XVI Теория вероятностей (1081428), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ф Дадим некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению приближенных формул. Если число испытаний и = 10, 20, то приближенные формулы используют для грубых прикидочных расчетов. При этом формулу Пуассона примеюпот в том случае, когда Л = пр или Л' =пд изменяются в пределах от 0 до 2 (при в = 10) и от 0 до 3 (при и = 20); в противном случае необходимо пользоваться формулами Муавра — Лапласа. При и = 20, 1% приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов.
Формулу Пуассона рекомендуется применять, когда Л или Л' заключены в пределах от 0 до 3 (при и = 20) и от 0 до 7 (при п = 100). Если и = 100, 1000, то практически в любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными формулами. Формулу Пуассона используют в случае, когда Л или Л' изменяются в пределах от 0 до 7 (при и = 100) и от 0 до 15 (при п = 1000).
Наконец, при п ) 1000 даже специальные таблицы рассчитывают с помощью приближенных формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки). В этом случае для применения формулы Пуассона необходимо, чтобы Л или Л' лежали в пределах от 0 до а, где а = 15 при и = 1000 и увеличивается с ростом и. Во многих задачах рассматривают такие независимые одинаковые испытания, в каждом из которых может произойти не одно из двух несовместныз собыщий (успех и неудача), как в схеме Бернулли, а одно из тп таких событий.
Определение 3.8. Опыт, состоящий в и-кратном повторении одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых может произойти одно и только одно иэ пь несовместных событий А~, ..., А,„, причем событие А; наступает с вероят- 108 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ постыл р;, называют полиномиальной (мульизиноминаль- ной) схемой. Теорема 3.9. Вероятность Р(п1,...,п,„) того, что в и испытаниях событие А1 произойдет ровно и1 раз, событие А2 произойдет ровно п2 раз, ..., событие А произойдет ровно и,„ Раз (и1+и2+ ° +%л п)~ равна п! И1 %и! м По аналогии со схемой Бернулли в полиномиальной схеме исход каждого опыта можно записать в виде набора чисел Й1, Й2, ..., й„, й; = 1, и2, где число й; на 1-м месте означает, что в 1-м испытании произошло событие А», Поскольку испытания являются независимыми, то исходу й1, й2, ..., й„ соответствует вероятность р»1 ...р»„, которую можно записать в виде р1' ...р,"„'"> где пю й = 1, т, — число испытаний, в которых произошло событие А».
Теперь, для того чтобы найти вероятность Р(п1,...,и,а), необходимо подсчитать число способов, которыми п1 символов А1, и2 символов А2, ..., п символов А,„можно расставить на п местах (см. также 2.2). Поскольку порядок расстановки не существенен, то п1 символов А1 можно расставить на и местах С,",' способами. Затем па символов А2 можно расставить на оставшихсл и — и1 местах С„"'а, способами. ПРоДолжаЯ зту процедуру и используя основную формулу комбинаторика, получаем, что общее число способов равно: Са1 СЛ2 Сп ' х и я-а1 " ' я-а|-...-а„, п1. (и — и1).
(и - и1)! (и - п1 - " - и -1)! и! х и2 ! (п п1 п2)! п,„!О! и1!п2.'...и ! Отсюда приходим к утверждению теоремы. > Набор вероятностей Р(п1,..., и,„) также называют полиномиальным распределением. 109 З.Т. Ревниво типовых примеров Вероятность Р(пм...,и,„) можно получить как коэффициент при х"' ...х,"„в разложении полинома (Р1х1+" +Ртхт)" по степеням хп ..., х~а. Пример 3.16. В некотором государстве живут 60% блондинов, 25% брюнетов и 15% шатенов. Найдем вероятность того, что среди восьми наудачу отобранных подданных этого государства окажутся четыре блондина, три брюнета и один шатен.
В данном случае мы имеем дело с полиномиальной схемой, в которой пт = 3, р1 = 0,6, рэ = 0,25, рз = 0,15,п = 8,п1 = 4,пэ = 3 и пэ = 1. Тогда Замечание 3.6. Иногда в практических приложениях рассматривают обобщенную схему Бернулли или обобщенную пояиномиояьную (муяьптноминояьную) схему, для которой третье условие в определениях схемы Бернулли или полиномиальной схемы заменяют следующим: вероятность р успеха или вероятность рь появления события Аь в е-м испытании могут меняться с изменением номера т' = 1, п.
Для обобщенных схем также можно указать соответствующие формулы для вероятностей сложных событий, рассматривавшихся выше'. 3.7. Решение типовых примеров Пример 3. 17. Одновременно бросают две игральные кости (белую и черную). Рассмотрим следующие события: А — на белой кости выпало более двух очков;  — в сумме выпало четное число очков; С вЂ” в сумме вьшало менее десяти очков. 'Венпщевь Е.С. теорие веровтиостей. М.: Наука, 19б9. 110 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Вычислим условные верояп1ности Р(А)В), Р(В)А), Р(А~С), Р(С~А), Р(В~С) и Р(С~В) и определим, какие иэ событиб А, В и С являютсл независимььни. Нетрудно подсчитать в соответствии с классическим опре- делением вероятности, что 2 1 5 Р(А) = —, Р(В) = —, Р(С) = —, 3' 2' 6' Р(АВ) = —, Р(АС) = —, Р(ВС) = —.
