XVI Теория вероятностей (1081428), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Как известно вз курса математического анализа Щ, инте- -вт 'г грал ) е * гах не может быть выражен через элементарные фув.'кции. Поэтому во всех справочниках и в большинстве учебников по теории вероятностей приведены таблицы значе- 146 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ний функции стандартного нормального распределения.
Напомним, что в табл. П.З даны значения иг«гаегра,аа Лапласа а Фо(х) = / «р(у)Иу. Покажем, как, используя эту таблицу, нанти о вероятность попадания случайной величины, распределеннои по нормальному закону с произвольными параметрами ги и «г, в интервал (а, 6). В соответствии со свойством 2 плотности распределения (см. теорему 4.2) вероятносгь попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами гп и о', в интервал (а, Ь) задается формулой у «г~~2~г Проводя замену х = (у — га)/«г, этот интеграл можно записать в виде (6-па)/а' (Ь-гв)/а Р(а < Х < Ь) = « — е * /~«(х = (««(х)«(х.
./ 42я (а-п~)/а (а-«в)/а Таким образом, окончательно получаем Р(а<Х<Ь)=Фо~ — ) — Фо~ — ~ (43) о ) ~, «г Распределение Вейбулла. Случайнал величина распределена по эаиоку Веббулла, если она имеет плотность распре. деления х<0; х > 0 (а > О, /3 > 0). 4.б. Некоторые веврерыввые сеучаввые веквчввы 147 Нетрудно проверить, что функция распределения в этом случае определяется следующим выражением: (о, х<0; х>0 (се>0, ~У>0). Семейство распределений Вейбулла является двухпараметрическим (а,,д — параметры) и описывает положительные случайные величины. Графики плотности р(х) и функции Р(х) распределения Вейбулла представлены на рис.
4.12 и 4.13. Рис. 4.13 Рис. 4.12 Считают, что распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. Если д = 1, то распределение Вейбулла превращается в экспонешпеальное распределение, а если,О = 2 — в так называемое распределение Релея (эакон Реяея). Гамма-распределение. Другим распределением, также достаточно хорошо описывающим времена безотказной работы различных технических устройств, является гамма-распределение с плотностью О, х< 0; р(х) = Л7хт 1 е ~, х>0 (Л>0,'у>0), г(у) 148 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ где Г(7) = х е *ах о есть гамма-функция Эйлера [УЦ.
При изучении гамма-распределения весьма полезными являются следующие свойства гамма-функции: 1 (7+ 1) = 7Г(7) и Г(п) = (и — 1)! для целых и. Ррафики плотности р(х) и функции г'(х) гамма-распределения изображены на рис. 4.14 и 4.15. Рис. 4.15 Рис. 4.14 Как видно на рис. 4.12-4.15, распределение Вейбулла и гамма-распределение весьма близки между собой.
Основным преимуществом закона Вейбулла перед гамма-распределением является то, что его функция распределения является элементарной функцией. Поэтому раньше, когда ЭВМ еще не были достаточно распространены, распределение Вейбулла использовалось гораздо чаще, чем гамма-распределение. Хотя в общем случае гамма-распределение и не является элементарной функцией, гамма-распределение обладает некоторьпяи весьма полезными свойствами. Так, если у = я, т.е. у принимает целые значения, то мы получаем распределение Эрланза порядка Й, находящее важные применения в шеории массового обслуживания.
Если же у = й/2, где я — нечетное число, а А = 1/2, то гамма-распределение превращается в так называемое роспределеиие ~э (хи-квадратов), роль которого в математической 149 4.Т. решение твиовыя арянеров статистике невозможно переоценить. Параметр й называют в этом случае числом степеней свободы распределения Хз, а само распределение — распределением Хз (хи-квадрат) с й степенями свободы. Наконец, при у = 1 мы имеем дело все с тем же экспоненциальным распределением. Гамма распределение обладает и другими интересными свойствами, которые мы здесь не будем рассматривать. 4.7.
Решение типовых примеров Пример 4.5. Игральную кость бросают один раз. Если выпадает четное число очков, игрок выигрывает 8 рублей, если нечетное, но больше одного — проигрывает 1 рубль, если выпадает одно очко — проигрывает 10 рублей. Найдем распределение случайной величины Х вЂ” величины выигрьппа в данной игре. Простпранство элеменпьарных исходов в данном случае имеет вид 11 = (~о1, <оз, О~3~ ы4, ыь, ыб), где м; — выпадение 4 очков. Считая, что игральная кость симметричная, имеем Р(сое) = —, 4 = 1, 6.
