуполосу (х1 < а1, аэ < хэ < Ьэ) (отмечена двойной штриховкой). Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант (х1 < Ь1, хэ < Ьэ) за вычетом вероятности попадания в квадрант (х1 < 61, хэ < аэ), т.е. Р(Х1 < ам аз < Хэ < Ьэ) = Р(61, Ьэ) — Р(Ьм аз). Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник (а1<х1<6м аэ<хэ<Ьэ) совпадает с вероятностью попадания в полуполосу (х1<61, аз~(хэ <62) из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу (х1 < а1, аэ < хэ < ~), равная Р(ам 62) — Р(а1, аэ).
Окончательно получим утверждение 5. Подобно одномерному случаю доказываетсл и утверждение 6. Наконец, событие (Хэ < +со) является достоверным, поэтому (Х1 < х1) й (Хэ < +ос) = (Х1 < х1). Аналогично (Х, < +со) й (Хэ < х,) = (Х, < хд). Отсюда приходим к утверждению 7, которое устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения Рх, и, случайного вектора (Х1, Хэ) и функциями Рх, и Рх„которые называют одномерными (говорят также частными, или маргинальными) фуннииями распределения случайных величин Х1 и Хэ. ~ Пример 5.3. Некоторое техническое устройство состоит вз двух различных по надежности элементов, причем время безотказной работы первого элемента можно задать случайной величиной Х1, а второго — случайной величиной Хэ.
Тогда надежность всего устройства можно описать двумерным случайным вектором (Х1, Хэ), имеющим неотрицательные координаты Х1 и Хэ. 170 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пусть нелестно, что для любых хд > 0 и хя > 0 вероятность события (Хд > хд, Хя ) хя) определяется формулой Р(Х > х Х > х д е лдяъ Лиха лд1дпж1хд яч1 д хд 2. х2) =е 1 где Л; > О, д = 1,2, и Лдя > О. Найдем совместную функцию распределения Рх,,х, (хд, х2) и одномерные функции распределенддя Рх,(х) и Рх,(х) В силу неотрицательности Хд и Х2 событие (Хд ) х) совпадает с событием (Хд > х, Х2 > О), а событие (Хя ) х)— с событием (Хд ) )О, Х2 > х).
Подставляя 0 вместо хд и х2 в выражение для Р(Хд > хд, Хя > хя), получаем: Р(Хд > х) = Р(Хд ) х, Хя ) О) = е дл'+лд2)* х > 0 Р(Х2 > х) = Р(Хд > О,Х2 > х) = е длд+л'~~*, х > О. Отсюда находим одномерные функции распределения Рх, (х) и Рх,(х): Рх,(х) = 1 — Р(Хд )~ х) = 1 — е дл'+л">*, х > 0; Рх,(х) =1-Р(Хя) х) =1 — е (л'+л")*, х >О. Естественно, поскольку случайные величины Хд и Х2 неотрицательные, то Рх,(х)=Р,(х)=О, х<О. Так как событие (Хд < хд, Х2 < хя) совпадает с событием й '1 ЯХд > хд) 0 (Х2 ) х2)), то совместнал функция распределения Рх„х,(хд,х2), согласно свойствам 1 и 5 (см.
теорему 2.8), при хд,хя > 0 имеет вид Рх,,х,(*мхя) =1 — Р((Х > х ) О(Х > х2)) = = 1 — Р(Хд )~ хд) - Р(Х2 ~ )х2) + Р(Хд ) хд, Хе ) хя) = 1 е-(лд+ли)ю е-(ли+ли)е1 + е-лдю-лзхз-лидпах(хд *21 5.2. Диеиретиые двуиериые саучвйиые величины 171 Очевидно, что значение совместной функции распределения Рх„х, (хт, хз) при хт < 0 или хз < 0 задается равенством гх,х (х1 хз) ж О Полученная функция распределения задает двумерное энсноненцнальное распределенно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
