XVI Теория вероятностей (1081428), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Наудачу подбрасывают три монеты. Найдите вероятность того, что вьшадут ровно два „герба". Ответ: Р= 3/8-0,375. 3.35. Бросают пять игральных костей. Вычислите вероятность того, что на трех из них выпадет пятерка. Ответ: Р = С~а(1/6)~(5/6)з -0,032. 122 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ 3.36. Бросают 10 одинаковых игральных костей.
Определите вероятность того, что ни на одной иэ них не выпадет шесть очков. Ответ: Р = (5/6)1о-0,16. 3.37. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найдите вероятность того, что в день поступит четыре заявки. Ответ: Ры0,251, 3.38. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки — 0,485.
В некоторой семье шестеро детей. Какова вероятность того, что среди них не более двух девочек? Ответ: Р-0,3723. 3.39. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход исключается) три партии из четырех или нять из восьми? О т в е т: Вероятнее выиграть три партии из четырех. 3.40. Сколько нужно параллельно соединить элементов, вероятность безотказной работы каждого нз которых за время 1 равна 0,9, чтобы вероятность безотказной работы всей систе. мы за время 4 была не менее 0,999? Ответ: не менее трех. 3.41. Известно, что на выпечку 1000 булочек с изюмом нужно израсходовать 10000 иэюмин.
Найдите вероятность того,что: а) наудачу выбранная було пса не будет содержать изюма; б) среди пяти выбранных наудачу булочек две не будут содержать изюм, а в остальных будет хотя бы по одной изюмине. Ответ: а) Р = е 'о — 0,0000468; б) Р Са~е-1о)э~1 е-~о)э-219.10-в Волросы я задачи 123 3.42. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что в течение минуты какому-либо абоненту понадобится соединение, равна 0,0007. Вычислите вероятность того, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее трех вызовов.
Ответ: Р-1 — Р(0; 0,7) — Р(1; 0,7) -Р(2; 0,7) = 0,03414. 3.43. Известно, что 40% автомобилей, следующих по шоссе, у развилки поворачивают направо и 50% — налево. Какова вероятность того, что из 400 автомобилей, проехавших по шоссе, ровно 250 повернули налево? Ответ: Р ~ ~р(1,02)/~/460 6,4 6,6 0,024. 3.44. Симметричную монету подбрасывают 10000 раз. Найдите вероятность того, что наблюденная частота выпадения „герба" будет отличаться от 1/2 не более чем на 2%. Ответ: Р-Фе(2) — Фе(-2) =0,9545. ЗА5.
Найдите вероятность того, что среди 10 случайным образом выбранных человек у четырех дни рождения будут в первом квартале, у трех — во втором, у двух — в третьем и у одного — в четвертом. Ответ: Р= 10! 0,25~с/(4!3!2!1!) 0,012. 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛу СВАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В предыдущих главах мы изучали случайные события, что позволяло нам исследовать вероятностные свойства (закономерности) случайных экспериментов на качественном уровне („да" — „нет"): попадание в цель — промах, отказал прибор за время $ — не отказал и т.д. Однако с момента возникновения теории вероятностей ее основной задачей было изучение не вероятностных свойств экспериментов со случайными исходами, а связанных с этими экспериментами числовых величин, которые естественно назвать случайными величинами.
Начиная с настоящей главы и до конца книги мы будем изучать именно случайные величины. 4.1. Определение случайной величины Для того чтобы лучше осознать связь, существуюшую между случайными величинами и случайными событиями, начнем с пояснения понятия случайной величины. Случайной величиной естественно называть числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных эначений этой случайной вавичины. Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число — значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдет именно этот исход. 125 4.1.
Овревелевие случайной величивы Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжал их при необходимости индексами: Х, У1, Я; и т.д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами: хз, уп„яб. В русскоязычной литературе принято также обозначение случайных величин греческими буквами: Ч, пм р; и т.д. Рассмотрим примеры. Пример 4.1. В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величиной является число Х вьшавших очков.
Множество возможных значений случайной величины Х имеет вид (х1=1, х2=2, ..., Хе=6). Если вспомнить, как выглядит простравсшео элеиектиарныя исяодое в этом опыте, то будет очевидно следующее соответствие между элементарными исходами м и значениями случайной величины Х: Х = 1 2 ... 6. Иными словами, каждому элементарному исходу ы;, я = 1,6, ставится в соответствие число 1. Пример 4.2. Монету подбрасывают до первого появления „герба". В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: Х вЂ” число бросаний до первого появления „герба" с множеством возможных значений 11, 2, 3, ...) и У вЂ” число „цифр", выпавших до первого появления „герба", с множеством возможных значений (О, 1, 2, ...) (ясно, что Х = = У+ Ц.
В данном опыте пространство элементарных исходов Й можно отождествить с множеством 1Г, ЦГ, ЦЦГ, ..., Ц...ЦГ, ...1, 126 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ причем элементарному исходу Ц... ЦГ ставится в соответствие число п1 + 1 или тв, где тп — число повторений буквы „Ц". Пример 4.3. На плоский экран падает частица. Будем считать, что нам известна вероятность попадания частицы в любое (измеримое, т.е. имеющее площадь) множество на экране. Случайными величинами в данном случае будут, например, расстояние Х от центра экрана до точки падения, квадрат этого расстояния У = Хз, угол 2 в полярной системе координат и т.д.
ф Теперь мы можем дать определение случайной величины. Определение 4.1. Скалярную функцию Х(м), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого х Е Й множество (ас Х(ш) < х) элементарных исходов, удовлетворяющих условию Х(ы) < х, является событием. Для краткости условимся в дальнейшем вместо записи (ьн Х(ш) < х) использовать запись (Х(ш) < х), если необходимо подчеркнуть связь случайной величины с пространством элементарных исходов й, или даже запись (Х < х), если не акцентируется внимание на этой связи. 4.2. Функция распределения случайной величины Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить веролтиносшь того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений.
Любое такое правило называют законом распредаления вероятностпей, или распределением (веромпноспзей) случайной величины. При этом слово „вероятностей" обычно опускают. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения. 4.2. Фуяллиа реслрелеееввв сеучвйвой еелвчивы 127 Определение 4.2. Фунниией распределения (верояпиносплей) случайной величины Х называют функцию Р(х), зна чение которой в точке х равно вероятности события (Х < х), т.е. события, состоящего из тех и только тех эввмеюиарных исходов м, для которых Х(ю) < х: Р(х) = Р(Х < х).
Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х. Теорема 4.1. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1) 0<Р(х) <1; 2) Р(х~) < Р(хз) при х~ < хз (т.е. Р(х) — неубывающая функция); 3)'Р(-оо) = 11ш Р(х) =О, Р(+со) = 11ш Р(х) =1; 4) Р(х~ < Х < х2) = Р(хз) — Р(хл); 5) Р(х) =Р(х — О), где Р(х — О) = 1пп Р(у) (т.е.
Р(х)— л-~е-о непрерывная слева функция). < При доказательстве будем использовать свойства вероятностей событий, доказанные в теореме 2.8. Поскольку значение функции распределения в любой точке х являетсл вероятностью, то вз свойства 4 вероятности вытекает утверждение 1. Если х~ < хз, то событие (Х < х~) включено в событие (Х < хД и, согласно свойству 3, Р(Х < хД < Р(Х < хз), т.е. в соответствии с определением 4.2 выполнено утверждение 2. Пусть х~, ..., х„, ... — любал возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
