XVI Теория вероятностей (1081428), страница 30
Текст из файла (страница 30)
«/2~г l 0 Делал в последнем интеграле замену» = х2 при у > О, получаем -в 2 Р«(у) = — / — е *г~И». «/2и «/» О Следовательно (см. 4.1), Р (у) = р (у)1у, где О, у<О; нг(н — Е Н/2 >О «/О тир Так как «/й = Г~-~, где Г(х) — гамма-фукицил Эйлера /1« '«2~' [ХЦ, то плотность распределения ру(у) случайной величины 1' совпадает с плотностью гальке-распределения с параметрами Л =1/2 и у=1/2.
Замечание 6.1. Напомним (см. 4.6), что зту плотность распределения также называют плотностью Л2-распределения 230 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН с одной степенью свободы. Таким образом, Хэ-распределение с одной степенью свободы является распределением квадрата случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение. В общем случае в математической статистике используют Х~-распределение с п степенями свободы, которое, по определению, есть распределение суммы квадратов и независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону У Если функция У(х) является монотонной или кусочно монотонной, что обычно бывает в прикладных задачах, то закон распределения случайной величины 1' = У(х) в виде функции распределения или плотности распределения можно получить без интегрирования через функцию распределения или плотность распределения случайной величины Х.
Действительно, предположим сначала, что функция У(х) является непрерывной возрастающей (рис. 6.2) или убывающей функцией. В этом случае существует обратная функция (1] Рис. 6.2 б.2. Фуннлии от одномерной случайной величиям 231 и событие 1У(Х(ш)) < р) эквивалентно событию Х(ю) < ф(р)) (в случае возрастающей функции У(х)) или событию 1Х(о~) > > ф(р)) (в случае убывающей У(х)). Значит, для возрастающей функции У(х) РР (х) < р) = Р(х < ФЬ)), (6.2) для убывающей У(х) Р[У(Х) < р) = Р1Х > ф(р)).
(6.3) Поскольку, согласно определению (4.2) функции распределения, Р1 Ь) =РР'<р) Р (р) =Рх(ФЬ)); (6.4) для убывающей функции У(х) Ру Ь) = 1- Рх(Ф(р)). (6.5) Напомним, что у1(х) = У 1(р) — функция, обратная к У(х). Пример 6.6. Пусть случайная величина Х имеет непрерывную функцию распределения Р(х), которзл является возрастающей функцией. Рассмотрим случайную величину У = = Р(Х). Она принимает значение только на промежутке [О, 1).
Обратная функция для функции Р ФЬ) =Р '(р) при р Е [О, 1[, очевидно, удовлетворяет тождеству Р(ФЬ)) =р и, следовательно, в соответствии с формулой (6.4) имеем для р Е [О, 1]: РуЬ) = Р(Р 'Ь)) = р. а Р[Х < ф(р)) = Ртф(р)) и Р1Х > Ф(р)) =1-РлЦ(р)), то окончательно получаем: для возрастающей функции У(х) 232 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В случае у < О событие 1У < у) является кевоэмоэскым.
По- этому, если у < О, то ~у(у) — Р1У й — О. В случае у > 1 собьппие 1У < у) является досшоверкым. Поэто- му, если у > 1, то РУ(у) =Р(У < у) = 1. Итак, О, у < О; Р,(у) = у, О < у < 1; 1, у > 1, и случайная величина У имеет равкомеркое раскределекие на отрезке [О, 1]. Переходя к обратной функции, видим, что случайная величина Х=Р ь(У) (6.6) имеет функцию распределения Р(х), если случайная величина У имеет равномерное распределение на отрезке [О, 1]. Полученный результат широко применяют при моделировании случайных величин с заданной функцией распределения Р(х). Действительно, если нужно смоделировать такую случайную величину, то достаточно иметь датчик случайных чисел У, распределенных равномерно на отрезке [О, 1], и каждое такое число преобразовать по формуле (6.6).
Например, пусть нужно смоделировать реализацию случайной величины Х с экскокекциалькоб фуккциеб распределения Р(х) = 1 — еЛв,х > О,при известном параметре Л. Тогда, учитывая, что 1 Р '(х) =--1п(1-х), Л реализацию Х можно получить по формуле 1 Х = — — 1п(1 — У), Л б.2. Фуввввн от одномерной случайной вееичивы 233 где У вЂ” случайное число с равномерным в интервале (О, 1) законом распределения. ф Используя формулы (6.4) и (6.5), легко найти связь между плотностью распределения рх(х) случайной величины Х и плотностью распределения ру(у) случайной величины У = У(Х) в том случае, когда функция У(х) не только монотонна, но и дифференцируема.
