XVI Теория вероятностей (1081428), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть Х вЂ” число успехов в и испытаниях по схеме Бернулли. Дисперсию Х можно подсчитать так же, как в примере 7.2 было подсчитано математическое ожидание, а именно непосредственно воспользоваться определением 7.5 306 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН дисперсии. Однако мы поступим другим образом. Для этого снова (см. пример 7.13) представим Х в виде суммы Х =Х1+...+Хо. Дисперсия каждого слагаемого равна: ПХ; = (0-МХ;) Ч+(1 — МХ;)яр= ( )2 ) (1 )2 2 + 2 ( ~ ) Учитывал, что случайные величины Х; являются независимы- ми, в силу свойства 4 дисперсии получаем ВХ =ВХ +...+ПХ =Чщ Пример 7.16. Дисперсия равно.верно распределенной на отрезке [а, Ь] случайной величины Х определяется формулой Ь+а з 1 ох=) (.
) — и.= О 1 (~ 6+а~э ~ Ь+ а~э'( (Ь вЂ” а)з (Ь вЂ” а)~ 3(Ь-а) ~,~ 2 ! 'х 2 l / 12(Ь-а) 12 Пример 7.17. Дисперсия случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами тп и о, имеет вид +00 +~~ з (е — т) Г (х — п1) ПХ = (х — тп~)р (х)дх = ~ е 2ох дх. оЧ2~г Делая замену у = (х — ти)/о, получаем +оо РХ =сг~ — е "~~ау. 7.3. дисперсии. Момеиты выавих порядков 307 в 2 Полагая и = у/~/2~г, ди = уе "lгду и интегрируя по частям, находим РХ = а~ — е " У~ ду = а~ ~р(у) йу = о~.
/ Лт Таким образом, дисперсия нормально распределенной случайной величины совпадает с квадратом второго параметра. Этого и следовало ожидать, поскольку и носит название среднего квадратичного отклонения. Пример 7.18. Для определения дисперсии случайной величины Х, имеющей гамма-распределение, воспользуемся свойством 3 дисперсии. Имеем г Лтх'+1 мх'= ~ е дх, г(у) или после замены у = Лх МХг 1 1 т+1 и Г(у+2) у(у+1) Л Г(Л) / " ' " Л Г(у) Л о Учитывая, что МХ = у/Л (см. пример 7.9), окончательно получаем г РХ = МХ вЂ” (МХ) Пример 7.19. Пусть Х вЂ” случайная величина, имеющая дисперсию РХ. Введем новую случайную 308 7.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Найдем число а, при котором достигается минимум Мт'~. Согласно свойствам 2 и 3 дисперсии, имеем Мт" =тУт +(Мт') =ОХ+(МХ- ) . Первое слагаемое от а не зависит, а второе принимает минимальное значение, равное О, при а = МХ. Таким образом, в качестве а нужно взять МХ, а само минимальное значение Мт ~ совпадает с дисперсией ОХ. В некоторых теоретических исследованиях встречаются моменты высших порядков. Определение Т.О.
Моментпом й-го порядка ть (й-м моментом) случайной величины Х называют математиче. ское ожидание й-й степени случайной величины Х: ть=МХ = т х;р;, ь % ~ ь если Х вЂ” дискретная случайная величина, и ть = МХ = х"р(х) дх, если Х вЂ” непрерывнзл случайная величина. Иногда й-й момент называют также начальным моментом й-го пор,едка. Определение Т.Т. Центральным моментпом й-го порядка ть (й-м центпраяъным моментпом) случайной величины Х называют математическое ожидание й-й степени а случайной величины Х = Х вЂ” МХ: ть=М(Х вЂ” МХ) =~> (х; — МХ)"р; ТА. Ковариацин и коэффициент корревщии свутайиык ввеичии 309 и т„=М(Х вЂ” МХ)" = (х-МХ) р(х)дх для дискретной и непрерывной случайных величин Х соответ- ственно. Момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием, центральный момент первого порядка равен нулю, центральный момент второго порядка является дисперсией.
Отметим также, что в теоретических изысканиях рассматривают моменты не обязательно целого порядка й. 7.4. Ковариацин и коэффициент корреляции случайных величин Пусть (Хы Хг) — двумерный случайный вектор. Определение Т.8. Ковариацией (корреляционным момененом) сот(Хы Хг) случайных величин Х1 и Хг называют математическое охендание произведения случайных величин о о Х1 = Х1 — МХ1 и Хг = Хг — МХг'. о о сот(Хы Хг) = М(Х1Хг) = М((Х1 — МХ1)(Хг — МХг)).
Запишем формулы, определяющие ковариацию. Для дискретных случайных величин Х1 и Хг сот(Хы Хг) =~ (х;-МХ1)(у — МХг)р;., для непрерывных случайных величин Хг и Хг сот(Хы Хг) = (х1 — МХ1)(хг-МХг)рх„х,(хыхг)дх~дхг. 310 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Заметим, что введение понятия ковариации позволяет записать выражение для дисперсии суммы случайных величин и к уже имеющимся свойствам дисперсии добавить еще одно: 1.х(Х+У) = ОХ+ОУ+2соъ(Х,У) (свойство 5 дисперсии), справедливое для произвольных, а не только кезависи.выя случабкыя величав Х и У.
Действительно, В(Х+У) =М((Х+У)-М(Х+У))'= = М(Х вЂ” МХ)~+ 2М((Х вЂ” МХ)(У вЂ” МУ)) + М(У вЂ” МУ)~ = = РХ+ ВУ+ 2соч(Х, У). Свойство 5 дисперсии допускает обобщение на произвольное число слагаемых: Р(Х~+...+Хо) =Х)Х1+...+ВХо+2 ~ соч(Х;,Ху). 1<1<3(о Следующая теорема устанавливает основные свойства ковариации. Теорема 7.3. Ковариация имеет следующие свойства. 1. соъ'(Х,Х) =1хХ.
2. сок(ХыХз) = 0 для независимых случайных величин Х1 и Хг. 3. Если У1 = а1Х1 + Ь1 и Уз = азХз + Ьз, то соч(У1,Уз) = = а1 азов(Х1, Хз). 4. -~Их,ох, < [х„х,~ <,/ох,ох,. 5. Равенство ~ю (х„х,И =,/ох,ох, (7.8) верно тогда и только тогда, когда случайные величины Х1 и Хз связаны линейной зависимостью, т.е. существуют такие числа а и Ь, при которых Хз = аХ1 — 6. (7.9) 6. соч(Х1,Хз) = М(Х1Хг) — МХ1МХз. 7.4 Ковариаццв в вевффвцвевт воррелвцвв елувайвмх велвчцв 311 ~ Утверждение 1 вытекает иэ очевидного соотношения соч(Х,Х) = М(Х вЂ” МХ)~.
Если случайные величины Х1 и Хз являются независимыми (и имеют математические ожидания), то соч(Х1 Хз) = М((Х1 — МХ1)(Хэ — МХз)) = = (М(Х вЂ” МХ )) (М(Хг — МХз)), откуда приходим к утверждению 2. Пусть У1 = а1 Х1 + Ьм Уз = агХз + Ьз. Тогда соч(УмУз) = М((У1 — МУ1)(Уэ — МУз)) = = М((а1Х1 + Ь1 — а1МХ1 — Ь1)(аэХг + Ьэ — азМХз — Ьз)) = = М(а1аз(Х1 — МХ1)(Хг — МХг)). Поэтому справедливо утверждение 3. Рассмотрим дисперсию случайной величины Ув = хХ1 - Хэ, где х — произвольное число. В силу свойств дисперсии и свойства 3 ковариации 1ЭУ = 13(хХ1) + 2соч(хХм — Хг) + 13(-Хг) = = х~13Х1 — 2хсоч(Х1, Хз) + РХз.
Дисперсия РУв, как функции от х, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант Й = (2соч(Х~,Хз)) — 4ОХ113Хг (7.10) квадратного трехчлена Ш~ является неположительным, т.е. имеет место утверждение 4. 312 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Далее, пусть выполнено равенство (7.8). Значит, дискриминант (7.10) равен нулю, и уравнение 1И' =О имеет решение, которое обозначим а. Тогда в соответствии с замечанием 7.5 случайнал величина 1' = аХ1 — Хз принимает всего одно значение (допустим, 5), и, следовательно, Хз = аХ1 — 5, т.е. из (7.8) вытекает (7.9). Наоборот, пусть выполнено (7.9). Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии ОУ„= О, а значит, дискриминант (7.10) является неотрицательным.
Поскольку при доказательстве утверждения 4 было показано, что этот дискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует, что ~,~[х„хд = ~/Ьх,ох,. Таким образом, из (7.9) вытекает (7.8). Утверждение 5 полностью доказано. Наконец, раскрывая скобки в формуле, определяющей ковариацию, и используя свойства математического ожидания, получаем утверждение 6, которое часто бывает полезным при численном подсчете ковариации. Ф. Замечание 7.9. Если случайные величины Х1 и Хз связаны линейной зависимостью Хз = аХ1 — Ь, а ~ О, то в соответствии со свойствами 3 и 1 соч(Х1,Хз) =асоч(Х1,Х1) =аьУХ1. Поэтому знак ковариации совпадает со знаком коэффициента а и свойство 5 допускает следующее уточнение: ~ чех,ох„>0; соч(Х1,Хз) = (-~ех,вх,, <О.
