XVI Теория вероятностей (1081428), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Значит, 8 =2 / (ф — л — — )Н х1 /1 1 = — — 2 агсвш — — ~/ — — рг + 2 1п — — — — 1 2 2 Ч4 (~2р 4рг и поэтому при — 1/2 < р < 0 1 2 . 1 ~~ 2 /1 1 Рг (р) = — — — агсаш — — у — — рг+ — 1п ~ — — — — 1 2 я 2 Ч4 гг ~2р 4рг Аналогично при 0 < р < 1/2 имеем (см. рис. 6.7): 1 2 1 ~~ 2 /1 1 Р~(р) = — + — агса1п — — у — — рг — — 1п ~ — — — — 1 2 я 2 Ч4 я 1,2р 4рг хг<0; „е хг е, хг)О.
— в~1/2 Ь/2-1 -вв/2 ~/2~г2в/гГ(2) О, рх„х,(хыхг) = Полученные формулы задают значения функции распреде. лепил Р1. (р) при всех значениях аргумента р. Пример 6.26. Независнлеые серчайнгяе величины Х1 и Хг имеют стандартное нормальное распределение и распределение Хг с й степенвлги свободы соответственно (см. 4.6).
Найдем плотность распределения случайной величины У = Хг/ь/Хр/й. Поскольку случайные величины Х1 и Хг являются независимыми, двумерная случайная величина (Хы Хг) имеет совлгестнрго плотность распределения: 266 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЬХХ ВЕЛИЧИН Значение функции распределения Ру(р) равно вероятности попадания двумерного случайного вектора (Хм Хг) в область Р (на рис. 6.8 эта область заштрихована), определяемую неравенствами х1 <у, хг>0, 1/хг/й т.е. х, Рис. 9.9 Рис. 9.9 Сделаем замену з = ~/хг. Тогда где область интегрирования Р' (рис. 6.9) представляет собой угол между лучами х1 = -$, л = 0 (3 > 0) и х1 = рс, з = = ~ГЙ (б > 0).
Переходя теперь к полярным координатам х1 =рсобф, з=решф, получаем Ру(р) =, аш ~~рйр р е Р ~ рбр. ~(2'г2ь~гГ(~г) ис~б(~/й/Л) о 267 6.7. Решеипе типовых примеров Снова делая замену и = рз/2 и учитывая, что и~ ~~ е Мп=Г 0 находим ~а+1'1 е Так как нам необходимо определить плотность распределения случайной величины У, мы не будем вычислять интеграл в последней формуле, а воспользуемся формулой дифференцирования интеграла: агсф(Л/у) Учитывая, наконец, соотношение вш(агс$6х) = Я+х~ приходим к окончательному ответу: 268 в.
Функции От случАЙных Величин Распределение случайной величины У называют распределением Сюттьюдентпа (1-распределением). Распределение Стьюдента, наряду с распределением Х~, играет важную роль в математической статистике. Пример 6.27. Случайная величина Хт распределена равномерно на отрезке (1, 2], а случайнал величина Хг имеет показательное ~экспоненииальное) с параметпром А = 2 распределение. Предполагал, что случайные величины Хт и Хэ являются независимыми, и воспользовавшись формулой свертпки, найдем функцию распределения и плотность распределения случайной величины У = Хт + Хэ. Запишем формулу свертки: р1 (х) = Рхт(у)рхт(х — у)ду. Поскольку рх,(х) = О при х < 1 и рх,(х) = О при х < О, то при х < 1 подынтегральное выражение тождественно равно нулю, и, значит, РУ(х) =О, х <1.
При х > 1 формула свертки принимает вид РУ(х) = Рх,(у) Рхт(х - у) 4), 1 причем, поскольку рх,(х) = О также при х > 2, то при х > 2 формулу свертки можно записать в виде РУ(х) = Рх,(у)рх,(х — у)тту. 1 о.7. Ре!пеппе типовых примеров Подставляя в полученные формулы выражения для равномерной и экспоненциальной плотностей распределения, находим х ру(х) =2 е 2(* в)ау=1-е 2(* 1) 1<х<2; 1 2 ру(х) =2 е (* в)ар=е (* ) — е (* ), х) 2. 1 Таким образом, х<1; 1<х<2; ру(х) = -2(е-2) -2(е-1) Пример 6.28.
Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Хм Х2) (табл. 6.14). Найдем распределение вероятностей двумерной случайной величи- Таблица 6.Ц ны (Ум У2), где у1 =х,+х,'-гх,х„ 1 1 У2 = Х2 — — Х1 + -Х) — Х1 Х2. 2 2 2 2 Для того чтобы определить совместное распределения случайных величин У1 и У2, удобно сначала выписать общую таблицу, в которой в первой строке и первом столбце перечислены значения случайных величин У1 и У2, соответствующие всем парам значений случайных величин Х1 и Х2, на главной диагонали записаны вероятности, а на остальных метах стоят нули (табл.
6.16). 270 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Таблица 6.16 Объединял строки с одинаковыми значениями Уг, приходим к табл. 6.16. Таблица 6.16 Таблица 6.17 Наконец, объединяя столбцы с одинаковыми значениями Ум получаем табл. 6.17, окончательно задающую совместное распределение вероятностей случайных величин У1 и Уг. Пример 6.29. Двумерная случайная величина (Хм Хг) распределена равномерно в квадрате с вершинами в точках А1(0; -1), Аг(0; 1), Аг(2; 1) и А4(2; -1). Найдем совмес~пкую фуккцию распределения случайных величин Уг =Хгг и Уг =Хг+Хг. Очевидно, что случайная величина У1 может принимать только значения от 0 до 1, а случайная величина Уг — от — 1 до 3.
Поэтому Р~,,у,(у1,уг) = О, если у1 < 0 или уг ( (-1, и Р~„У,(умуг) = 1, если у1 ) 1 и уг ) 3. Пусть теперь 0 < уг < 1 и — 1 < уг < 3. Тогда значение РУ„У,(уь1уг) равно четверти 271 6,7. Равеиие еиисемс яР~ииРсе площади части Р квадрата, ограниченной прямыми у1 = -хз~, у1 = х~з и уз = х1+ хз. Область Р при различных соотношениях между у1 и у1 на рис. 6.10-6.14 отмечена штриховкой. Проводя вычисяения, получаем РУ.7 (У1 УЗ) = Далее, если 0 < у1 < 1, а уз ) 3, то Гу, у,(у1,уз) совпадает с функцией распределения г7, (у1), которая, как нетрудно видеть, равна ~7„72 (у» уз) — Рт (у1) — Л~ Наконец, при у1 ) 1 и -1 < уз < 3 совместная функция распределения Ру„у,(у1,уз) совпадает с функцией распределения ~у.(уз) 8 (Юе+1) 1-(З-р,)' 8 ~7.7е(У1 УЗ) = й7е(УЗ) = Рис. 6.10 Рис.
6.18 Рис. 6.11 О, (в+ ~/Ю 8 рз497 1 Ф 17У1— 1/У1 Уз ~ ~Д6 -1/У1 < УЗ < 1/У11', Д~ <уз <2- /у1,' 2 — 1/у1 <уз <2+ Щ 2+~/у1 <уз. 272 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН х 1 гх, е 2 х1 Рис. 6.13 Рис. 6.14 Полученные формулы определяют значения совместной фУнкЦии РаспРеДелениЯ РУьу, (У1, Уг) пРи всех значенилх У1 и Уг. Пример 6.30. Двумерная случайная величина (Х1, Хг) имеет совместную плотность распределения 1 Рхьхг(~1~хг) = я(х1 + хг + 1 Найдем совместную плотность распределения случаиных величин у1 —— ех' + е"' и уг = ех' — ех' С помощью преобразования ь'~(х1,хг) = е*' + е*', 12(х1,хг) = е*' — е*' осуществим взаимооднозначное преобразование плоскости в область Р', задаваемую неравенствами у1 + уг ) О, у1 — уг ) О, причем обратное преобразование Ф (у ) =1 ("'2"') Фг(у1,уг) =~ ( — "',"') 273 б.7. Реявшие типовых примеров имеет непрерывные частные производные и якобиан 1 1 91+Уз 91+Уг 1 1 91-Уг 91 Уг 91 Уг Поэтому Р1ьъе(91~9г) =Рхьхе(Ф1(91~9г)~Фг(91~9г))!4~ = О, (91 Уг)ФЮ' 2 г ~ (91 Уг) ЕВ я(1п (~' «')+1в~(»вЂ” ~)+1) (уг — угг) Пример 6.31.
