XVI Теория вероятностей (1081428), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пример 6.10. Пусть (Хы Хг) — двумерный случайный вектор, имеющий сигакдар~иное кориальное распределение. Найдем распределение случайной величины у = Хг+Хг. В этом случае У(хыхг) = 1/х1+хг. Очевидно, что О, — е %~*~+*г) Их1дхг> у ) О. | Г 1 1 г г ,/ 2я ~/х~~+~ч~<я 240 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАИН Х ВЕЛИЧИН Рис. 6.4 Переходя к полярным координатам р и ~р, имеем я гв У вЂ” 'г РУ(у) = ор! — е ~ ~~рогр= )ре лг~~йр=1 — е "~, у) О.
! 22 о о Это известное нам распределение Релел (см. 4.6). Полученный результат допускает многочисленные физиче. ские трактовки. Приведем одну из них. Если движущаяся в плоскости частица имеет случайные составляющие скорости, распределенные по двумерному стандартному нормальному закону, то абсолютное значение скорости распределено по закону Реаел. Ч~эехмерным аналогом распределения Релея (абсолютное значение скорости частицы, движущейся в трехмерном пространстве, причем составляющие скорости распределены по трехмерному стандартному нормальному закону) является распределение Максвелла, представляющее собой распределение случайной величины 1' = ~ГХ, где Х вЂ” случайная величина, распределенная ио закону Хг с числом стпепенеб свободы, равным трем. 241 б.4.
Формула свертки 6.4. Формула свертки Важную роль в теории вероятностей и ее применениях играет тот случай, когда Х1 и Хг являются кезависимыми случайными величинами, т.е. их двумерная плоткость распределекия рх„х,(х1,хг) = рх,(х1)рх,(хг) (мы ограничиваемся здесь только случаем кепрерывных случай- ных величин), а случайная величина У является их суммой: 1 =Х +Х.
Тогда У = У(Х1, Хг), где У(Х1, Х2) = Х1 + Х2, и, согласно формуле (6.11), находим: г1" (у) рхпхг(Х1)Х2)ах1ихг = е1+ез<М Рх,(х1)рх,(хг)ах1ахг = е1+жг<9 +00 2 Ю Рх,(х1)дх1 Рх,(хг)дхг = Рх,(у-хдРх,(х1) йх1 Дифференцируя последнюю формулу по у под знаком интеграла (см. [ЧЦ), получаем (с учетом переобозначения Х1 = х) выражение для плотности ру(у) распределения суммы Х1 и Хг.' (6.12) Ру(у) = рх,(у-х)рх,(х)4 242 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В этом случае говорят, что плотность распределения ру(у) случайной величины У является свертпкоб (компоэициеб) плопгностпеб распределения рх, (х) и рх, (х) слагаемых Х1 и Хг или что закон распределения суммы двух независимых случайных величин является свертпкоб (композициеб) законов распределения слагаемых.
Соотношение (6.12) условно записывают в виде РУ =РХ,*РХ,. Формулу (6.12) называют утормулоб свертпки для плотностей распределения случайных величин Х1 и Хг, она хорошо известна из теории преобразований Фурье Щ. Пример 6.11. Пусть Х1 н Хг — независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону со средними значениями тп1 и тпг и средними квадратпичнмми оигклонениами о1 и ог.
Найдем плотность распределения суммы 1т = Х1 + Хг. Воспользовавшись формулой свертки, имеем ру(у) = 2 тл,(у — х)т „.,(х)д*= о1 1т'2я 2о~~ ст21/2~г 2огг 1 ( (у-тп1-тпг)2'1 2яо1ог ~, 2(о~1 + ог~) / х ехр ~- о1+ог ( о1тпг — ог™1+агу) 2 2 . 2 2 2 (х— 2огог 1 2 ог» ог 1 2 Делая теперь замену о1 +'тг о1тпг — огтп1+ агу' х= 2 2 2 х— о1ог о21+ сЯ б.4. Формула свертки 243 получаем +со »»2 (».» ю ~ ~ 'и +'в 1 ( (р тп, тп )г ехр »»2»и.»»» к, "»»» ) Таким образом, случайная величина У также распределена по нормальному закону с параметрами еп1+ епо и ~Я+ею т.е. композиция плотностей нормальных законов распределения является плотностью нормального закона распределения.
Замечание 6.2. Выведенное свойство справедливо для суммы любого числа слагаемых, распределенных по нормальному закону, т.е. если Х1, ..., Մ— независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону со средними значениями пь1,..., гп„и средними квадратичными отклонениями о'1» ..., а'и, то их сумма У = Х1 + ...
+ Х„также распределена по нормальному закону с параметрами пь1 +... + тп„и »асс....»7~. Замечание 6.3. В условиях примера 6.11 случайная величина — Хо имеет мормялькое распределение с параметрами -пьо и тэ (см. пример 6.7), случайные величины Х1 и -Хо являются независимыми 1см. далее лемму 1, с.
251). Поэтому, согласно результату примера 6.11, разность Я = Х1 — Хо распределена по нормальному закону с параметрами тп1 — пьо и ~Я+ пэ. Рассмотрим независимые случайные величины Х1 и Хэ, имеющие галька-распределения с параметрами Л и у1, Л и 7г соответственно. Найдем плотность распределения суммы У=Х1+Х~. Поскольку Х1 и Хо — положительные случайные величины, то случайная величина У также положительна и поэтому при у<0 р,(р) =О.
