XVI Теория вероятностей (1081428), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Собыщие (Х < +со), с одной стороны, является досщоверным, а с другой стороны, представляет собой объединение собышиб (Х < х„). Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утвержде. нии 3. Аналогично доказывается и первое равенство. 128 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Событие (Х < хз) при х~ < х2 представляет собой объединение двух непересекающихся собышиб: (Х < х~) — случайная величина Х приняла значение, меньшее хы и (х~ < Х < хз)— случайная величина Х приняла значение, лежащее в промежутке [хь хз).
Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4. Наконец, пусть хы ..., х„, ... — любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к х. Событие (Х < х) является объединением событий (Х < хс). Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5. ~ На рис. 4.1 приведен типичный вид функции распределения. Рис.
4.1 Замечание 4.1. Можно показать, что любая неубывающая непрерывная слева функция г'(х), удовлетворяющая условиям г(-оо) =0 и Г(+ос) =1, является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Для того чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения г'(х), далее иногда будем приписывать этой функции нижний индекс, обозначаю- 129 4.3.
Дескретные случейеые вееичявы щий конкретную случайную величину. Например, для случай- ной величины Х Рх(х) = Р(Х < х). В некоторых учебниках функцией распределения называют функцию, значение которой в точке х равно вероятности события 1Х < х). Такое определение ничего не меняет во всех наших рассуждениях. Единственное изменение касается свойства 5: функция Р(х) будет непрерывна справа. Чтобы избежать сложных математических конструкций, обычно при первоначальном изучении теории вероятностей ограничиваются только дискретными и непрерывными случайными величинами. Не давая пока строгие определения, приведем примеры: — дискретных случайных величин (число очков, вьшавших при бросании игральной кости; число бросаний монеты до первого появления „герба"; оценка студента на экзамене и т.д.); — непрерывных случайных величин (погрешность измерений; время до отказа прибора; время опоздания студента на лекцию и т.п). 4.3.
Дискретные случайные величины Определение 4.3. Случайную величину Х называют дискрепекой, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения.
Определение 4.4. Р*дом распределения (верол|пностпей) дискреепкой случайной величины Х называют та блицу (табл. 4.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в 130 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ нижней — вероятности р; = Р(Х = х;) того, что случайная величина примет эти значения. Чтобы подчеркнуть, что Таблииа 4.1 ряд распределения относится Х х1 хэ ... х; ... х„именно к случайной величи- Р,.
р„не Х, будем наряду с обозначением р; употреблять также обозначение рх;. Для проверки правильности составления табл. 4.1 рекомендуется просуммировать вероятности р;. В силу аксиомы кормироваккости эта сумма должна быть равна единице: Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее фунниив раскределекия .г'(х). Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения х1, хэ, ..., х„расположены в порядке возрастания.
Тогда для всея х < х1 событие (Х < х) является невоэможным и поэтому в соответствии с определением 4.2 Г(х) =0 (рнс. 4.2). Если х1 < х < хэ, то собы- 4.3. Дисиретиыв случайиые величавы тие (Х < х) состоит из тех и только тех элемекщариых исходов ю, для которых Х(ы) = х~, и, следовательно, г(х) =рь Аналогично цри хз < х < хз событие (Х < х) состоит вз элементарных исходов ш, для которых либо Х(м) = х~, либо Х(ы) = хз, т.е. (Х < х) = (Х = х~)+ (Х = хз), а следовательно, Р(х) =Ю+рз и т.д.
Наконец, при х ) х„событие (Х < х) досшоверио и и'(х) = 1. Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке (-оо, х~] значение О, на промежутках (х;, х,+~], 1 ~( 1 < и, — значение р~ + ... + р; и на промежутке (хи, +со) — значение 1. Для задания закона распределения дискретной случайной величины, наряду с рядом распределения и функцией распределения используют другие способы.
Так, его можно задать аналитически в виде некоторой формулы или графически. Например, распределение игральной кости (см. пример 4.1) описывают формулой 1 Р(Х = 1) = -, 1 = 1, 6. 6' Графическое изображение этого распределения приведено на рис. 4.3. 132 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 0,2 0,1 2 3 4 Рис. 4.3 4.4. Некоторые дискретные случайные величины В этом параграфе рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся на практике распределения диснретпных случайныя величин.
Биномиальное распределение. Дискретная случайнал величина Х распределена по биномиальному эаиону, если она принимает значения О, 1, 2,..., и в соответствии с распределением, заданным формулой Р1Х=4) =Р„Я =С„'р'й" ', 4 =0,п, или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в табл. 4.2, где О < р, а < 1 и р+ д = 1. Таблица 4.3 Проверим корректность определения биномиального распределения. Действительно, Р„(4) ) О 4.4. Некоторые дискретные слутайиые ееличивы 133 ЯР (4) = Я,СЮу" = (р+ Ч)" = 1: ите «=О Внномиальное распределение являетсл не чем иным, как распределением числа успехов Х в п испытаниях по схеме Бернулли с еероятпностпью успеха р и неудачи д = 1 — р (см.
3.6). Распределение Пуссона. Дискретная случайнзл величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями Р(Х = 4) =Р(1; Л) = —.е Ле л ~! 1 = О, 1,..., или, по-другому, с вероятностями, представленными рядом распределения в табл.
4.3, где Л ) Π— параметр распределения Пуассона. Таблица 4.8 Убедимся в том, что распределение Пуассона определено корректно: Л' „ „ Л' ~ Р(4; Л) = ~~) —,е " = е "~ы —., = е "е" = 1. е=е 1ыо ' С распределением Пуссона мы тоже уже встречались в формуле Пуассона (см. 3.6). Распределение Пуассона также называют законом редких событиий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с машй вероятностью происходит „редкое" собьивие.
В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном 134 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть Х вЂ” число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда Х— дискретная случайнэл величина, принимающая значения О, 1, 2, ..., к, ...
Определим вероятность события (Х = н). Очевидно, что Х = О, если в первом же испытании произойдет успех. Поэтому Р(Х = 0) =р. Далее, Х = 1 в том случае, когда в первом испытании произошла неудача, а во втором — успех. Но вероятность такого события (см. теорему 3.8), равна ор, т.е.
Аналогично Х = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем — успех, и, значит, Р(Х = 2) = дар. Продолжая эту процедуру, получашл Р(Х=4) =рд', 1=0,1, Таким образом, случайная величина Х имеет ряд распределения, представленный в табл. 4.4. Таблица 4.4 Случайную величину с таким рядом распределения нэзывэ. ют распределенной согласно гео.кеозрннескол4у закону. Правильность составления табл. 4.4 вытекает иэ равенства ~~) Р(Х =1) =~~) ра' =р~~> д'= — =1.
з=е е.е. Неерерневые сеучеавые вееиеивте 4.5. Непрерывные случайные величины Определение 4.5. Непрерывной называют случайную величипу Х, функцию рвспредееенил которой Р(х) можно представить в виде Р(х) = р(у) Иу. (4.1) Функцию р(х) называют п.аотппостпью распределения (ве- ро*тппостпеб) случайной величины Х.
р(х) = г"(х), (4.2) что следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом [У1]. Только такие случайные величины мы и будем рассматривать в дальнейшем. Замечание 4.2. Соотношения (4.1) и (4.2), связывающие между собой функцию и плотность распределения, делают понятной следующую терминологию, часто употребляемую на практике. Функцию распределения Р(х) называют иптпе- Предполагают, что несобственный интеграл в представлении (4.1) сходится. Как и прежде, для того чтобы подчеркнуть принадлежность плотности распределения случайной величине Х, будем наряду с записью р(х) употреблять запись рх(х).
Все реально встречающиеся плотности распределения случайных величин явлюотся непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек) функциями. Следовательно, функция распределения для непрерывной случайной величины является непрерывной на всей числовой оси и в точках непрерывности плотности распределения р(х) имеет место равенство 136 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ гральным законом раснределеннл случайной величины, а плотность распределения р(х) — диЯференциальным законом раснределеннл той же случайной величины.
На рис 4.4 представлен типичный вид плотности распределения. Рис. 4.4 Теорема 4.2. Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1) р(х) >О; 2) Р(х1 < Х < хг) = р(х) дх; +00 с1 3) р(х) дх = 1; 4) Р(х < Х < х+ Ьх) м р(х)Ьх в точках непрерывности плотности распределения; 5) Р(Х =х) =О. ~ Утверждение 1 следует из того, что плотность распределения является проиэводной от функции распределения, в силу свойства 1 функции распределения она является неубывающей функцвеб, а производная неубывающей функции неотрица тельна. 137 4.5. Непрерывные случайные вееиеивы Согласно свойству 2 функции распределения, Р(х1 < Х < хз) = Р(хз) — Р(х1).
Отсюда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и свойством аддитивности сходящегося несобственного интеграла [ Л] имеем ее е1 ее Р(хг) — Р(хд) = р(х) дх — р(х) сКх = р(х) сКх, Х1 что и доказывает утверждение 2. В частности, при х1 — — -оо, хе = +ос собьивие (х1 < Х < хз) является достиоеерным, и поэтому справедливо утверждение 3. Согласно свойству 4 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