Двумерная случайная величина (Х1, Хг) распределена равномерно в круге Р, определяемом неравенством хг1+ (хг — 1)г < 1 (рис. 6.15). Найдем совместную нлотность распределения случайных величин 1'~ =Х1+Хг и Ъ'г =Х1 — 2Хг+3 Совместная плотность распределения двумерного случайного вектора (Х1, Хг) имеет вид / О, (х1, хг) фЮ; Линейное преобразование 111(х1,хг) = х1+хг, уг(х1,хг) = х1 — 2хг+3, д 1 — Ф1(91,9г) = оУ1 91+ Уг д 1 — Фг(91,9г) = д91 91-9 д 1 — Ф1(91 Уг) = д»г 91 + Уг д 1 — Ф1(91,9г) =- дУг У1 — Уг 274 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН в матричной форме имеет вид У(х) — хВ+ с,  —, с — (О, 3), /1 где  — невырожденная матрица.
Это преобразование осу1це. ствляет отображение круга Р в множество Р' (рис. 6.16) точек внутри эллипса с центром в точке 0(1;1), задаваемого уравне- 5у1з+ 2у1уз+ 2уз~ — 12у1 — буз = О. Рие. 6.16 Рис. 6.16 Нетрудно подсчитать, что йе1 В = -3. Обозначая В = В 1 обратную к В матрицу, получаем 1 ) О (у1 уэ) к р 1 ~ае1В~ ~ 11(3„) (у, у,) ~Р Пример 6.32.
Пусть Х = (Х1, Хэ, Хз) — тирехмерныб саучайнмб аеноьор, распределенный по нормальному закону 275 6.1. Решение типовых прпыероп с вентпором средних значений ейо = (2, -1, 0) и матрицей новариаиий 3/2 1/2 1/2 Ех 1/2 3/2 1/2 1/2 -1/2 1 Найдем вектор средних значений ей -. и матрицу ковариаций Ер случайного вектора У = ХВ+ 4 где 1 2 1 В= 0 1 0 и сее( 3,-2 0). 2 -1 0 Имеем 1 0 2 3/2 1/2 1/2 Ер В ЕхВ 2 1 1 1/2 3/2 -1/2 х 1 0 0 1/2 -1/2 1 х 0 1 0 = 2 19/2 3 1 2 1 тйр=йоВ+сш(2, -1,0) О 1 0 + 2 -1 0 + (-3, -2, 0) = (-1, 1, 2). Пример 0.33. Пусть Х = (Хм Хз, Хз) — трехмерный случайный вектор — имеет нормальное распределение с вектором средних значений ей о = (3, 1, 2) и матрицей ковариаций Еош — 1 5 1 276 б.
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Найдем вектор с и матрицу В линейного преобразования, переводюцего вектор Х в вектор 1', имеющий сшандаршное нормальное распределение. Запишем квадратичную форму Ех(х), соответствующую матрице Ео. Е о(х) = хг1 — 2х1хг + 2х1хз + бхгг + 2хгхз + Зхз. Воспользовавшись методом Лагранжа выделения полных ква- дратов, получим ЕЯ(х) = (х1 — хг+хз) +4хг+4хгхз+2хз = = (х1 — хг+хз) +(2хг+хз) +х3 = З1 +яг+яз.
г г г г г г где З1 =Х1 — Хг+ХЗ,' зг = 2хг + хз, ЗЗ = хз. Значит, В '= О 2 1, В= О 1/2 -1/2 Вектор с задается равенством 1 1/2 -3/2 с=-(3, 1, 2) О 1/2 -1/2 =(-3, -2, 3). О О 1 Пример 6.34. Для определения абсолютного значения скорости движущейся в пространстве частицы были замерены ее составляющие (получены значения Х1, Хг и Хз). Абсолютное 6.7. Репииие типовых примеров значение скорости У вычислялось по формуле Х +Х +Хзх. Считая, что результаты измерений представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины и отсутствуют систематические погрешности, причем средние квадратичные отклонения ~т1, оз и из малы по сравнению с истинными значениями составляющих там хпз и тпЗ, НайдЕм раС- пределение полученного абсолютного значения скорости У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
