XVI Теория вероятностей (1081428), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2.32. В партии из 50 изделий четыре нестандартных. Определите вероятность того, что среди выбранных наугад 10 изделий есть хотя бы одно нестандартное. Ответ: Р=1 — С4С4е/Сзе ю0,60. 2.33. На стелаже в библиотеке стоят 15 учебников, причем пять ю них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.
Ответ: Р=1 — С~зС1~е/С~1з 0,74. 2.34. Колоду ю 52 карт случайным образом делят пополам. Найдите вероятность того, что в каждой половине будет по два „туза". Ответ: Р=С4С4з/СД =0,39. 2.35. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу четырех карт из колоды в 52 карты ровно две окажутся трефовой масти? Ответ: Р=С~~Сзз/Сзз 0,39. 2.36. Некто купил карточку „Спортлото 6 из 49" и отметил в ней шесть из имеющихсл 49 номеров. В тираже разыгрываются шесть „выигрышных" номеров. Найдите вероятности Вопросы и задачи следующих событий: Аз — угадано три номера; Аа — угадано четыре номера; Аз — угадано пять номеров; Аз — угадано шесть номеров.
Ответ: Р(Аз) = Се~С~д/С$ -0)018. Р(А4) Се~С~аз/С4~9 0)00097 Р(Аз) = Сз~С43/С~а9 118 10 3; Р(Аз) =Сз~С4~3/С49 7,2' 10 3. 2,87. Из колоды в 32 карты наугад выбирают четыре карты. Найдите вероятности того, что среди них окажется: один „туз" (событие А); хотя бы один „туз" (событие В); хотя бы один „туз" и обязательно „туз пик" (событие С). О т в е т: Р(А) = С4~Сззз/С343 0,36; Р(В) = 1- С4~Сз~з/Сз~з 0,43; Р(С) = С11Сзз1/Сзз --0 125. 2.88. Стержень длиной 1 ломают на три части, причем точки разлома выбирают наудачу.
Найдите вероятность того, что из получившихся частей можно составить треугольник. Ответ: Р= 1/4 =0,25; 2.39. Два приятеля условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи приятелей, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время'? Ответ: Р=11/Зби0,31.
3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Рассмотрим события А и В, связанные с одним и тем же опытом. Пусть ю каких-то источников нам стало ювестно, что событие В наступило, но не известно, какой конкретно из элемектаркых исходов, составляющих событие В, произошел. Что можно сказать в этом случае о верояткости события А? Вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В произошло, принято называть условкоб верояткостъю и обозначать Р(А)В).
Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию при определении вероятности события. В ряде случаев при помощи условной вероятности можно существенно упростить вычисление вероятности. Понятию условной вероятности и посвящена настоящая глава. 3.1. Определение условной вероятности Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической схемы. Пусть событиям А и В благоприятствуют Фл и Ин элемектаркых исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии В. Поскольку событие В произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из Ин элементарных исходов, составляющих событие В.
Значит, теперь уже при определении степени возможности события А необходимо выбирать только ю Ив возможных исходов, причем событию А благоприятствуют Жлн исходов, при которых происходят и событие А, и собы- 3.1. Определение упоенной ееролтноотн 79 тие В, или, другими словами, происходит событие АВ. При этом по-прежнему будем считать все ФВ входящих в событие В исходов равновероятными. Поэтому условную веролшмосшь Р(А~В) события А при условии события В в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа МАВ исходов, благоприятствующих совместному осуществлению событий А и В, к числу ИВ исходов, благоприятствующих событию В, т.е. Р(А~В) = —. Д7АВ Фв Если теперь поделить числитель и знаменатель полученного выражения на общее число Ф элементарных 'исходов, то придем к формуле Р АВ = ФАВ/Ф Р(АВ) Фв/Ф Р(В) Обратимся теперь к статистическому определению вероятности.
Пусть и — общее число экспериментов; пА — число экспериментов, в которых наблюдалось событие А; п — число экспериментов, в котрых наблюдалось событие В, пА — число экспериментов, в которых наблюдалось событие АВ. Напомним, что частпотва собышил А — зто отношение ~А гА = П Условной частотпоб собыпмея А при условии, что В произошло (будем обозначать ее тА~В) естественно назвать частоту события А, но только не среди всех повторений опыта и, а лишь среди тех, в которых набшодалось событие В, т.е. ~АВ тА~В пв Последнее выражение можно представить в виде ~АВ пАВ/и гАВ тА)В пв пв/п гв 80 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ При п ~ оо, согласно определению 2.6 стаатвистиеческоб вероювноствп, гАВ -+ Р(АВ), гн ~ Р(В) и, следовательно, условная частота Р(АВ) гА~В -~ Р(В) т.е.
