Главная » Просмотр файлов » XVI Теория вероятностей

XVI Теория вероятностей (1081428), страница 13

Файл №1081428 XVI Теория вероятностей (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска) 13 страницаXVI Теория вероятностей (1081428) страница 132018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

События Ны Нз, ..., Н„удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гнтаотпезамп. Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух укаэанных требований, то их совокупность называют ттолной грутттаой событтанй. Таким образом, гипотезы — это попарно несовместные события, образующие полную группу событий.

Пусть также имеется некоторое событие А и известны веролтиносвти гипотез Р(Нт), ..., Р(Н„), которые предполагаются ненулевыми, и условные веролнтноснти Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„) события А при выполнении этих гипотез. Задача состоит в вычислении безусловной веролтвноснти события А. Для решения этой задачи используют следующую теорему. Теорема 3.6.

Пусть для некоторого события А и гипотез Нт, ..., Н„известны Р(Нт), ..., Р(Н„), которые положительны, и Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„). Тогда безусловную вероятность Р(А) определяют по формуле Р(А) = Р(Н1) Р(А~Нт)+... + Р(Н„) Р(А~Н„), (35) которую называют формулой полной веролтпностпи. 94 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ м Представим событие А в виде А = Ай = А(Нг +...

+ Н„) = АН1 +... + АН„ (на рис. 3.2, область, соответствующал событию А, заштрихована). С учетом того, что события АН;, г = 1, п, несовместны, имеем Р(А) = Р(АНг)+... +Р(АН„). В соответствии с формулой умкоженея верояпгностпей полу- чаем Р(АН,) = Р(Н,) РЩН,), ..., Р(АН„) = Р(Н„) Р(А~Н„). Поэтому Р(А) = Р(Нг) Р(А~Н1) +... +Р(Н„) Р(А~Н„). в.

Н, АНг Н„ Рис. 3.2 Формула полной вероятности при всей своей простоте играет весьма существенную роль в теории вероятностей. 95 3.4. Формуле поляой вероетлоети Пример 3.7. Путник должен попасть из пункта В в пункт А в соответствии со схемой дорог изображенной на рис. 3.3. Выбор любой дороги в любом пункте равновозможен. Найдем вероятность события А — достижения путником намеченной цели. Для того чтобы попасть в пункт А, путник должен пройти один ю промежуточных пунктов Н1, Нз или Нз.

Введем гипотезы Н;, где Н; означает, что путник выбрал в пункте В путь, ведущий в пункт Н;, 1 = 1,2,3. Ясно, что события Н; несовместные и одно из них обязательно происходит, причем в силу равновозможности выбора дорог из В в Н; Р(Н )— Остается вычислить условные вероятности Р(А~Н;), которые легко найти, если рассматривать новое просеврансшво элелеекшаримх исходов, соответствующее выбранной гипотезе Н;. Например, появление Н1 означает, что есть два равновозможных исхода (ю пункта Нз выходят две дороги), из которых лишь один благоприятствует событию А, т.е. А Р(А~Н1) = —. 1 Аналогично находим, что Р(А~Нз) =— 1 4 Рис.

З.З Р(А~Нз) = О. Согласно Формуле 3.5 полной вероятности, получаем 1 /1 1 Р(А) = — ~-+ — +0 = 0,25. ф 3 ~2 4 96 а УслОВнАЯ ВеРОЯтнОсть. схемА БеРнУлли Заметим, что данная задача может иметь техническую интерпретацию: сеть дорог — это сеть каналов передачи информации, а Р(А) — вероятность предачи сообщения по такой сети. Пример 3.8. Студент Иванов выучил все Ф = 30 экзаменационных билетов, но иэ них на „пять" — лишь Ж1 = 6.

Определим, зависит или нет вероятность извлечения „счастливого" билета (событие А) от того, первым или вторым выбирает Ивз нов свой билет. Рассмотрим две ситуации. Иванов выбирает билет первым. Тогда Ф1 6 1 Р(А) = — = — = —. Ю 30 5 Иванов выбирает билет вторым. Введем гипотезы: Н1— первый извлеченный билет оказался „счастливым", Нз — „несчастливым". Ясно, что В силу формулы (3.5) полной вероятности 1 5 4 6 1 Ф1 Р(А) — — — +— 5 29 5 29 5 Ж ' что совпадает с первой ситуацией. Изменится ли ответ, если Иванов будет выбирать билет третьим, четвертым, ..., последним? 3.5. Формула Байеса Пусть по-прежнему некоторое собышие А может произойти с одним из событий Нм ..., Н„, образующих полную группу Ф, 1 Р(Н,) = — = —, Ф 5' Р(А)Н~) = Ф вЂ” 1 29' Ф вЂ” Ф1 4 Р(Н)= — =-, Ф 5' Р(А~Нг) = — = —.

