XVI Теория вероятностей (1081428), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Обычно выбирают тот вариант формулы, который приводит к более простым вычислениям. Пример 3.4. На семи карточках написаны буквы, образующие слово „СОЛОВЕЙ". Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо три карточки. Найдем вероятность того, что получится слово „ВОЛ" (событие А). Введем события: А1 — на первой выбранной карточке написана буква „В"; Аэ — на второй карточке — буква „О"; Аз — на третьей карточке — буква „Л". Тогда событие А есть пересечение событий Ам Аз и Аз. Следовательно, в соответствии с формулой умножения вероятностей Р(А) = Р(А1АзАз) = Р(А1)Р(Аз~А1)Р(Аз~А1Аз). Согласно классическому определекпв 2.1 веролшкосши, имеем 1 Р(А1) = —.
7 Если событие А1 произошло, то на шести оставшихся карточках буква „О" встречается два раза, поэтому условная вероятность 2 1 Р(Аз~А1) = — = —. 6 3 87 Э.З. Независимые я эвэясяные события Аналогично определяем 1 Р(Аз~А1Аг) = —. 5 Окончательно получаем 1 1 1 1 Р(А) = Р(А1АгАэ) = — — — = — 0 0095.
7 3 5 105 3.3. Независимые и зависимые событии Иэ рассмотренных выше примеров видно, что условная верояшносогь Р(А~В) собыниаа А при усювии, что событие В произошло, может как совпадать с безусловное верояшносшью Р(А), так и не совпадать, т.е. наступление события В может влиять или не влиять на вероятность собмшня А. Поэтому естественно степень связи (или степень зависимости) событий А и В оценивать путем сопоставления их условных вероятностей Р(А~В), Р(В~А) с безусловными.
Р(А~В) = Р(А) (3.2) Р(В~А) = Р(В), в противном случае собыпгня А и В называют зависимььмн. Теорема 3.3. События А и В, имеющие ненулевую вероятность, являются независимыми тогда и только тогда, когда Р(АВ) = Р(А)Р(В). (ЗА) Определение 3.2. Собыпгия А и В, имеющие ненулевую вероятность, называют неэавнснявььмн, если условная вероятность А при усювии В совпадает с безусловной вероятностью А или если усювнэя вероятность В при условии А совпадает с безусловной вероятностью В,т.е. 88 3.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ ~ Пусть выполнено равенство (3.3). Воспользовавшись форму- лоб умножения веролшносшвб для двух событий, получим Р(АВ) =Р(А)Р(В~А) =Р(А)Р(В). К аналогичному выводу приходим и в случае выполнения равенства (3.2), т.е. вз условия независимости событий следует (3.4). Обратно, пусть выполнено равенство (3.4).
Тогда, согласно определению 3.1 условной вероятности, Р(А~В) = = Р(А) Р(В) Р(В~А) = = Р(В), Р(А) т.е. в силу определения 3.2 события А и В независимы. ~ Таким образом, в качестве эквивалентного определения не. зависимости двух событий, имеющих ненулевую вероятность, может служить следующее определение. Определение 3.3. События А и В называют независимыми, если выполняется равенство (3.4). Отметим, что последним определением можно пользоваться даже в том случае, когда вероятности событий А или В равны нулю.
Замечание 3.2. Иэ теоремы 3.3 следует, что если в определении 3.2 независимости выполняется одно из равенств (3.2) илн (3.3), то выполняется автоматически и другое, т.е. в определении 3.2 достаточно потребовать выполнения любого одного из них. Пример 3.5. Из колоды карт, содержащей п = 36 карт, наугад извлекают одну карту. Обозначим через А событие, соответствующее тому, что извлеченная карта будет пиковой 3.3. Неэависвыые и зависимые событию масти, а  — событие, соответствующее появлению „дамы". Определим, являются ли зависимыми события А и В. После вычислений получаем т.е. события А и В независимы.
Как отмечаюсь в замечании 3.2,имеет место и равенство Р(А~В) = — = — = Р(А). ф 1/36 1 4/36 4 Следовательно, события А и В независимы. Изменим теперь условия опыта, дополнительно добавив в колоду, допустим, Ф = 100 „пустых" карт (без рисунка). Изменится ли ответ? Имеем 4 1 Р(В) = — = —, 136 34' т.е. безусловная вероятность события В уменьшилась. Однако условная вероятность Р(АВ) 1/136 1 Р(А) 9/136 9 не изменилась,т.е события А и В стали зависимыми. Теорема 3.4. Если события А и В независимые, то независимыми также являются пары событий А и В, А и В, А и В, если вероятности соответствующих событий ненулевые. < В силу теоремы 3.1 и независимости событий А и В имеем: Р(А~В) =1 — Р(А~В) = 1 — Р(А) =Р(А), 9 1 Р(А) = — = —, 36 4' 1 Р(АВ) = —, 36' 4 1 Р(В) = — =— 36 9' Р(В~А) = = — = — = Р(В), Р(А) 9/36 9 90 3.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ что означает независимость событий А и В. Независимость остальных пар событий можно доказать аналогично. ~ь Определение 3.4. Событтиая А1, Аз, ..., А„называют независимыми в совокунностпи, если вероятность пересечения любых двух различных событвий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность пересечения любых трех событий равна произведению их вероятностей; ...; вероятность пересечения всех событий равна произведению их вероятностей. Для событий А1, Аз, ..., А„,независимых в совокупности, имеет место утверждение, аналогичное утверждению теоремы 3.4. Теорема 3.5.
Если события А1, Ат,, А„независимы в совокупности, то и события А1, Аз, ..., А„независимы в совокупности. Если только любые два события из данной совокупности являются независимыми, то говорят о нонврной независимосттти событпий из этой совокупности. Так же как и в случае двух событий, можно показать, что на вероятность каждого из независимых в совокупности событий не оказывает влияние появление или непоявление остахьных событий. Замечание 3.3. В силу определения независимости событий в совокупности формула умножения вероятностей для независимых в совокупности событий имеет вид Р(Ать...Ан) =' Р(А1)Р(А2)..
Р(Ап) Ф Из независимости событий с ненулевыми вероятностями в совокупности, согласно теореме 3.3, следует их попарная независимость. Однако из попарной независимости, вообще говоря, 91 3.3. Независимые и зависимые событие независимость в совокупности не следует, что демонстрирует следующий пример. Пример 3.6. Опыт состоит в однократном подбрасывании тетраэдра, грани которого „пронумерованы" следующим образом: на трех гранях стоят цифры 1, 2 и 3 соответственно (одна цифра на каждой из них), а на четвертой присутствуют все цифры 1, 2 и 3. Введем события А; — падение тетраэдра на грань, на которой присутствует цифра е, 1 = Т, 3. Покажем, что события Ам Аз и Аз попарно независимы, но зависимы в совокупности.
Согласно классическому определению вероятности, получаем 2 1 Р(Ае) = — = —, 1=1,3, Р(А1Аз) 1/4 1 Р(А1) 2/4 2 Аналогично Р(А;~А1) =— 1 В 3 при любых е,у = Г~1, е фу, т.е. события Ам Аз и Аз являются попарно независимыми. Однако, например, Р(А1~АзАз) — — — — 1 ф Р(А1) Р(Аз Аз) 1/4 т.е. события А1, Аз и Аз зависимы в совокупности. 41 Заметим, что, когда говорят о независимости событий А1, ..., А„, подразумевают именно независимость событий в совокупности, в отличие от попарной независимости событий Аь ..., А„.
Запишем формулу для вероятности объединения независимых собыший. Пусть А=А10 ..0Ав. 92 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Тогда в соответствии с законам де Моргана А = А1... А„. Если события А1, ..., А„независимые, то, согласно теореме 3.5, события А1, ..., А также независимые и, значит, Р(А) =Р(А1)...Р(А„). Отсюда окончательно получаем формулу для вероятпностпи объединения независимых событий: Р(А1О...ОА„) =1 — [1 — Р(А1)]...]1 — Р(А )]. Замечание 3.4 (о связи между совместными и зависимыми событиями).
Между понятиями „несовместные" и „независимые" события имеется следующая связь: 1) если А и  — несовместные события (и Р(А) ф О, и Р(В) ф 0), то они обязательно зависимые (убедитесь самостоятельно); 2) если А и  — совместные события, то они могут быть и зависимыми, и независимыми; 3) если А и  — зависимые события, то они могут быть и совместными, и несовместными. Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять н е с о в м е с т н о с т ь с обытий, а при использовании теоремы умножения — независимость событий.
В заключение отметим, что понятие независимости является очень важным в теории вероятностей. При этом следует различать формальное понятие независимости событий, определяемое свойствами вероятностной модели, и понятие независимости событий, возникающее в прикладных задачах и означающее, что события не связаны причинно. При корректном построении вероятностной модели второе трансформируется в первое, но зто может быть не всегда.
93 ЗА. Формула полной неронтноотн 3.4. Формула полной вероятности Предположим, что в результате опыта может произойти одно из н событвий Ны Нз, ..., Н„, которые удовлетворяют следующим двум условиям: 1) они являются попарно несовместннымн, т.е. при афти; 2) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, другими словами, их объеднненне есть достоверное событвне, т.е. Определение 3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