1 1 7 3' 2' Г8 Поэтому Р(А~В) = —, Р(В~А) = —, Р(А~С) = —, 2 1 3 3' 2' 5' 3 7 7 Р(С~А) = —, Р(В~С) = —, Р(С~В) = —. 4' 15' 9 Отсюда, в частности, следует, что независимыми являются события А и В. События А и С, В и С зависимые. Поэтому события А, В и С не являются независимыми в совокупности. Р(Аг~А1) = —, 1 9' 1 3 Р(Аз)А1Аг) = —, Р(Аа~А1АгАз) = —. 41 7 Отсюда, согласно формуле умноэсениа вероятностеб, полу- чаем Р(А) = Р(А1)Р(Аг)А1)Р(Аз~А1Аг)Р(Ал)А1АгАз) = 1 1 1 3 1 — — — 0,0024.
5 9 4 7 420 Пример 3.18. Каждая буква слова „МАТЕМАТИКА" написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекают четыре карточки. Найдем вероятность события А — получить слово „ТЕМА"? Пусть Аы Аг, Аз и Аа — события, состапцие в последовательном извлечении букв „Т", „Е", „М", „А".
Тогда соответствующие вероятности равны: 1 Р(А1) = —, 5' 3.7. Решеиие гипових примеров Пример 3.19. Обнаружение воздушной цели проводится независимо двумя радиолокационными станциями. Вероятность Р(А) обнаружения цели первой станцией равна 0,7. Вероятность Р(В) обнаружения цели второй станцией равна 0,8. Определим вероятность Р(С) того, что цель будет обнаружена хотя бы одной станцией. По условию события А и В являются независимыми, поэтому по формуле умножения вероятностей для независимых событий вероятность события АВ (цель обнаружена обеими станциями) равна: Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,7 0,8 = 0,56. Значит, в силу теоремы сложения ееролшностпеб Р(С) = Р(А О В) = Р(А) +Р(В) — Р(АВ) = 0,94.
Так как события А и В независимые, то Р(С) можно найти путем перехода к противоположным событиям А и В. В этом случае, используя закон де Моргана и теорему 3.4, имеем Р(С) = Р(А В) = 1 — Р(АВ) = 1 — Р(А)Р(В) = = 1 — [1 — Р(А)) [1 — Р(В)] = 0,94. Пример 3.20. Система управления состоит из четырех узлов с номерами 1, 2, 3 и 4 (рис. 3.4). Вероятности Р; безотказной работы узлов равны Р1 — — 0,7, Рэ=0,6, Рз=0,8 и Р4=0,9 соответственно. Вычислим ве- 1 2 роятность безотказной работы всей системы управления, 3 считая отказы узлов независимыми событиями.
4 Вероятность Рш работы участка 1-2 цепи, состоящего Рис. 3.4 из двух соединенных последо- 112 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ вательно элементов 1 и 2, равна: Ргг = Р1Рг = 0,42. Вероятность Рг4 работы участка 3 — 4 цепи, состоящего иэ двух соединенных последовательно элементов 3 и 4, равна: Рг4 = 1 — (1 — Рз)(1 — Р4) = 0,98. Поскольку вся система состоит из параллельно соединенных участков 1 — 2 и 3 — 4, то вероятность ее безотказной работы равна: Р = 1 — (1 — Р1г)(1 — Рм) = 1 — (1 — 0,42)(1 — 0,98) 0,99. Пример 3.21. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку.
Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект, если он есть, и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан негодным. Найдем вероятность того, что проверяемый транзистор будет признан негодным. Пусть А — событие, состоящее в том, что проверяемый транзистор признан негодным. С этим событием связаны две гипотезы: Н1 — проверяемый транзистор дефектный и Нг— проверяемый транзистор исправный. По условию Р(Н1) = 0,1, Р(Нг) = 0,9, Р(А!Н1) = 0,95, Р(А~Нг) = 0 03. Тогда в силу формулы полной веролтвкос~ип Р(А) =0,1 0,95+0,9 0,03 =0,122. Пример 3.22. В поступивших на склад трех партиях де. талей годные составляют 89%, 92% и 97% соответственно, а количества деталей в партиях относятся как 1: 2: 3.
Ответим на два вопроса. 1. Чему равна вероятность того, что случайно выбранная со склада деталь окажется негодной? 113 3.7. Репшпие типоееех примерое Р(Нг) —, Р(Нз)— 2 3 Событие А — выбранная деталь является негодной. Условные вероятности события А равны: Р(А~Н1) = 0,11, Р(А~Нг) = 0,08, Р(А~Нз) = 0,03. Согласно формуле полной вероятности, найдем Р(А) = —. 0,11+ — 0,08+ — 0,03 = 0,06. 1 2 3 6 ' 6 ' 6 Вероятности того, что негодная деталь принадлежит первой, второй и третьей партиям, определим, используя форееулу Бай еса: — 0,08 Р(Нг~А) = 0,44, О, 0,11 Р(Н1~А) = е и0,31, 0,06 з 0,03 Р(Нз/А) = Е еп 0,25.
) Пример 3.23. По каналу связи, подверженному воздействию помех, передают одну из двух команд управления в виде 2. Пусть известно, что случайно выбранная деталь оказалась негодной. Найдем вероятности того, что она принадлежит первой, второй и третьей партиям. Обозначим Н1, Нг и Нз события, состоящие в том, что деталь принадлежит первой, второй и третьей партиям соответственно. Поскольку зти события попарно несовместные и образуют полную гружу собм7аиб, то они являются гипотезами,причем,как нетрудно подсчитать, 114 3. УслОВнАЯ ВеРОЯтнОсть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