Действительно, согласно правилу дифференцирования сложной функции [1Ц, имеем: в случае возрастающей функции У(х) ! р (у) =ЖЫ=(~х(х)) ~ „,Ф'Ь) =рх(ФЬ))Ф'Ы; в случае убывающей функции У(х) ! я Ь) = Рг(у) = -(Гх(х)) ~ Ф'Ь) =-рхЬРЬМ(у) х=е(в) Оба зти случая можно записать в виде рг Ы = рх(Ф(у)) [Ф'(у) ~. (6.7) Пример 6.7. Пусть случайная величина У получена из случайной величины Х линейным пребразованием У = аХ + Ь (а ~ 0), У (у) — и (У (у))— согласно (6.7), имеем у-Ь ру(у) = — рх( — ). )а[ а (6.8) где а и Ь вЂ” неслучайные числа.
Поскольку линейная функция является монотонной, то, учитывая, что 234 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Применим полученный результат к случайной величине Х, распределенной по нормальному закону распределения с параметрами шх и ох. Тогда случайная величина У = аХ + Ь в соответствии с формулой (6.8) имеет плотность распределения 1 к~-Ь~ 1 1 (Я=.-'-тх)'1 РУ(Р) ~ ч~тх,ах ~ ) ехр 14~ * а ц (2хоз ~ 2ох 1 / Ь- (агах+ Ь))' ~ ~2.Д.— ~.— „~ '*'~ 26.).~Р баааъх+6, 1а!ах (а) ~ т.е.
также распределена по нормальному закону с параметрами пбу = акбх+ Ь и оу = ~о~ох. В частности, с помощью линейного преобразования Х-пбх 1 акх / 1 пбх~ У= = — Х вЂ” — ~о= —, Ь=- — ) ох пх ох ~ пх ох ) из случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами акх и пх, получаем случайную величину У, имеющую стандартное нормальное распределение, так как апу = атпх+Ь= О, ог = ~а~их = 1.
И наоборот, с помощью линейного преобразования Х=пХУ+п6Х (о=пХ> Ь=п6Х) из случайной величины У, имеющей стандартное нормальное распределение, получаем случайную величину Х, имеющую кормалькое раскрсделекке с произвольными параметрами оХ О+ гкХ = к6Х и о'Х ' 1 = оХ ф Пусть теперь У(х) является непрерывной кусочно монотонной функцией (1], имеющей к интервалов монотонности (рис. 6.3). Для любого р все решения уравнения 6.2.
Фувхлии от одиомериой случайной величием 235 обозначим х1 = х1(у), ..., хв = хь(у) (в силу кусочной монотонности У(х) таких решений не более к, причем каждое решение соответствует определенному интервалу монотонности). Пусть для определенности х1 соответствует интервалу возрастания, а хв — интервалу убывания функции У(х).
Тогда событие У < у представляет собой (см. рис. 6.3) обьедикекие кесовмесшкмх событий (Х Е (-оо,х1)), (Х Е (хз,хз)), ..., 1Х Е (хь,+со)), и, значит, согласно определенню 4.2 функции распределения и аксиоме 3' слохсекил, Ру(9) = Р(У < р) = Р1Х < х1) + + Р(хз < Х < хз) +... + Р(Х > хь) = = Рх(х1)+ Рх(хз) -Рх(хз)+... + 1 — Рх(хь). (6.9) жьз жь! ха х Рис.
8.3 Из формулы (6.9) можно получить выражение для плотности распределения случайной величины У в том случае, когда У(х) является дифференцируемой функцией. Действительно, пусть 11, ..., 1ь — интервалы монотонности У, которым принадлежат х1, ..., хв. Тогда в этих интервалах существуют обратные к У(х) дифференцируемые функции, которые обозначим фз(у), ..., фь(у) соответственно. Учитывая, что х1 = = ~~(у), ..., хв = фь(у), перепишем (6.9) в виде Еь.(9) = Рх(Ф~Ы)+Рхйз(У))— — Рх(чрез(9)) +" + 1 — Рх(ФЙ(9)) 236 6.
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Дифференцируя обе части последнего равенства, получаем (6.10) Пример 6.8. Снова обратимся к задаче, рассмотренной в примере 6.5, однако теперь для ее решения воспользуемся формулой (6.10). Заметим, что функция У(х) = х принимает только неотрицательные значения и, следовательно, при у < 0 уравнение У(х) = у не имеет решений. Поэтому случайнал величина У=У(Х) =Х2 не может принимать отрицательные значения и, следовательно функция распределения РУ(у) = 0 при у < О.