244 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В случае у > О, учитывая, что РХ,(х) = О при х ( О и рх, (у — х) = О при х > у, имеем, согласно формуле свертки, Ру(у) = Рх,(у — х)РХ~(х) пх = Л'"(р — х)~' 1 А(я ) Лпхв Г(7,) ' Г(7,) ' о г х)ъ-1хъ-1 = Л"'+ "е "/ ' ~Ь.
./ Г(7з)Г(7 ) о где Г( у) — гамма-функция. Делал замену х = Рл, получим 1 Лп+т~рп+-и-1е-~в г РУЬ) = (1-л)~' ~з7' «Ь Г(7з)Г(71) Интеграл, стоящий в последнем выражении, представляет собой так называемую бета-функцию В(ум7з). Согласно свойству бета-функции, имеем Г „, „,, Г(7,)Г(7 ) о Следовательно, Л71+7з 71+7з-1 -ло Р е Г(71 +7г) т.е.
случайная величина У также имеет гамма-распределение с параметрами Л и 71+7з. Полученный результат можно обобщить на любое число независимых слагаемых, имеющих гамма-распределение. Ввиду б.о. Векторимо фуикиии от еаучайиого аекториого аргумеита 245 важности полученного результата сформулируем его в виде следующей теоремы. Теорема 6.1. Если случайные величины Х1,Хг, ...,Хи являются независимыми и имеют гамма-распределения с параметрами Л и Ъ, 1 = 1,н, соответственно, то их сумма у = Х1+Хг+ ° ° ° +Х и имеет гамма-распределение с параметрами Л и ~~> у;, т.е.
1=1 композиция гамма-распределений с одинаковым параметром Л и различными параметрами у; является также гамма-распредеи лением с параметрами Л и у 7;. ф Поскольку распределение Эрланга и Хг-распределение являются частным случаем гамма распределения (см. 4.6), то композиция любого конечного числа распределений Эрланга с одним и тем же параметром Л или Хг-распределений снова является распределением того же типа. В частности, учитывая, что Хг-распределение с одной степенью свободы есть распределение квадрата случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону (см. пример 6.5), распределение Хг с п степенями свободы можно трактовать как распределение суммы квадратов и независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение.
6.5. Векторные функции от случайного векторного аргумента Пусть теперь с двумерным случайным вектором (Х1, Хг) связана не одна, а две (можно рассматривать и большее количество) случайные величины У1 = У1(ХыХг), Уг = Уг(ХыХг). 246 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Тогда мы можем определить совместнуто бтунниикт распределения случайных величин У1 и Уз. Можно доказать, что в случае непрерывной двумерной случайной величины (Хт, Хз) двумерная функция распределения вектора (Ум Уз) будет иметь вид Руну (ут,уз) = рхьх (хмхг)дхтдхз, (6 13) УЦхьхт) <ю яхт,хт) <Ю где рхт,хт(хт, хз) — совместпная плотность распределения случайных величин Хт и Хз. Эта формула является обобщением (6.11) на случай двух функций.
Но в отличие от формулы (6.11), область интегрирования в формуле (6.13) задана двумя неравенствами Ут(хт,хз) <ут и Уз(хатха) <уз. Пример 6.12. Пусть случайный вектор (Хм Хз) имеет двумерное стпандарптное нормальное распределение. Случайные величины Ут = Ут(ХОХз) и Уз = Уз(Хт,Хз) определяются функциями Ут(хмхз) и Уз(хт,хз), заданными неявно уравне. пнями хт = ут соеуз) хз = ут 8?пуз, О ~< ут < +со, О < уз < 2тт, относительно ут, уз.
Нетрудно видеть, что если трактовать (хт,хз) как прямоугольные декартовы координаты случайной точки на плоскости, то (ут,уз) представляют собой полярные координаты этой же точки [П?]. Найдем двумерную функцию распределения вектора (Ут, Уз). Поскольку полярный радиус Ут и полярный угол Уз не могут быть отрицательными, то при ут < О или уз < О й;,Уь(уь уз) = Р(Ут < уь Уз < уз) = О б.5. Векторвые фувкиии от саутайвого векториого аргумевта 247 Пусть теперь у1 > О и О < у1 < 2в. Тогда в соответствии с формулой (6.13) Ртьу~(у1 у2) = 2 е е ' пх1пя2 В где область интегрирования 1г представляет собой сектор, ограниченный окружностью радиуса у1, осью Ох1 и лучом, исходацим из начала координат и составляюшим с осью Ох1 угол у2 (на рис.
6.5 этот сектор заштриховав). Переходя к полярным координатам р и е2, получаем Р УьУ,(У1,У2) = Д вЂ” е РИРг1гР = Г 1 -ре/2 о<р<ю о<е <ю ю Уз ре Р г Ыр — Йр= 11 — е "1г~1 —. ,/ 22' ~ /2т о о Наконец, пусть у1 > О и у2 > 2я. Тогда событие (У1 < У1, 1'2 < < у2) совпадает с событием (У1 < у1, У2 < 2т) и, значит, Р1„у,(у1,у2) = Ру„у,(у1,2я) = (1 — е "1г ) — = 1 — е "'~ .
22~2в 22 ) 2в 248 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Согласно теореме 5.1, О, У<О; ЕЪ; (уг) = й;,г,(уь+со) = 1 1 — е "г~~, у1)0; О, рэ < 0; Еь'~(рэ) = й'1,уь(+со,рэ) = рэ/2я'> 0 < рэ < 2я; 1, рэ)2я. Таким образом, для любых рг и рэ Й;х,(уьуз) = Рь;(уг)й~(уэ). Следовательно, случайные величины У1 и Уэ являются независимыми, причем У1 имеет распределение Релел, а Уэ — равно.нерное раснределенне в промежутке [0,2и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
