XVI Теория вероятностей (1081428), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2 1г а 2 я а я~ а а) Пример 4.9. Непрерывная случайная величина Х имеет следующую плотность распределения: О, х < 1; а/х х) 1 Определим: а) коэффициент а; б) функцию распределения Р(х); в) графики р(х) и Р(х); г) вероятность Р(2 < Х < 3) попадания случайной величины Х в интервал (2, 3); д) вероятность того, что при четырех независимых испытаниях случайная величина Х ни разу не попадет в интервал (2, 3). 155 4.7. Реппппее типовых првыеров а. Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством 3 плотности распределения. Тогда +Ос +ос +Ос | Г а а р(х) Их = 1 — ах =-- / х2 -ОО -00 1 откуда получаем а = 1.
б. В соответствии с определением 4.5 плотности распреде. ления х 01Ь=О, х<1; Р(х) = | е~р х — 1 — — х > 1. уэ х 1 в. Графики функций р(х) и Р(х) иэображены на рис. 4.21 и 4.22. г р(2 <х< 31=Р(3) — Р(2) = 3 — % = а. д. Вероятность того, что Х не попадет в интервал (2,3) при одном испытании равна 1 — 1/6 = 5/6, та же вероятность при четырех испытаниях равна (5/6)4 — 0,48. Рис.
4.21 Рис. 4.22 156 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пример 4.10. Случайное отклонение размера детали от номинала имеет нормальное распределение со средним значением т = 1мм и средним квадратвичнмм ояисаокснвсм о = 2мм. Найдем: а) вероятность того, что отклонение от номинала будет отрицательным; б) процент деталей, размер которых будет иметь отклонение от номинала не более 5мм; в) верхнюю границу отклонения от номинала, обеспечиваемую с вероятностью 0,9.
Обозначим через Х отклонение от номинала. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами т = 1 мм и о = 2мм. а. Используя формулу (4.3) и данные из табл. П.З, содержащей значения интпеграло Лапласа, находим: Р(Х < О) — Фо( ) Фо( )— г-11 = Фо ( — ) — Фо(-оо) = -0,19146 — (-0,5) = 0,30854. б. Аналогично Р1-5 < Х < 5) = Фо( 2 ) Фо( 2 ) = Фо(2) — Фе(-3) = 0,47725 — ( — 0,49865) = 0,9759. Таким образом, в пределах допуска ~бмм находится 97,59% деталей.
в. Для ответа на третий вопрос нужно найти такое число и+, при котором Р1Х < я+1 = 0,9. Поскольку Р(Х <х ) Фо( ) Фо( ) = Фо( ) + 0,5 = 0,9, 157 4.7. Решеиие типо ввш примеров то Фо ( — *) = 0,4, = 1,28 и х+ = 3,56. Значит, с вероятностью 0,9 отклонение от номина- ла будет меньше 3,56. Пример 4.11. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами т = 0 и о'. При каком значении среднего квадратичного отклонения а вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (а,Ь), 0 < а < Ь < оо, будет наибольшей? Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а, Ь) можно определить по формуле (4.3): Р(а < Х < Ь) = Фо(-) — Фо (-).
Поскольку Фо(Ь!сг) и Фо(а/о) — дифференцируемые по а функции, то необходимым условием экстремума является равенство нулю производной (Р(а < Х < Ь))'„. Отсюда, согласно определению интеграла Лапласа, имеем (Р(а < Х < Ь)),', = - — гу( — ) + — 222( — ) = О, где 1 <р(х) = — е * / ~/2~г есть плотность стандартного нормального распределения. Производя элементарные арифметические преобразования, приходим к уравнению -ее/12ее) Ь -Ье/(гее) относительно а > О. Его решение имеет вид ш Ьг аг 2(1пЬ вЂ” 1па) 158 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Нетрудно проверить, что при фиксированных значениях а и Ь, в силу условия О < а < Ь < +со справедливы соотношения Р(а < Х < Ь) = Фо( ) Фо(-) — +О Ь а Р1а <Х <Ь) =Фо( — ) Фо( ) — + О.
Позтому вероятность Р(а < Х < Ь) при (Ь2 2) 2(1п Ь вЂ” 1па) принимает максимальное значение. Вопросы и задачи 4.1. Дайте определение случайной величины. 4.2. Что называют законом распределения (вероятностей) случайной величины? 4.3. Дайте определение функции распределения (вероятностей). Перечислите и докажите свойства функции распределе- 4.4. Как, зная функцию распределения, найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? 4.5. Какие свойства должна иметь некоторая функция для того, чтобы она могла быть функцией распределения? 4.6. Какую случайную величину называют дискретной? Приведите примеры дискретных случайных величин.
4.7. Что называют рядом распределения дискретной случайной величины? Как еще можно задать закон распределения дискретной случайной величины? Волросм иэалачя 159 4.8. Какой вид имеет функция распределения дискретной случайной величины? 4.9. Какое распределение называют биномиальным? 4.10. Какое распределение называют распределением Пуассона? 4.11. Какое распределение называют геометрическим распределением? 4.12. Какую случайную величину называют непрерывной? Приведите примеры непрерывный случайных величин. 4.13. Дайте определение плотности распределения (вероятностей). Перечислите и докажите свойства плотности распределения.
Существует ли плотность распределения у дискретной случайной величины? 4.14. Как, зная плотность распределения, найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? 4.15. Чем различаются графики функций распределения дискретной и непрерывной случайных величин? 4.18. Какое распределение называют равномерным? 4.17. Какое распределение называют экспоненциальным (показательным)? 4.18.