Отсюда дифференцированием получаем ру(у) =г" (у) =О, у<0. Далее, при у > 0 уравнение у = х2 имеет два решения: х = ф1(у) = -Я и х = Ф2(у) = Я, причем первое решение принадлежит интервалу (-оо, 0) убывания функции У(х) = х2, а второе — интервалу (О,+со) возрастания этой функции. Подставлял ф1(у), ф2(у) и пяотносп1ь стандартного нормального распределения в формулу (6.10), получаем ру(у) = — е з~ ~~® — + — е 4~~~й1~— „2 1 1 1/юг 21/у 1/2я я21/у = — е "~, у>0.
2 1/МЯУ Таким образом, пришли к тому же выражению для плотности распределения, что и в примере 6.5. аЗ. Сваеврвые фув от сеучвйвого еекторвого аргуыевте 237 6.3. Скалярные функции от случайного векторного аргумента Скалярную функцию от случайного векторного аргумента определяют так же, как и функцию от одномерной случайной ве ичины.
Для простоты изложения ограничимся рассмотрением функции от двух случайных аргументов, хотя приведенные ниже выводы можно полностью перенести на случай любого числа аргументов. Рассмотрим на вероятпностпном простпранстпве (тт,В,Р) двумерный случайный венптор Х = (Хт, Хз) и числовую функцию У(хт,хз) числовых аргументов хт и хе. Определение 6.2. Случайную величину У = У(Хт,Хз) = У(Хт(то),Хз(от)) называют фуннт4ией (скалярной) отп двумерной случайной ве.личины (двумерного случайного вектора) (Хт, Хз). Ясно, что функция У(Хт,Хз) от двумерной диснретпной случайной величины (Хт, Хз) является дискретной случайной величиной, принимающей значения У(хн,хзд) с вероятпностпью рту = Р(Хт =хм, Хз = хзу), где хт; и хзу — значения случайных величин Хт и Хз соответственно.
Чтобы построить ряд распределения диснретпной случайной величины У = У(Хт, Хг), необходимо, во-первых, не учитывать все те значения У(хн,хтй), вероятность принять которые случайной величине У равна нулю, а во-вторых, объединить в один столбец все одинакоые значения У(хн,хз.) случайной величины У, приписав этому столбцу суммарную вероятность. Пример 6.9. Пусть У вЂ” случайная величина, равная суммарному числу успехов в двух испытаниях по схеме Бернулли, У=Х1+Хз и У(хмхз) =х1+хз. Поскольку Х; могут принимать только значения 0 или 1, то случайная величина У может принимать четыре значения: У(0,0) =0+0=0, У(1,0) =1+0=1, У(0,1) = 0+1 = 1, У(1,1) = 1+1 = 2 с вероятностями дз, ро, ор и рз соответственно, где р— вероятность успеха в одном испытании, о = 1 — р (табл.
6.6, см. также пример 5.4 и табл. 5.2). Таблица 6.6 Заметим, что двум средним столбцам соответствует одно и то же значение 1 случайной величины У, и их необходимо объединить. Окончательно получаем ряд распределения случайной Таблица 6 У величины У, пРедставленный в табл. 6.7. Как и следовало ожидать, суммарное число успехов У в двух испытаниях имеет биномиальное распределение. В том случае, когда (Хм Хз) — двумерная непрерывная случайная величина с плотпностью распределения рх, х,(хмхз), функцию распределения случайной величины У = У(Х1,Хз) можно найти по формуле, аналогичной (6.1): Й (у) = рх, х,(хмхз) Йх1дхз, (6.11) У(хива) <в где область интегрирования состоит из всех значений х1 и хз, для которых У(хмхз) < у.
поверхность, определенная функцией у = У(хыхг), имеет вид чаши" (рис. 6.4) и у — проювольное значение случайной и величины У = У(Х1,Хг). Проведем плоскость я, проходящую через точку (О;0;у) и ортогональную оси Оу. Обозначим через Ь линию пересечения плоскости к и поверхности у = У(хмхг); Ь' — ее проекцию на плоскость х10хг, Р(у) — ту часть плоскости хгОхг, попадание в которую случайного вектора (Х1, Хг) ведет к реалюации события (У < у). Поскольку У = У(Х1, Хг), то Р(у) = Цхы хг): У(хмхг) < у) = 1У(хмхг) < у). События (У < у) и ((Хм Хг) Е Р(уЦ совпадают, и в соответ- ствии со свойством 6 дву,неркой нлошносши распределения Р(У < у) = Р((Х1, Хг) Е Р(у)) = рхьх,(хмхг)дх1дхг У(ю,жг) <я Учитывая равенство Р1У < у) = Рг(у), приходим к формуле (6.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
