XVI Теория вероятностей (1081428), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1 г г г ,„оа ~ Нетрудно найти одномерную плотность распределения случаи- ной величины Х1.' +ео ~/лг:хг 1 рХ (х) р(х у) Ыв г Ив -~/Йг:хг 180 Б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Аналогичное выражение можно получить и для рх, (р). Совместная функция распределения г'(х1, хг) в силу определения двумерной плотности распределения равна 1 Г1 г'(х1,хг) = — Д иу1дрг, лги где область Р представляет собой пересечение квадранта (Е1 <х1, рг <хг) и круга х1+ +хг < В ~ т.е. Р(х1 хг) с точ 1 постыл до множителя — со- яяг впадает с площадью области 1), имеющей двойную штриховку на рис.
5.4. Рис. 5.4 Предлагаем самостоятельно определить площадь области Р для различных значений х1 и хг. В заключение рассмотрим пример, показывающий, что даже на практике реально могут встретиться двумерные случайные величины, не являющиеся ни дискретными, ни непрерывными. Пример 5.7. Рассмотрим двумерный случайный вектор (Х1, Хг) иэ примера 5.3. Результаты этого примера, в частности, показывают, что случайные величины Х1 и Хг являются непрерывными и распределенными по зкспоненциальному закону с параметрами Л1+ Лгг и Лг+ Лгг соответственно.
Функция распределения двумерного случайного вектора (х„х,) е-Р~+Лм)*~ е-Р~+лм)*г.) ~-е "~*~ "'*' "ы~~'"(*ь*з), х1>0 и хг >О; Рх,х,(х1,хг) = х1 <0 или хг <О О, 181 0.4. Независимые соучайине хояичиим непрерывна во всех точках. Ее смедпаннзя производная дгххх„х, (хд > хг) Р(Х1 > Х2 Оо Оо Лг(Л1+ Лдг)Е 1Л>+Л>одх> Л'х'> Хд > Хг > О; Лд(Л2+ Лдг)е лнн >~'+~>2>*', хг > хд > О; О, хд<Оилихг<0 непрерывна во всех точках, кроме точек прямых хд = О; хг = О И Х1=Х2. Убедимся, что функция р(хд,хг) не является плотностью распределения двумерного случайного вектора (Хд, Хг).
Действительно, +оо+оо +00+00 | р(хм хг) дхддхг = р(хд, хг) дхддхг = -00 -00 о о +00 Х> ~| 2( д дг)е ~ Л (Л +Л ) -р>+л>о)х>-лхходх + г о о +оо + Лд(Лг+Лд2)е "'*' (Л'+ вйх'дхг дхд = х> =1— Лдг <1, Л1+ Лг+ Лдг что противоречит свойству 3 (см. теорему 5.2). 5.4. Независимые случайные величины Определение 5.5. Случайные величины Х и У называ ют независимыми, если соелсспдная функция распределения Рх,д (х, у) является произведением одномерных функций распре- 182 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ деления Рх(х) и Ру(р): Рх,у(х р) = Рх(х)РуЬ). В противном случае случайные величины называют зависимыми.
Пример 5.8. Снова обратимся к примеру 5.3 и определим, в каком случае компоненты Х2 и Х2 двумерного случайного вектора (Х1, Х2) будут независимыми. Заметим, что при х1 < 0 или х2 < 0 Рх,(х)Рх,(х2) = О = Рх,У(хьхг). Если же х1, х2 ) О, то Рх (х)Рх2(х2) =1 — е ~ ' Е-(Л2+Лм)яз + Е-Л1 Ю -Лзя2-Л12(я1+я2) Нетрудно видеть, что произведение Рл., (х)Рх, (х2) совпадает при всех х1х2 с совместной функцией распределения (см. пример 5.3) 1-е (л'+л")*'-е 1л'+л")*'+ Р ( )= +е л'*' лма ~"~~1*'*') х1)0 и хэ)0 х, х,(хьхг) = 1 2 О, х1<0 или х2<0, только в том случае, когда Л12 = О. Таким образом, условие 112 = 0 является необходимым и достаточным, чтобы времена безотказной работы элементов были независмыми.
Как следует из результатов примера 5.7, это условие соответствует тому, что одновременно два отказа произойти не могут. )Р Из определения 5.5 вытекает, что для независимых случайных величин Х и У события (Х < х) и (У < р) являются независимыми. Покажем, что независимыми являются и все события (х1 < Х < х2) и (р1 < У < р2). Действительно, в силу БА. Независимые случайные лелячяяы 183 независимости Х и У, свойства 5 двумерной функции распределения (см. теорему 5.1) и свойства 4 одномерной функции распределения (см.
теорему 4.1) имеем Р(х1 ( Х < хг, У1 ( У ( уг) = = Р(хг,уг) — Р(х1,уг) — Р(хг,у1)+Р(х1,У1) = = Рх(хг)й'(уг) — Рх(х1)й'(Уг) — Рх(хг)Р1'(У1) + + Рх(х1) Р1'(У1) [Рх(х2) — Рх (х1)) [Рк (уг) РУ (У1)] = Р(х1 ( Х хг)Р(у~ < У < уг), что и означает независимость двух событий (х1 < Х < хг) и 1У1 < 1' < уг) Замечание 5.2. Можно доказать и более сильное утверждение, состоящее в следующем. Для того чтобы случайные величины Х и У были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы были независимыми любые события (Х Е А) и У Е В), где А и  — промежутки или объединения промежутков. Теорема 5.3. Для того чтобы непрерывные случайные величины Х и У были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех х и у рх,1 (х,у) = рх(х)рг(у) ~ Пусть случайные величины Х и У независимые. Тогда, со- гласно определению 5.5, Рхз(х у) = Рх(х)РЙУ) С учетом формул (5.1) и (4.2) имеем д~Рх,у(х,у) рхз(х,у) = а*ау ЫРХ(х) 11Р1 (у) Тем самым необходимость утверждения доказана.
184 о. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Для доказательства достаточности следует воспользоваться определением 5.4 двумерной плотности распределения и определением 4.1. Рх,у(х~ у) = Рх,у(о~ю) оеехл = -оо<о<х -оо<в<о х я — Рл(е) «е РУ(ю) «ю = Рк(х)РУ(у) П ример 5.9. а. Рассмотрим двумерный вектор (Х1, Хг), совместная плотность распределения которого имеет вид 1, Х1 Е [О, 1] и хг Е [О, 1]; Р(х1 хг) = О, х1 Ф [0,1] или хг Ф [0,1]. Нетрудно показать, что одномерные плотности распределения рх, (х) и рх,(х) случайных величин Х1 и Хг задаются формулой ( 1, хЕ[0,1]; Рх,(х) = Рх,(х) = ~ О, х ф [О, 1]. Очевидно, что в данном случае совместная плотность рюпределения р(х1,хг) для всех хм хг является произведением одномерных плотностей рх, (х1) и рх, (х1).
Значит, случайные Величины Хг и Хг являются незаВисимыми. б. Также нетрудно показать, что случайные величины Х1 и Хг из примера 5.6 являются зависимыми. Отметим, что если независимые случайные величины Х и У являются непрерывными, то двумерная случайная величина (Х, У) непрерывна. Теорема 5.4. Дискретные случайные величины Х и У являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений х; и уг р;д — — Р(Х = х;, У = уу) = Р(Х = х1)Р(У = у ) = рг,.руг. е.4.
Независимые саучавиме ваеичиим 185 Мы предоставляем воэможность читателю доказать эту теорему самостоятельно. Пример 5.10. В схеме Бернулли с двумя испытаниями (см. пример 5.4) Р(Х, =О,Х, =0) =6'=Р(Х, =0)Р(Х, =0), Р(Х1 = О, Хэ = Ц = 4р = Р(Х1 = 0)Р(хе = Ц, Р(Х1 = 1,хз = 0) = рд = Р(Х1 = ЦР(хэ = О), Р(х, = 1,х, = Ц = р' = Р(х, = ЦР(х, = Ц. Таким образом, числа успехов Х1 и Хэ в первом и втором испытаниях представляют собой независимые случайные величины. Впрочем, в силу определения схемы Бернулли иного нельзя было ожидать. Убедитесь самостоятельно в том, что независимыми в совокупности являются случайные величины Х1,..., Մ— числа успехов в первом, втором, ..., и-м испытаниях по схеме Бернулли. ф В заключение заметим, что в 8.1 будут приведены другие необходимые и достаточные условия независимости случайных величин, выраженные в терминах условныя распределений Определение 5.6.
Случайные величины Х1, ..., Х„, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называют независимыми в совокрпноспан, если Рх,,...,х.(*1, " * ) = Рх,(*1)."~х. (* ). Замечание 5.8. Теоремы 5.3 и 5.4 распространяются на любое число случайных величин. Разумеется, как и для событий, из попарной независимости не следует независимость случайных величин в совокупности. Пример 5.11. Свяжем с бросанием тетраэдра из примера 3.6 три случайные величины: Хмхз и Хз, каждая из 186 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ которых может принимать значения 0 или 1, причем Хз = 1, если тетраздр упал на грань, на которой присутствует цифра 1, и Х1 = 0 в противном случае. Аналогично Хг характеризует наличие цифры 2, а Хз — цифры 3. Покажем, что случайные величины Хь Хг и Хз будут попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности.
Действительно, Р(Х; = Ц = Р(Х; = 0) = —, 1 = 1,2,3, и Р(Х; =1,Ху — — Ц =-=Р(Х; = ЦР(Х = Ц, з ~ у, т.е. Х; попарно независимы. Однако, например, Р(Х1 =1, Хг =1, Хз = Ц = 4 ~Р(Х1 = ЦР(Хг = ЦР(Хз = Ц =-, т.е. Хь 1=1,2,3, не являются независимыми в совокупности. 5.5. Многомерное нормальное распределение Нормальное распределение одномерной случайной величины рассмотрено выше (см. 4.6).
Обратимся к многомерному случаю. При этом сначала введем двумерное нормальное распределение случайноео вектора Х = (Хз, Хг), а затем обобщим полученные результаты на случайный вектор Х произвольной размерности и ) 2. Пусть координаты Х1 и Хг случайного вектора Х = (Хь Хг) являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону, т.е. имеют плотиноспзи распределения 1 / (х п11)г 1 Рх,(х) = Ф„ц,в,(х) = ехр ~- г ) Ч2~го1 ~ 2о1 ) / (х ™г) рх (х) = упк,в~(х) = ехр ( г ) . Ч2к г ~ 2сг ) Напомним, что параметры пн и о;. ) О, 1 = 1, 2, этих распределений называют матиемапьическими ожиданиями и средними квадратическими опьклонениями случайных величин Х1 и Хг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
