XVI Теория вероятностей (1081428), страница 42
Текст из файла (страница 42)
1п11- а) Яа аа 7 Поскольку медиана М является 1/2-квантилью, то Плотность распределения Релея Го, х< 0; х > О. является дифференцируемой функцией (кроме точки х = 0) причем О , х < 0; 2у(1-2ух~)е '*, х > О. 342 Т. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Значение х = 0 не является модой, так как р(0) = О. Поэтому любая мода удовлетворяет уравнению р'= 2у(1-2ух )е з* =О. Решая это уравнение, имеем /1 При хе достигается как локальный, так и глобальный максимум плотности распределения Релея, а значит, хе является как единственной модой, так и наивероятнейшим значением случайной величины Х. Пример 7.47.
Распределение вероятностей двумерной дис- кретной случайной величины (Х1, Хз) Таблица 7.5 задано табл. 7.5. Найдем зишроиии Х1 скалярных случайных величин Х1 и Хз -2 -1 0 Хз, а также энтропию двумернои слу2 0,1 0,2 0,3 чайной величины (Х11 Хз) Являются 1 02 01 01 лислучайныевеяичиныХ1иХзнеза- висимыми? Случайные величины Х1 и Хз имеют ряды распределения, представленные в табл. 7.6 и 7.7.
Таблица 7.6 Таблица 7.7 В соответствии с определением энтропии дискретной случайной веиичины Н(Х1) = — ~1,рх,11обрх,. = -(0,31о60,3+ +031оя0,3+041о604) =1ояб+0,21о62 — 061о63, Н(Хз) = -~~~ рх„.1обрх„= 1о65-0,41оя2 — 0,61ояЗ. 343 7.6. Ретеиие типовми примеров Энтропия двумерного случайного вектора (Х1, Хг) равна: Н(Х11Х2) ~~~ Р13 1обр13 = — (0,11оя 0,1+ 0,21оя 0,2+ 0,31о60,3+ 0,21о60,2+ + 0,11оя0,1+ 0,11о60,1) = 1оя5+ 0,61ои2 — 0,31ок3. Производя простые арифметические подсчеты, получаем 101в Н(ХмХ2) — Н(Х1) — Н(Хг) = 0,11оя — 2 = 0,11ок0,516 < О. 122 Поскольку энтропия Н(Х1,Х2) меньше суммы энтропий Н(Х1) и Н(Х2), то случайные величины Х1 и Хг являются зависимыми.
Пример 7.48. Двумернзл случайная величина (Х1, Хг) имеет иормаеьное распределение со средними значениями т1 и тг, дисперсиями о1 н пг и коэффициентом корреляции р, т.е. 2 2 1 Рх„х,(ямяг) = 2ип1п2171 — рг < л*- )' ( — >(*.- ) ( — )')) хехр —, 11, +2р + Найдем энтропии случайных величин Х1 и Хг, а также энтропию случайного век1пора (Х1, Хг). В каком случае энтропия случайного вектора (Х1, Хг) совпадает с суммой энтропии случаиных величин Х1 и Х2? Поскол;ьку случайнзл величина Х1 имеет нормальное распределение со средним значением тп1 и дисперсией и21 т.е. РХ1 (х) = 'р~п,е1(х) = е -(е-оц)е/(ге~2) 1/2ип1 345 Воиросы и задачи Здесь первый интеграл равен единице, второй и четвертый— дисперсиям случайных величин Х1 и Хз соответственно, а третий — ковариации Х~ и Хз. Таким образом, Н(Х~,Хз) = 1о5 (2яо1озф — рз) + 1о5 е рз 1ойе 1ойе —, +,, =15(2яео,о,Я-рз). Нетрудно видеть, что энтропия Н(Х1,Хз) равна сумме энтропий Н(Х1) и Н(Хз) тогда и только тогда, когда р = О.
Значит, из условия некоррелированности случайных величин Х1 и Хз вытекает их независимость. Этот результат нам уже известен из 5.5. Вопросы и задачи 7.1. Что называют математическим ожиданием дискретной случайной величины? В каком случае существует математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей счетное число значений? Т.2.
Что называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины? В каком случае существует матема. тическое ожидание непрерывной случайной величины? 7.3. Как можно вычислить математическое ожидание функции от скалярной случайной величины? Т.4. Как можно вычислить математическое ожидание функции от многомерного случайного вектора? 7.5. Перечислите свойства математического ожидания случайной величины. 7.6.
В каком случае математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых? 346 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 7.7. В каком случае математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей? Является ли независимость случайных величин необходимым условием для того, чтобы математическое ожидание произведения случайных величин равнялось произведению математических ожиданий? Т.8. Что называют вектором средних значений (вектором математических ожиданий) случайного вектора? Как юменяется вектор средних значений при линейном преобразовании случайного вектора? 7.9. Что называют вторым (начальным) моментом случайной величины? 7.10.
Что называют дисперсией случайной величины? Т.11. Что называют средним квадратичным отклонением случайной величины? 7.12. Перечислите свойства дисперсии случайной величины. 7.13. В каком случае дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых? 7.14. Что называют начальным моментом й-го порядка случайной величины? 7.15. Что называют центральным моментом я-го порядка случайной величины? 7.16. Что называют ковариацией случайных величин? 7.17.
Перечислите свойства ковариации случайных величин? 7.18. Как называют случайные величины, ковариация которых равна нулю? 7.19. Напишите формулу для дисперсии суммы проювольных случайных величин. 347 Волросьг и задачи 7.20. Что называют ковариационной матрицей случайного вектора? Перечислите свойства ковариационной матрицы. 7.21. Приведите достаточное условие, при котором случайные величины являются некоррелированными.
Можно ли сказать, что если случайные величины являются некоррелированными, то они также являются независимыми? Т.22. Что называют коэффициентом корреляции случайных величин? Т.23. Перечислите свойства коэффициента корреляции случайных величин. Т.24. В каких пределах может изменяться коэффициент корреляции случайных величин? 7,25. Приведите условие, необходимое и достаточное для равенства коэффициента корреляции случайных величин ж1. 7.26. Что называют матрицей корреляций случайного вектора? 7.27. Что называют асимметрией случайной величины? 7.28.
Что называют эксцессом случайной величины? 7.29. Что называют а-квантилью случайной величины? Т.ЗО. Что называют модой дискретной случайной величины? Какую дискретную случайную величину называют унимодальной? бимодальной? мультимодзльной? 7.31. Что называют наивероятнейшим значением дискретной случайной величины? 7.32. Что называют модой непрерывной случайной величины? Какую непрерывную случайную величину называют унимодальной? бимодальной? мультимодальной? 7.33. Что называют наивероятнейшим значением непрерывной случайной величины? 348 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 7.34.
Что называют энтропией дискретной скалярной случайной величины? 7.35. Что называют энтропией дискретной двумерной случайной величины? В каком случае энтропия дискретной двумерной случайной величины равна сумме энтропий координат? Т.36. Что называют энтропией непрерывной случайной величины? 7.37. Что называют энтропией непрерывной двумерной случайной величины? В каком случае энтропия непрерывной двумерной случайной величины равна сумме энтропий координат? 7.38. Найдите математическое ожиТаблица 7.3 дание, дисперсию и среднее квадратич- Х 1 2 3 нос отклонение дискретной случайной Р 0,30 0,21 0,49 величины Х, ряд распределения кото- рой представлен в табл. 7.8.
Ответ: МХ =2,19, ьуХ = 5,55, и~ 2,35. 7.39. Вероятность того, что при трех выстрелах стрелок попадет в цель хотя бы один раз, равна 0,992. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа Х попаданий при двадцати выстрелах. Ответ: МХ =16, >ЭХ = 3,2. 7.40. Время Х безотказной работы станка имеет экспоненциальное распределение. Известно, что вероятность отказа 'станка за 5 ч равна 0,39347. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение времени безотказной работы станка. О т в е т: МХ = 10 ч, 1ЭХ = 100 чэ, и = 10 ч.
Т.41. Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, асимметрию, эксцесс, а-квантиль, медиану, моды и наивероятнейшее значение случайной величины Х, имеющей плотность распределения р(я) = е ~* 4?э. Ответ: МХ=3, ОХ=2, п=~Г2, у~ =О,'у2=3, 9„=3+1п(2а), если и ( 1у'2 и ф, = 3 — 1п(2(1 — и)), если а) 1/2, М = 3. Вопроси и задачи Случайная величина имеет единственную моду и наивероятнейшее значение хе = 3.
7.42. Непрерывная случайная величина Х имеет плотность распределения О, х ф (а, Ь); ь - ь- ,!х - 2 ~, х ~ (а Ь), причемаиЬнеизвестны, ноЬ) а, аМХ =5и13Х=6. Найдите а и Ь. Ответ: а= -1, 5=11. 7.43. Каждый вз 25 студентов группы выучил 80% экзаменационных билетов. Найдите среднее число студентов, сдавших экзамен. Ответ: 20. 7.44. Независимые случайные величины Х1 и Хч. имеют зкспоненциальное распределение с параметрами Л1 и Лз соответственно.
Найдите математическое ожидание случайной величины У = Х1Хз. Ответ: МУ = 1/(Л1Лз). 7.45. Дискретная случайнал величина Х имеет ряд распределения, представленный в табл. 7.9. Таблица 7.9 Наидите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х 1 2 3 4 У = Х~+1. Р 0,1 0,4 0,3 0,2 О т в е т: МУ = 2,6, ПУ = 0,84.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
