XVI Теория вероятностей (1081428), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Докажем теперь теорему о свойствах математического ожидания. Теорема 7.1. Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам. 1. Если случайная величина Х принимает всего одно значение С с вероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайной величиной), то МС = С. 2. М(аХ+Ь) =аМХ+Ь, где а, Ь вЂ” постоянные.
3. М(Х1+Хз) = МХ~+МХз. 4. М(Х1Хз) = МХ1 МХз для независимых случайных величин Х1 и Хз. ч Если случайная величина Х принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то МС=С 1=С, откуда следует утверждение 1. Доказательство свойств 2 и 4 проведем для непрерывных случайных величин (для дискретных случайных величин пред- 298 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН лагаем читателю провести самостоятел ), ьно) а свойство 3 дока- жем для дискретных случайных величин (для непрерывных— доказать самостоятельно). Найдем математическое ожидание случайной вели ичины У = = аХ + Ь (У(х) = ах + Ь): +оо МУ = М(аХ+ 6) = (ах+ 6)рх(х)оЬ = +оо +оо =а хрх(х)ах+6 рх(х)дх=аМХ+Ь 1, оо — оо т.е.
приходим к утверждению 2. Пусть теперь У =Х1+Хз (У(хмхз) =х1+хо). Тогда МУ =М(Х1 +Хо) = ~~> (х;+у )р; = 17 = ~~х;р; +~ уур; =~~> х;~ рИ+Яру~) р; = в,у в,у 1 3 1 =Ях1рх,*+~~ 91рх,,у=МХ1+МХз, и, значит, утверждение 3 доказано. (воспользовавшись формулой 7.5 и теоремой 5.3) имеем: +оо+оо МУ = М(Х1Хз) = х1хзрх„х,(хмхз) йх1йхз = +оо+оо х1хзрх, (х1)рх,(хз) Их1~1хг = +оо +оо х1рх, (х1) Их1 хгрх,(хз) Ихз = МХ1МХз. 7.2. Математическое ожидавяе фувкянн от случайной вевячвям 299 Замечание Т.2. В соответствии с ранее принятым соглашением в теореме 7.1 предполагается, что математические ожидания случайных величин Х, Хг и Хг существуют.
Однако математическое ожидание суммы случайных величин может существовать даже тогда, когда математические ожидания обоих слагаемых не существуют. Так, М(Х вЂ” Х) =МО = О несмотря на то, что МХ может и не существовать. Очевидно также, что свойство 3 можно обобщить на случай произвольного числа слагаемых, т.е. М(Х +... +Х„) = МХ„+... +МХ„. Замечание Т.З. Свойство 4 также допускает обобщение на произведение конечного числа независнсмых (в совокупности) случайных величин: М(Х~ Хг...Х„) =МХ, МХ,...МХ„.
Пример 7.12. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по стандартному нормальному закону, имеет вид МХ= х~р(х)дх= ( х — е <Ь=О. Г 1 -*'!г ( ~/2к В примере 6.7 было показано, что случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами т и о. Таким образом, согласно свойству 2 математического ожидания, МУ =оМХ+т=ш, 300 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН и, следовательно, параметр тп нормального распределения является математическим ожиданием. Этот результат был получен непосредственным вычислением в примере 7.7. Пример 7.13.
Представим число успехов Х в н испытаниях по схеме Бернулли в виде Х =Х +... +Х„, где Х; — число успехов в 1-м испытании. Нетрудно видеть, что МХ;=0 д+1 р=р. Значит, в силу свойства 3 МХ = МХ1 +... + МХ„= пр, что совпадает с результатами примера 7.2, но получено с минимальными вычислениями. Перейдем теперь к многомерному случаю и рассмотрим нмерный случайный вектор Х = (Х1, ..., Х„). Определение 7.3. Вектор т = (МХ1, ..., МХ„) называют вектором матпемапьических охсиданий (средних эначений) случайного вектора Х. Из замечания 7.2 и свойства 2 математического ожидания следует, что если случайный вектор у связан со случайным вектором Х линейной эависисмостью У =ХВ+с, то йьо = иВ+с (покажите это самостоятельно). В частном случае нормально распределенного вектора Х этот результат был получен в 6.6. 7.3.
Дисверсив. Моменты высших порядков Т.З. Дисперсия. Моменты высших порядков Две случайкые величины могут иметь одинаковые средние зкаченил, но их возможные значения будут по-разному рассеиваться вокруг этого среднего. Например, средний балл на экзамене в двух группах равен „4", но в первой группе почти все студенты получили в4", а во второй группе вчетверочников" нет вообще, но есть как епятерочники", так и „троечники".
Поэтому, наряду со средним значением, хотелось бы иметь и число, характеризующее „разброс" случайной величины относительно своего среднего значения. Такой характеристикой обычно служит дисперсия. Кроме дисперсии можно предложить и другие меры разброса, например цектпралькые момектпы любого четного порядка, которые также будут определены в этом параграфе.
Однако именно использование дисперсии и других характеристик второго порядка (новариаций) позволяет применить в теории вероятностей сильно развитый аппарат гиаьбертповых простпранстпв (1Х]. Особо важную роль этот аппарат играет в теории так называемых стпационаркых в широком смысле случайных процессов, которые, в свою очередь, являются основной математической моделью в ряде практических приложений [ХУП1]. Определение Т.4. Втпорьтм начальным моментом (обычно опускают слово еначаяьный") тпг случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата Х (У(х) = х ): т,=МХ =~~х,р; 2 ч ~ 2 для диснретпкой случайной величины Х и тпг=МХ = х р(х)Ых для непрерывкой. 302 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Определение 7.5.