Какое распределение называют нормальным? 4.19. Как выглядит график плотности нормального распределения? 4.20. Что называют интегралом Лапласа? Как, пользуясь таблицей значений интеграла Лапласа, вычислить вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в некоторый интервал? 4.21. Какое распределение называют распределением Вейбулла? 160 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 4.22. Какое распределение называют гамма-распределением? 4.23. Из партии в 10 деталей, среди которых две бракованные, наудачу выбирают три детали.
Найдите закон распределения числа бракованных деталей среди выбранных. Постройте функцию распределения. Ответ: 4.24. Вероятность приема самолетом радиосигнала при каждой передаче равна 0,7. Найдите ряд распределения и функцию распределения числа Х принятых сигналов при шестикратной передаче. Ответ: Ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х легко построить, зная, что Р(Х = з) = =Со1(0,7)'(0,3)о ', 4 =0,6. 4.25. Найдите закон распределения случайной величины Х вЂ” числа таких бросаний трех игральных костей, в каждом из которых ровно на двух костях появится по 2 очка, если общее число бросаний равно 15.
Ответ: Р(Х=з)=С11зр'Чы ', 4=0,15, где р=Сз(1/6)~(5/6) = = 5/72 я~ 0,0694. 4.26. В течение часа на станцию скорой помощи поступает случайное число Х вызовов, распределенное по закону Пуассона с параметром Л = 5. Найдите вероятность того, что в течение часа поступит: а) ровно два вызова; б) не более двух вызовов; в) не менее двух вызовов. О, С.Сз-с 7/15 Р(Х з) зз 4=0,1,2; Р(х) = С1зо 14/15 1, х<0; х Е (О, 1]; х Е (1, 2]; х > 2. 161 Вопросы и задачи Ответ: а) Р1Х =2) =5эе ~/2! 0,086; б) Р(Х < 2) = (5о/О! + 51/1! + 5э/2!)е а - 0,127; в) Р1Х ) 2) = 1 — Р1Х < 2) = 1 — (5е/О!+ 51/1!)е ~ 0,041. 4.27. Число вызовов, поступающих на АТС (автоматическая телефонная ставция) каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром Л = 1,5.
Найдите вероятность того, что за минуту поступит: а) ровно три вызова; б) хотя бы один вызов; в) менее пяти вызовов. Ответ: а) 0,12551; б) 0,77687; в) 0,98143. 4.28. В приборный отсек космического корабля за время полета попадает случайное число частиц, распределенное по закону Пуассона с параметром Л, причем вероятность попасть в блок управления, расположенный в отсеке космического корабля, для каждой иэ этих частиц равна р.
Определите вероятность попадания в блок: а) ровно й частиц; б) хотя бы одной частицы. Ответ: а) (Лр)"е "и/й!; 6) 1 — е ~'з. 4.29. По цели производят серию независимых выстрелов до первого попадания. Даны вероятность р попадания в цель при одном выстреле и запас патронов и. Найдите ряд распределения и функцию распределения числа Х израсходованньп~ патронов.
рд' ', з'=б;и:Т (9=1-р); Ответ: Р1Х =з) = ! 9 ~ Ф=п. 4.30. Летательный аппарат, по которому ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей. Аппарат выходит из строя при одном попадании в первую часть или трех попаданиях во вторую. Стрельба ведется до поражения летательного аппарата. Постройте ряд распределения и функцию 6 — той 162 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ распределения числа попаданий Х в летательный аппарат, которое понадобится для его поражения, если каждый попаюпий в аппарат снаряд с вероятностью 0,3 поражает первую часть и с вероятностью 0,7 — вторую. О т в е т: Р(Х = 1) = 0,3; Р [Х = 21 = 0,21; Р(Х = 3) = 0,49.
4.31. Непрерывная случайная величина Х распределена по экспоненцизльному закону с параметром А = 0,2. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (О, 2). Ответ: 1 — е е4 я~ 0 33. 4.32. Длительность времени Х безотказной работы элемента имеет экспоненцизльное распределение с параметром Л = = 0,02 ч 1.
Вычислите вероятность того, что за время $ = 100 ч элемент: а) выйдет из строя; б) будет исправно работать. Ответ: а) 1 — е з ж0,865; б) е з 0,135. 4.33. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами гп = 2 и и = 1. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал (1, 5). Ответ: 0,83999.
4.34. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами т = 4 и и = 1. Определите вероятность попадания случайной величины Х в интервал (6, 8). Ответ: 0,0227. 4.35. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами т и и. Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал (пз — 4о', т). Ответ: 0,499971. 4.36. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с тп = О.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (-0,3, 0,3) равна 0,5. Найдите среднее квадратичное отклонение и. Ответ: о 0,44. 153 Воиросьг и задачи 4.3Т. Измерительный прибор имеет систематическую погрешность 5 м. Случайные погрепности подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 10 м. Какова вероятность того, что погрешность измерения не превзойдет по абсолютному значению 5 м? Ответ: 0,3413. 4.38. Измерение дальности до объекта сопровождается случайными погрешностями, подчиняющимися нормальному закону со средним квадратичным отклонением, равным 50 м. Систематическая погрешность отсутствует.
Найдите: а) вероятность измерения дальности с погрешностью, не превосходящей по абсолютному значению 100 м; б) вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной. Ответ: а) 0,9545; б) 0,5. 4.39. Высотомер имеет случайную и систематическую погрешности. Систематическы погрешность равна 20 м. Случайная погрешность распределена по нормальному закону. Какую среднюю квадратичную погрешность должен иметь прибор, чтобы с вероятностью 0,9452 погр~пность измерения высоты бь|ла меньше 10 му Ответ: 50 м. 4.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