Н1 6 Ф вЂ” 1 29 97 3.5. Формула Байеса попарно несовмвстпныя событпий, называемых, как уже отмечалось, гипотпвзами. Предположим, что известны веролтпностпи гипотез Р(Нт), ..., Р(Н„) (Р(Н;) ) О, т = Гп) и что в результате опыта событие А произошло, т.е. получена дополнительнаа информация. Спрашивается, как „иэменятсяа вероятности гипотез, т.е.

чему будут равны условныв веролтпностпи Р(Н1 ~А), ..., Р(На~А), если известны также условные вероятности Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„) события А7 Для ответа на этот вопрос используют следующую теорему. Теорема 3.7. Пусть для некоторого события А, Р(А) > О, и гипотез Нм ..., Н„известны Р(Нт), ..., Р(На) (Р(Н,) > О, т = Гп) и Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„). Тогда условная вероятность Р(Н,~А), т = 1, и, гипотезы Н; при условии события А определяется формулой Байесо Р(Н,)Р(А~Н;) Р(Нт)Р(А$Нд) +" + Р(На)Р(А!На) м Согласно определению 3.1 условной вероятности, Р(Н;~А) = Р(А) Выра~кзя теперь по формуле умножения веролтпностпей Р(АН;) через Р(А~Н;) и Р(Н;), получаем Р(АН;) = Р(Н;)Р(А~Н;). Поэтому Р(Нт)Р(А~Н;) Р(А) Подставляя вместо вероятности Р(А) ее значение, вычисленное в соответствии с формулой (3.5) полной всролтпностпи, приходим к утверждению теоремы.

° 98 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений и их приложениях. Заметим, что вероятпностпи Р(Н1), ..., Р(Н„) обычно называют априорнььии (т.е. полученными „до опыта"), а условные еероятпностпи Р(НцА), ..., Р(Н„~А) — апостпериорнььии (т.е. полученными „после опыта").

Пример 3.9. Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний, которые мы зашифруем номерами 1 н 2, причем степень своей уверенности в отношении правильности диагноза он оцениваниет как 40% и 60% соответственно. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90% случаев и при заболевании 2 — в 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после зтого7 Обозначим через А событие, означающее, что анализ дал положительную реакцию. Естественно ввести следующие гипотезы: Н~ — имеет место заболевание 1; Нз — имеет место заболевание 2.

Из условий задачи ясно, что априорные вероятности гипотез равны: Р(Н1) =0,4 и Р(Нз) =0,6, а условные вероятности события А при наличии гипотез Н1 и Нз равны 0,9 и 0,2 соответственно. Используя формулу Байеса, находим Р(Н;~А) = ' ' = 0,75. 0,4 0,9 з 1 + 1 '0~ Итак, врач с большей уверенностью признает наличие заболе- вания 1. Пример 3.10.

Рассмотрим случай, когда Р(А~Н;) = сопвФ = С, т' = 1, и, З.б. Схема Бернулли т.е. на вероятность появления события А все гипотезы влияют одинаково. Тогда, согласно формуле Байеса, получаем Р(Н;~А) = Р(Н;), т.е. дополнительная информация о появлении события А не имеет никакой ценности, поскольку не меняет наших представлений об априорных вероятностях гипотез. 3.6. Схема Бернулли Повторные испытания — это последовательное проведение н раэ одного и того же опыта или одновременное проведение н одинаковых опытов.

Например, при контроле уровня надежности прибора могут либо проводить н испытаний с одним и тем же прибором, если после отказа полностью восстанавливают его исходные свойства, либо ставить на испытания п опытных образцов этого прибора, которые считают идентичными. Определение 3.6. Схемоб Берну ьли (или носледоваюпемьностпыо независимых одинаковых исныгнаний, или биномиально6 схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяюшую следующим условиям: 1) при каждом испытании различают лишь два исхода: появление некоторого собмтвиа А, называемого „успехом", либо появление его дополнения А,называемого „неудачей"; 2) испытания являются нсэввисимыни, т.е.

вероятность успеха в Й-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до Й-го; 3) всроюиностиь успеха во всех испытаниях постоянна и равна Р(А) =р. Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим о, т.е. Р(А) = 1 — р = в. 100 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,89 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Зарубин В.С., Крищенко А.П
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее