XVI Теория вероятностей (1081428), страница 26
Текст из файла (страница 26)
,/ 2~пт1 -00 Поскольку с учетом значения интеграла Пуассона [ЧП] +оо +оо | е "~~Ну = ~Г2 е ' Ж = ~2я, приходим к окончательному ответу рх,(х1) = е -(е1-пц)е/2п~е 1 2яо'1 196 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ что и доказывает требуемое утверждение. Аналогично можно показать,что (ед — эвр)~ 1 рх,(хз) = е 2'"з Ляог 2. Ксли ковариационная матрица Е случайного вектора Х, распределенного по нормальному закону (невырожденному), является диагональной [111], то координаты вектора Х1, ..., Х„ являются независимыми случайными величинами.
М Действительно, матрица Е = Е 1 также является диагональной и имеет вид О О СГй и, следовательно, формула (5.2) для совместной (и-мерной) плотности распределения имеет вид 1 рхп...,х„(хь ° ° ° хв) = х (~/2я)" о1... о„ (х~ — т~) (е — о~„) +-+ 1 ХЕ в' =РХ (Я1)" РХ„(еа) т.е. случайные величины Х1, ..., Х„являются независимыми (см. замечание 5.3). > Заметим, что если о,Ч = О для некоторых 1 и у или, что то же самое, коэффициент корреляции р11 = О, то говорят, что случайные величины Х; и Х) являются неноррелнрованными.
Таким образом, из некоррелированности координат случайного вектора, распределенного по нормальному закону, следует (в силу теоремы 5.3) их независимость. Легко показать и обратное: независимые нормально распределенные случайные 197 Б.б. Репмппе тпповых примеров величины являются некоррелированными (в 7.4 будет показано, что для проювольно распределенных случайных векторов некоррелированность координат есть лишь необходимое условие независимости). 3. Если вектор Х = (Х1, ..., Х„) имеет нормальный закон распределения с вектором средних т = (тм ..., тп) и матрицей ковариаций Е, то вектор Х' = (Х1, ..., Х„1) также распределен по нормальному закону с вектором средних т' = = (т1, ..., т„1) и матрицей ковариаций Е', полученной ю матрицы Е вычеркиванием последних строки и столбца.
< Это свойство доказывается так же, как и свойство 1, но в силу громоздкости вывода оно здесь не приводится. ° Из свойства 3 методом математической индукции можно показать, что любой набор координат н-мерного случайного вектора Х = (Хм ..., Х„), распределенного по нормальному закону, снова имеет нормальное распределение. В частности, двумерный случайный вектор (Х1, Х2) распределен по нормальному закону с вектором средних (т1, т2) и матрицей ковариа- оп ош О'21 О22 5.6.
Решение типовых примеров П ример 5.13. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения О, я < 0 или у < 0; Р(х, у)— -и — 2я+ -х -2я Найдем: а) веролтности событий (-2<Х<2, 1<У<3), (Х>0, У>1) и (Х<1, У>2); б) частные функции распределения случайных величин Х и У. 198 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ а. В соответствии со свойством 5 двумерной функции распределения имеем Р(-2 < Х < 2, 1 ~ (У < 3) = Р(2,3) — Р(2, 1)— — Р(-2,3)+Р(-2,1) =1 — е 4 е е+е ю— -(1-е '-е '+е ')-О+О=е '-2е '+е ".
Событие (Х > О, У ~> 1) представляет собой попадание дву- мерной случайной величины (Х, У) в квадрант (х ~ ~О,у ~ )Ц. Поэтому Р(Х > О, У > 1) = Р(+со, +оо) — Р(+со, 1)— —.г'(О, +со)+Г(0, 1) =1 — (1 — е ~) — О+.0 =е ~. Аналогично Р(Х < 1, У > 2) = Р(1, +оо) — Р(1,2) — Р(-оо, +оо) + +Р( 2) 1 -1 (1 -1 — 4+ -б) 0+0 — 4 -5 б. В соответствии со свойством 7 двумерной функции распределения частные распределения случайных величин Х и У задаются формулами О, х<0; Рх(х) = г(х, + ) = ~ 11 — е *, х>0; ЖУ(у) = Р(+со, у) = О, у<О; 1 — е ", у>0.