условной вероятностью события А при условии события В естественно назвать число Р(А~В) = Р(АВ)/Р(В). Таким образом, мы пришли к тому же самому выражению, что и в случае классической схемы. На основании изложенного вьппе можно дать следующее определение. Определение 3.1. Условной вероятпностпью события А при условии (наступлении) события В называют отношение вероятности пересечения событий А и В к вероятности события В: Р(А~В) = Р(В) (3.1) При этом предполагают, что Р(В) ф О.
Теорема 3.1. Условная вероятность Р(А~В) обладает всеми свойствами безусловной вероятности Р(А). < Для доказательства достаточно показать, что условная вероятность Р(А~В) удовлетворяет аксиомам 1, 2 и 3 (см. 2.5). Из определения 3.1 следует, что условная вероятность, удовлетворяет аксиоме неотрицательности, так как числитель дроби является неотрицательным числом, а знаменатель — положительным числом. В связи с появлением термина „условнзл вероятность" будем вероятность события называть также безусловной веролпзностью события. Рассмотрим теперь условную вероятность Р(А~В) как функцию события А.
81 3.1. Определение устоппой верввтпостп Поскольку йВ = В, то Р(йВ) Р(В) Р(В) Р(В) т.е. условная вероятность удовлетворяет аксиоме нормирован- ности. Наконец, пусть Аы...,А„,... — попарно непересекающиеся собыитил. Тогда (Ат +... + А +...)В = АтВ+... + А„В +... Р((Ат+... +А„+...)В) Р( 1+ ° ° ° + п+ ° ° ~~)— Р(АтВ)+ "+Р(АпВ)+" Р(В) = Р(Ат ~В) +...
+ Р(А„! В) +..., где в последнем равенстве использовано свойство умножения сходящегося ряда на постоянную. Следовательно, условная вероятность удовлетворяет расширеннот1 аксиоме слоэтеенил 3. ~ Смысл теоремы 3.1 заключается в том, что условная вероятность представляет собой безусловную вероятность, заданную на новом простпранстве йт элементпарных исходов, совпадающем с событием В.
Пример 3.1. Рассмотрим опыт с однократным бросанием игральной кости, но не обычной, а с раскрашенными гранями: грани с цифрами 1, 3 и б окрашены красным, а грани с цифрами 2, 4 и 5 — белым цветом. Введем события: Ат— выпадение нечетного числа числа очков; Аз — выпадение четного числа очков;  — появление грани красного цвета. 82 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Интуитивно ясно, что если произошло событие В, то условная вероятность события А1 больше, чем условная вероятность события Аэ, поскольку на красных гранях нечетных чисел в два раза больше, чем четных.
Заметим, что безусловные вероятности событий А1 и Аэ при этом одинаковы и равны, очевидно, 1/2. Найдем усювные вероятности событий А1 и Аэ при условии события В. Очевидно, что Д~А В 2 1 Р(А|В) = — ' Ф 6 3' Р(А В) = — ' 1~~АрВ Ф 6' Р(В) = — = —. 3 1 6 2 Следовательно, в силу определения 3.1 условной вероятности имеем Р(А1~В) = — =— 1/3 2 1/2 3 Р(Аз~В) = — = —, 1/6 1 1/2 3' что подтверждает наше предположение. Геометрическая интерпретация условной вероятности.
При практическом вычислении усювной вероятности события А при усювии, что событие В произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве Й элементарных исходов, а на новом пространстве Й1 = В элементарных исходов. Действительно, используя ееометприческое определение верояпюосши, получаем для безусловной и условной вероятностей события А (на рис. 3.1 заштрихованная область соответствует Вз 3.1. Оиределеиие услоииой иеролтиости событию АВ): Р(А) = Вл = ~'~~ Р(А~В) = 8лв/оп 8~в Я~а, % Вп' 8в/Ьп 8в Вп, Здесь Ял, Яп и т.д.