1 6' Случайная величина Х может принять всего три значения: х1 = 8, хз = — 1 и хз = — 10 (является диснретпной), причем каждому из этих значений соответствуют события (Х = 8) = (м: Х(ы) = 8) = (ыз, ш4, шб)> (Х = -1) = (ис Х( ) = -1) = С 3, бК ~Х =-10) =(: Х( ) =-10~ =( л,) 150 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ с вероянзностлни 1 рз = Р(Х = 81 = Р(ш2 со4~ояв) = Р(шз) +Р(аЧ) + Р(сов) = 2' 1 р2 =Р(Х = -Ц =Р(мз,ыз) =Р(ыз)+Р(шз) = —, 3' 1 рз =Р(Х = -10) = Р(ю1) = —.
6 Таблица 4.Б Таким образом, ряд рас- Х -10 -1 8 нределениа случабноб величины Х можно представить в /6 /3 / виде табл 4 5 Графическое изображение распределения случайной величины Х приведено на рис. 4.16. Найдем теперь фунниию распределения Р(х) случайной величины Х. В соответствии с определением функции распреде. х<-10; — 10 < х < -1; — 1<х<8; х)8. О, т =1/6, рз+р2 = 1/2, р1+р2+рз =13 Р1х) = Р(Х < х1 = График функции распределения Р1х) изображен на рис. 4.17.
Рис. 4.17 Рис. 4.16 Пример 4.6. Производят четыре независимых опыта, в каждом из которых некоторое событие А появляется с вероятностью р = 0,8. Построим ряд распределения и функцию 151 4.7. Решеппе типовых примеров распределения случайной величины Х вЂ” числа появлений события А в четырех опытах. В соответствии с условием задачи мы имеем дело со схемой Бернулли, т.е. число появлений события А распределено по бинолеиальнолеу закону с параметрами и = 4, р = 0,8 и д = 1 — р = = 0,2. Значит, случайная величина Х может принимать только значения 4, 4 = 0,4.
Согласно Яорлеуле Бернулли Р1Х=4)=С~вру ~, 4=0,д, определим вероятности возможных значений случайной вели- чины Х: Р1Х = О) = Саро94 = 0 0016 Р1Х = 1) = С4~р19з =0 0256 Р1Х = 2) = С4гргуг = 0 1536, Р(Х = 3) = Сзрзу' = 0,4096, Р(Х = 4) = С4р490 0,4096. Таблица 4.6 Функция распределения случайной величины Х имеет вид О, х< О; 0,0016, 0<х(~1; 0,0272, 1<х< 2; г (х) = Р1Х < х) = 0,1808, 0,5904, 2<х<3; 3<х<4; Ряд распределения рассматриваемой случайной величины представлен в табл. 4.6.
152 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ График функции распределения Р(х) изображен на рис. 4.18. Рис. 4.18 Пример 4.7. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением О, х < 0; Р(х) = х', О < х < 1; 1, х > 1. Найдем: а) плотноетпь распределения р(х) случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины Х в интервал от 0,25 до 0,5; в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее 0,3; г) вероятность того, что случайная величина Х примет значение большее 0,7; д) графики Р(х) и р(х).
Воспользовавшись определением 4.5 и свойствами плотности распределения и функции распределения, (см. теоремы 4.1 и 4.2, имеем: О, х < 0; а) р(х) =Р'(х) = 2х, 0<х< 1; О, х > 1; 153 4.Т. Репииие типовых примеров б) Р10,25 < х < 0,5) =Р(0,5) Р(0 25) 0 бг 0 251 0 1875 в) Р(х <0,3) =Р(0,3) =0,3~ =0,09; г) РСх > О 7) = 1 — Р(х < О 7) = 1 — Р(0 7) = 1 — 0 7т = 0 51 д) графики Р(х) и р(х) приведены на рис. 4.19 и 4.20.
Рис. 4.20 Рис. 4.19 Пример 4.8. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задается формулой х Р(х) = с+багс18-. а Найдем: а) постоянные с и Ь; б) плотность распределения случайной величины Х; в) Р(х~ < Х < хг). В соответствии с определениями 4.2 и 4.5 и свойствами функции и плотности распределения (см. теоремы 4.1, 4.2): и) постоянные 6 и с определяем из условий 11ш Р(х) =1. е-++со 1пп Р(х) =О, 154 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Имеем: х~ я 1пп Р(х) = Иш (с+Ьагс~б-) =с-Ь-=О, х-+-00 х-+-00 1 а) 2 х1 7Г Иш Р(х) = 1пп (с+ЬагсФЕ-) =с+6 — =1, х-++со х-++оо 1 а) 2 Из системы уравнений с-Ь- =О; 2 с+Ь- =1 2 находим, что с = — и Ь = — и поэтому Р(х) = -+ — агс~Š—; 1 1 1 1 х 2 1г 2 х О' б) плотность распределения равна /1 1 х~' а р(х) = Р'(х) = ( -+ — агой-~ = ~,2 я а,) я(хз+ аз) ' в) вероятность попадания Х в интервал (хм хз) равна: Р(хг < Х < хз) = Р(хз) — Р(х1) = 1 1 хз 1 1 х1 1 г х2 х1~ = — + — агония — — — — — агой — = — ~егер — — агсйб — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