Пример 5.14. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения Г(х,у) = О, 31пх Зшу, вшх, ешу, 1, х ( (0 или у » (0; О < х < я/2 и 0 < у < к/2; О < х < к/2 и у > к/2; х>я/2 и 0<у<к/2; х > к/2 и у >и/2.
200 о. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ б) значения совместной функции распределения Р(х,у) в точках (4 5; 8) и (9; 11), а также вероятность события (4 ~(Х <9, 8~~У<11). а. Поскольку событие (Х = 3) совпадает с объедикекиел4 иеиересекаюи4ияся событпиб (Х = 3, 1' = 3), (Х = 3, У = 8) и (Х=З,У=12), то Р(х =з) =Р(х=з, у=з)+Р(х =з, у=8)+ +Р(Х=З, У=12) =0,55. Аналогично Р(Х = 5) = Р(Х = 5, У = 3) + Р(Х = 5, У = 8) + + Р(Х = 3, У = 12) = 0,45. Ряд распределения случайной величины Х приведен в табл. 5.5. Таблица $.6 Таблица Б.Б Суммируя вероятности по столбцам (см.
табл. 5.4), находим: Р(У =3) =Р(Х = 3, У=3)+Р(Х =5, У=3) =027, Р(У = 8) = Р(Х = З 1 = 8) + Р(Х = 5 1 = 8) = 0 4З Р(У = 12) = Р(Х = 3, У = 12) + Р(Х = 5, У = 12) = 0,30. Ряд распределения случайной величины У представлен в табл. 5.6. б. Используя определение 5.3 совместной функции распределения и то, что событие (Х < 4,5, У < 8) совпадает с событием (Х = 3, У= 3), получаем Р(4,5, 8) =Р(Х < 45, У < 8) = Р(Х = 3, У = 3) =017.
201 Б.б. Решеиие типовых примеров Аналогично событие (Х < 9,У < 11) совпадает с объедине- нием непересекающихся событий (Х = 3, У = 3), (Х = 3, У = 8), (Х = 5, У = 3) и (Х = 5, У = 8), и, значит, 7(9,11)=Р(Х<9,У<11)=Р(ХееЗ,УееЗ)+Р(Х=З,Уее8)+ + Р(Х = 5, У = 3) + Р(Х = 5, У = 8) = 0 70. Наконец, Р(4 < Х < 9, 8 < У < 1Ц = Р(Х = 5, У = 8) = 0,30.
Пример 5.10. Совместная функция распределения непрерывной двумерной случайной величины 1Х, У) имеет вид и (х,у) = — ~ахеей - + †) ~вгсг8 — + †) (а > 0,6 > О). тз~ а 2)~ 6 2) Найдем совместную плотность распределения. Воспользовавшись равенством дхР(х,у) д" дхду получим Пример 5.17. Совместная плотность распределения непре. рывной случайной величины 1Х, У) имеет вид С р(х у) ( з , уг, „) . Найдем: а) постоянную С; б) частные плотности распределения случайных величин Х и У. 202 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ а.
Постоянную С находим согласно свойству 3 совместнои плотности распределения Вычисления интеграла с помощью перехода к полярным коор- динатам (7П) дают: +00+00 20 +со Сдхду рдр (хг+уг+я)2,/ ~ Г (р2+я)2 СО 00 О рддр Стт Поэтому С = 1. б. Частпные плотпностпи распределения случайных величин Х и 1' вычисляются в соответствии со свойством 7 совместной плотности распределения: +со +00 ду тг Рх(х) = РхУ(х,у)<Ь вЂ” ( г+ 2+ )г 2( л+ )зГг +00 Г ах з Ру(у) = Рху(х,у)д ~ (хг+уг+,)г 2(уг+„)зГг' Пример 5.18. Сов.иестпнал плотпностпь распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, 1') имеет вид х<0 или у<0; ~ о * "1пгЗ, х>0 и у>0.