обозначают соответственно площади А, Й и т.д. Таким образом, выражение для Р(А~В) будет совпадать с выражением для Р(А), вычисленным в соответствии со схемой геометрической веролткости, если исходное пространство Й элементарных исходов заменить новым пространством Й =В.
Рис. 3.1 Пример 3.2. Из урны, в которой а = 7 белых и 6= 3 черных шаров, наугад беэ возвращения извлекают два шара. Пусть событие А1 состоит в том, что первый извлеченный иэ урны шар является белым, а Аз — белым являетсл второй шар. Требуется найти Р(Аз ~А1). Приведем решение этой задачи двумя способами.
Первый способ. В соответствии с определением условной вероятности имеем (опускзя пояснения): Р(А1Аз) С~7/С1зо 2 Р(А1) С1/С1о 3 Второй способ. Перейдем к новому пространству Й1 элементарных исходов. Так как событие А1 произошло, то зто означает, что в новом пространстве элементарных исходов всего равновозможных исходов Ип, =а+6 — 1= 9, 84 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
СХЕМА БЕРНУЛЛИ а событию Аг благоприятствует при этом 19'А, =а — 1=6 исходов. Следовательно, 6 2 Р(Аг~А1) = — = —. 9 3 Пример 3.3. Пусть событие  — выпадение 4 или 6 очков на игральной кости, событие А1 — выпадение четного числа очков, событие Аг — выпадение 3, 4 или 5 очков, событие Аз— выпадение нечетного числа очков. Найдем условные вероятности событий Аг, Аг и Аз при условии события В.
Так как событие В принадлежит событию А1, то при наступлении события В событие А1 обязательно произойдет, т.е. событие А1 имеет условную вероятность Р(А1~В) = 1. Поскольку события Аз и В несовместные, то при наступлении события В событие Аз уже не может произойти и его условная вероятность Р(Аз)В) = О. Наконец, в соответствии с классической схемой вероятности приходим к следующему значению условной вероятности события Аг при условии события В: Р(Аг~В) = —.
1 2 Заметим, что условная вероятность события Аг при условии В совпадает с безусловной вероятностью события Аг. 85 3.г. Формула умножение вероятностей 3.2. Формула умножения вероятностей При решении различных задач вероятностного характера часто интересующее нас событие А можно достаточно просто выразить через некоторые события А1, Аг, ..., А„с помощью операций обьединения или пересечения. Если А = А1Аг...А„, то для нахождения вероятпносши Р(А) события А обычно удобно использовать следующую теорему. Теорема 3.2 (теорема умножения вероятностей). Если А =А1Аг...А„(т.е.
А — пересечение событий А1, Аг, ..., А„) и Р(А) > О, то справедливо равенство Р(А) =Р(А1)Р(Аг!А1)Р(Аз!А1Аг)" Р(А ~А1Аг" А -1) называемое формулой умножения еероятпноспгей. ~ Поскольку Р(А) = Р(А1Аг... Ав) > О, а А1Аг... Ае Д А1Аг... А (я = 1, и — 1), то и Р(А) = Р(А1Аг...Аь) > О. Учитывая это неравенство, согласно определению 3.1 условной еерояп1носпьи, имеем Р(А )А1Аг...Ав 1) = Р(А1Аг" Ав) Р(А1 г ° ° ° Ав-1) Умножал обе части этого Равенства на Р(А1Аг." Ав-1), полУ- чаем Р(А1Аг" А ) =Р(А1Аг...А 1)Р(А„~А1Аг...А„1). Аналогично находим Р(А1Аг" Ав-1) =Р(А1Аг" Ав — г)Р(Ав-1~А1Аг "Ав — г).
Тогда Р(А1Аг" Ав) = Р(А1Аг" Ав-г)Р(Ав — 1~А1Аг "Ав-г) х х Р(А„~А1Аг...Ав 1). 86 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Продолжая эту процедуру, получаем формулу умножения веро- ятностей. ° Замечание 3.1. Из свойства коммутативности пересечения событий следует, что правая часть формулы умножения для пересечения одних и тех же событий может быть записана по-разному. Например, как Р(А1Аг) = Р(А1)Р(Аз~А1), так и в виде Р(А1Аз) = Р(АзА1) = Р(Аз)Р(А1~Аз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