7.4. Коввривцвл и яоэффяцяевт иоррелвцви елучвйяыя величин 313 Замечание 7.10. Из свойств дисперсии и ковариации можно получить еще одно полезное при расчетах свойство дисперсии П(азХз+азХз+6) = а,ПХ~+азРХз+2а~азсот(Хз,Хз). Докажите зто свойство самостоятельно. Замечание 7.11. Как следует из свойства 2, ковариация независимых случайных величин равна нулю.
Однако обратное, вообще говоря, неверно. Существуют зависимые и даже функционально зависимые случайные величины, ковариация которых равна нулю, что демонстрирует следующий пример. Пример 7.20. Пусть случайная величина Х имеет равномерное в интервале ( — 1, 1) распределение, а случайнал величина У связана со случайной величиной Х функциональной зависимостью У = Хз (см.
6.1). Покажем, что сот(Х, У) = О, несмотря на функциональную зависимость Х и У. Действительно, учитывая равенство МХ = 0 и свойство 6 ковариации, имеем сот(Х,У) =М(Х У)-МХ МУ= =МХ = з х р(х)дх= — з х Их=О. з ~ з 1Гз 2„( Определение з.9. Случае1ные велачимы Х и У называют неиоррелпровамнымп, если их ковариация равна нулю, т.е. сот(Х,У) = О. Приведенный выше пример показывает, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимость.
Можно сказать, что ковариация случайных величин отражает, насколько их зависимость близка к линейной. 314 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Рассмотрим теперь и-мерный случайный вектор Х = (Х , ..., Х„). Определение 7.10. Матприцей ковариаций (ковариационной,иапгрицей) случайного вектора Х называют матрицу Е = (о1 ) = (сок(Х;, Х )), состоящую из ковариаций случайных величин Х; и Х . Пример 7.21. Рассмотрим двумерную случайную величину (Х, У), распределенную по нормальному закону.
Тогда Г (х-т1)(у-пгг) 2ко1 ог 1/ 1-рг ~ (х-т~)г 2р(х — ог1)(у — огг) (у-огг)г ~~ ~2ог(1-рг) 2о1пг(1 рг) 2огг(1-рг)/~ Делая замену и = (х — ти1)/о1, о = (у — туг)/ог, получаем соу(Х,У) = / р1-, ( -2р + ~))ьи = гк (1 — рг г(1 Р ) +со +СО 1,ж Внутренний интеграл равен ри. Поэтому +оо — и~/г сом(Х,У) = ро1ог ~ — е аи = ро1ог. ' 1л- 7.4. Ковариацин и коэффиаиент корреляции случааиык величин 315 Поскольку Рх = с1з, РУ = аз~, то матрица Е представляет собой матрицу ковариаций (в данном случае понятие „ковариационная матрица" мы ввели раньше, нежели выяснили смысл этого понятия). Аналогично в общем случае и-мерного нормального случайного вектора элементы ~7; ковариационной матрицы Е являются ковариациями случайных величин Х; и Х.. ф Основные свойства матрицы ковариаций определяются следующей теоремой.
Теорема 7.4. 1. Матрица ковариаций Е является симметрической. 2. Пусть тп-мерный случайный вектор У = (У1, ..., У ) получен из и-мерного случайного вектора Х = (Х1, ..., Х„) с помощью линейного преобразования В, т.е. У=ХВ+с. Тогда матрица ковариаций Ер случайного вектора У связана с матрицей ковариаций Е о случайного вектора Х соотношением Ер = В'ЕхВ. 3. Матрица ковариаций Е является неотрицательно опредет ленной, т.е. ЬЕЬ > 0 для всех векторов Ь. м Утверждение 1 следует непосредственно из определения матрицы ковариаций. Пусть матрица В линейного преобразования У = ХВ+ с имеет вид В = (Ь; ).
Вычислим ковариациюслучайных величин 316 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН У иУ". о о о сочЯ,Уу) = М(У;У ) = М~Д ХьЬмЯХ~Ь| ) = а о о в = ~~) М(ХьЬмХ~Ь| ) = ~) Ьмсоч(ХЫХ~)ЬИ. й3=1 Записывая последнее равенство в матричной форме, получаем утверждение 2. Для доказательства утверждения 3 рассмотрим скалярную случайную величину У=ХЬ . В случае скалярной случайной величины У ее дисперсия ПУ = = Еу, и позтому в соответствии утверждением 2 теоремы имеем ПУ = ЕУ = ЬЕЬ, откуда в силу неотрицательности дисперсии получаем утвер- ждение 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