203 5.6. Ретеаве типовых лрямеров Найдем: а) совместную функцию распределения; б) частные плотности распределения случайных величин Хи У; в) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в треугольник с вершинами в точках А(2, 1), В(2, 2) и С(5, 1). а. Совместная функция распределения Р(х,у) =0 А при х < 0 или у < О, а при х > 0 и у > О, согласно определению 5., я 9 9 Р(х Р) — 1 (3 " "1тРЗ~1пДе = ~1н 3-™-м1п'ЗНе = х~р) о о о о 3 "1 3 1п 3 "1пЗ 1о =(1 — 3 *)Р— 3 "). о о б. Частная плотность распределения случайной величины Х равна 0 при х < О, а при х > 0 имеет вид рл(х) = 3 * "1п Зду=З *1пЗ.
о Аналогично частная функция распределения случаинои величины У равна 0 при у < О, а при у > 0 определяется выражением ру(р) = 3 * "1п З~Ь = 3 "1пЗ. о в. В соответствии со свойством 6 (см. теорему 5.2) совмест- ной плотности распределения вероятность попадания случаино- го вектора (Х, У) в треугольник с вершинами в точках А(2; ), А 2 1) 204 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В(2;2) и С(5;1) находим по свойству 6 теоремы 5.2: Р1(Х;У) е Щ = р(х,у)ахау, где область В представляет собой рассматриваемый треугольник (рис. 5.6). Рис.
б.б Проводя интегрирование, получаем 3 <в — *)уз Р((Х;У) ЕЩ= 3 *1пЗсЬ 3 "1пЗйу= з — 3 *1пЗ ~ — — — 3*~ Их= (1 У'3 *з~ 1,3 27 г Пример 5.19. Проверим, являются ли случайные величины Х и У из примера 5.13 независинььаи. Из результатов примера 5.13 следует, что совместная функция распределения г (х, р) случайного вектора (Х, У) совпадает при всех х и р с произведением частных функций распределения 205 5.6.
Решеиие типовых примеров Рх(х) и Ру(у) случайных величин Х и У. Поэтому случайные величины Х и У являютсл независимыми согласно' определению 5.5. Пример 5.20. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (Х, У) задано табл. 5.7. Проверим, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Таблииа 5.7 Ряды распределения случайных величин Х и У представлены в табл. 5.8 и 5.9. Таблииа 5.9 Таблица 5.8 Иэ табл. 5.7-5.9 следует, что вероятность события (Х = = -1, У = 2) совпадает с произведением вероятностей событий (Х = -1) и (У = 2). Это же свойство верно и для всех остальных возможных пар значений случайных величин Х и У.
Поэтому случайные величины Х и У являются независимыми согласно теореме 5.4. Пример 5.21. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.15 независимыми. Поскольку вероятность события (Х = 3, У = 31 не равна произведению вероятностей событий (Х = 3) и (У = 3), то, согласно теореме 5.3, случайные величины Х и У являются зависимыми. Пример 5.22. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.17 независимыми. 206 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Из результатов примера 5.17 видно, что совместная плотность распределения р(х, у) случайного вектора (Х, У) не равна тождественно произведению частных плотностей распределения р г (х) и ру(у) случайных величин Х и У. Поэтому, согласно теореме 5.3, случайные величины Х и У являютсл зависимыми. Пример 5.23. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.18 независимыми. В данном случае совместная плотность распределения р(х, у) случайного вектора (Х, У) тождественно равна произведению частных плотностей распределения рх(х) и ру(у) случайных величин Х и У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