Диснерсией Пх случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее среднего значения, т.е. вх = м(х — мх)~. Используя формулы (7.1) — (7.4), в которых положено 1'(х) = (*- МХ)', ОХ=~~1 (х;-МХ) р; (7.6) (х — МХ) р(х)с1 . (7.7) Замечание 7.4. Иэ определения непосредственно следует, что дисперсия любой случайной величины является неотрицательным числом.
Дисперсия Пх представляет собой второй момент ценпирированной (имеющей нулевое математическое ожидание) случайной величины Х=Х-МХ. Поэтому иногда дисперсию называют вьпорым центпральным моментном случайной величины. Дисперсия имеет аналог в теоретической механике — центральный (относительно центра масс) момент инерции массы, распределенной на оси с линейной плотностью р(х). Выведем некоторые свойства дисперсии. легко написать расчетные формулы для дисперсий дискретной и непрерывной случайных величин соответственно: 3О3 7.3.
Диаирсяя. Момевты вьвгпия порядков Теорема 7.2. Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам. 1. Если случайная величина Х принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то РС = О. 2. П(ах+6) =а~ОХ. 3. ох =мх — (мх) . 4. ЩХ+ У) = ьгх+ ПУ для независимых случайных величин Х и У. м Если случайная величина Х с вероятностью единица принимает всего одно значение С, то в силу свойства 1 математического ожидания (МХ = С) получаем ОХ =М(Х вЂ” С)г =(С вЂ” С)г 1, откуда вытекает утверждение 1. Определим дисперсию случайной величины У = аХ+Ь.
Используя свойство 2 математического ожидания, имеем 0У=М(У вЂ” МУ) =М(аХ+Ь вЂ” М(аХ+Ь)) =М(аХ+Ь-аМХ-Ь) =М(а(Х вЂ” МХ)) = М(аг(Х вЂ” МХ)г) = агм(Х вЂ” МХ)г. Поэтому справедливо утверждение 2. Далее, согласно свойствам 2 и 3 математического ожидания, получаем эх = м(х -мх)' = м(х'-2хмх+ (мх)') = Мхг 2(МХ)г+ (МХ)г Мхг (МХ)г т.е. приходим к утверждению 3. 304 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Наконец, пусть Х и У вЂ” независимые случайные величины.
Тогда, используя независимость случайных величин (см. лемму 1) и У=У вЂ” МУ, Х =Х вЂ” МХ а также свойства 2-4 математического ожидания, получаем в(х+у) =м(х+у-м(х+у))'= = м((х - мх)+ (у - му))' = м(х -мх)'+ +2м((х-мх)(у-му))+м(у-му)' = = 13Х+ 2(МХ М1') + ОУ = 1УХ+ ПУ, о о поскольку МХ = О и МУ = О. Значит, имеет место утверждение 4.
~ Замечание 7.5. Можно показать, что справедливо и свойство, обратное свойству 1, а следовательно, имеет место утверждение: дисперсия случайной величины Х равна нулю тогда и только тогда, когда Х с вероятностью 1 принимает всего одно значение. Замечание 7.6. Свойство 3 дает весьма удобную формулу для расчета дисперсии случайной величины с помощью ЭВМ или микрокалькулятора. Действительно, если вычислять дисперсию по первоначальной формуле (7.6), то необходимо два раза суммировать по й первый раз при подсчете математического ожидания и второй — дисперсии. Свойство 3 позволяет обходиться одним циклом: можно одновременно суммировать с коэффициентами р; и сами значения случайной величины, и их квадраты. Замечание 7.7.
Очевидно, что свойство 4 справедливо для суммы не только двух, но и любого числа и попарно независимых случайных величин в(х, +... + х„) = вх, +... + эх„. 305 7.3. Дисперсии. Момеиты выапих иооидиов Замечание 7.8. В 7.4 будет приведена формула для дисперсии суммы любых (а не только независимых) слагаемых.
41 Нетрудно видеть, что дисперсия ПХ имеет размерность квадрата размерности случайной величины Х. Для практических же целей удобно иметь величину, характеризуюшую разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, размерность которой совпадает с размерностью Х. В качестве такой величины естественно использовать и = ~/ЬХ, которую называют средкпм кводрапэпчкым опэклокенпем случайной величины Х (иногда также стандартом, или стандартным отклонением). Пример 7.14.
Найдем дисперсию случайной величины Х, распределенной по закону Пуассока. Для этого воспользуемся свойством 3 дисперсии. Математическое ожидание МХ = Л было найдено в примере 7.3. Определим второй момент: Л' 1 е (1 — 1)! Л1 „,Л1 „Л = Л~~) (у+1) —., е А = Л ~у —., е "+ ~~) —., е " у=о ~' 1=о У' 1=о У' = Л(МХ+1) = Л~+ Л. Таким образом, ПХ = Лэ+ Л вЂ” Л~ = Л, и, значит, дисперсия Х, так же как и математическое ожида- ние, совпадает с параметром Л. Пример 7.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
