XVI Теория вероятностей (1081428), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Независимые случайные величины Х1 и Х2 имеют нормальное распределение со средними значениями гп1 и шэ и дисперсиями сг1~ и п2~ соответственно. Найдем математическое ожидание случайной величины У = Х1Хэ. Поскольку случайные величины Х1 и Хэ являются независимыми, то в соответствии со свойством математического ожидания МУ = МХ~МХг = гп1тэ. и МУ(Х) = ~ У(я;)р;, и МУ~(Х) = ~) У~(э;)р;, Пример 7.36. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения, представленный Таблица 7 3 в т,б,. 7.2. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = 1пХ. Поскольку математическое ожидание МУ(Х) и второй момент МУ~(Х) функции У(Х) от дискретной случайной величины Х можно вычислить по фор- мулам 7.б.
Реимеие тииоеых примеров то МУ=1п1 0,2+1пе 0,1+)пе 0,5+1пе 0,2=1,7, МУ2 =1п21 0,2+1п2е 0,1+1п2е2 0,5+1п2е~ 0,2=3,9. Значит, МУ = 1,7 и ПУ = МУ2 — (МУ) = 3,9 — (1,7) = 1,01. Пример 7.37. Случайнан величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром Л = 3. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = е~. Нескольку математическое ожидание МУ(Х) и второй момент МУ~(Х) функции У(Х) от непрерывной случайной величины Х можно вычислить, испольэуя формулы МУ(Х) = У(х)р(х) Их, МУ2(Х) = У2(х)р(х) Их, 3 МУ = е*Зе *ах = —, 2' о МУ = е~*Зе ~*ах=3. о Значит, МУ=-, Ш =3-д =-.
2' ~,2) 4 У = 1о32(Х1/Х2). Пример 7.38. Закон распределения вероятностей деумерной дискретной случайной величины (Хы Хг) представлен в Таблица 7.8 табл. 7.3. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины 334 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В соответствии с формулой для вычисления математического ожидания функции от двумерной дискретной случайной величины МУ = 1оиг — ' О!1+1ойг — О!4+1оЕ2- 0,2+ 21 ! 1 ! +1ойг — ' 02+1ойг- О+1ойг- 0,1=0,2, 0,5 1 2 22' ! 2 МУ2 = (1оЕ2 — ') 0,1+ (1оЕ2 -) 0,4+ (1ойг -) 0,2+ + (1окг — ') 0,2+ (1ойг -) О+ (1окг -) 0,1 = 1>2 О 2)г Пример Т.39. Соемесп1ная плотноспгь распределения двумерной непрерывной случайной величины 1Х1,Х2) имеет вид О, х21+х2 2) 1; Р(*' х') 3~Я +хг х21 + хг < 1. 2я Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = Х1Х2.
Используя формулу для вычисления математического ожидания функции от двумерной непрерывной случайной величины, получаем МУ = — х1х2 Ч х1+ хг дх1 ахг = г г Д 2я е~+е~ ~(1 1 /1-ег! = — / х1ах1 у хгух1+хгахг =О, 2 2 2я,1 -1/Г-жг! 335 7.б. Ршпевие типовых примеров ПУххМУ~-(МУ)~= д — х,х21гх1+х241х1гГх2хх 2 ГГ 3 2 2 I 2 2 Д 2я хег+ххх(1 21г 1 — соэ гро1п грг1гр р рррр= 2з / О О 2гг 3 — (1 — соо(4гр)) 1ггр = — 0,05.
112з о Пример 7.40. Плотность распределения непрерывнои случайной величины Х имеет вид ( О, х 1е (О, 1); 1 2х, хб(Ог1). Найдем начальные и кентпральные момек1кы первого, второго, третьего и четвертого порядков, а также асимметрию и эксцесс случайной величины Х. В соответствии с формулой ткь =МХ" = х р(х)дх вычислим начальные моменты: к21 = / х2х Их = —, о 1 2 ткз = у х 2хгйе = —, 5 о тк2 = / х 2хеЬ = —, 2 2 о тк4 = / х 2хгьх = —. 4 3' о 336 7.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для нахождения центральных моментов выведем формулы, выражающие центральные моменты через начальные: т1=М(Х-МХ) =МХ-МХ=О, тг=М(Х вЂ” МХ)г =тг-(т1)г = ОХ, тз=М(Х вЂ” МХ) =М(Х ЗХ МХ+ +ЗХ(МХ)г (МХ)з) тз -Зтгт1+2тз1 т4=М(Х вЂ” МХ)4 =М(Х4-4ХзМХ+6Хг(МХ)г— -4Х(МХ) +(МХ) ) =т4 — 4тгт1+бтгт~1 — Зт41. о т1 — — О, тг — — РХ = — — 3 г 5 — — 4 1 3 о тЗ о т4 Наконец, в соответствии с определениями асимметрии 3 о 71 = тз/а~ и эксцесса 72 = т4/п4 — 3 3 72 = --. 5 71= т 5 Пример 7.41.
Распределение вероятностей двумерной случайной величины (Х1, Хг) задано 2 абеица 74 табл. 7.4. Найдем математические ожидания, дисперсии, коеариацию, коэффициент корреляции, а также коеариационную и корреляционную матрицы случайных величин Х1 и Хг. Подставляя в зти формулы найденные значения начальных моментов, получаем ЗЗ7 Т.б. Решевие типовых примеров Вычислим математические ожидания и дисперсии случайных величин Хг и Х2'. МХ1 =(-1) (0,10+0,15)+О (0,15+0,25)+1 (0,20+0,15) =0,10, МХ2 =0 (0,10+0,15+0,20)+1 (0,15+0,25+0,15) =0,55, ПХд = МХд2 — (МХд)2 = (-1)2 (0,10+ 0,15) + +О' (0,15+0,25)+1' (0,20+0,15)-(0,10)'=0,50, ПХ2 = МХ~г — (МХя) = 0 (0,10+ 0,15+ 0,20) + + 12 (0,15+ 0,25+ 0,15) — (0,55) = 0,2475.
Для определения созе(Х1,Хв) воспольэуемся формулой сои(Хг, Хе) = М(Х1 Х2) — МХг МХв. Тогда М(ХдХ2) =( — 1) 0 0,10+( — 1) 1 0,15+0 0.0,15+ +О 1 0,25+1 0 0,20+1 1 0,15) = О, сои(Хд,Х2) =0-0,10 0,55=-0,055 сот(Хд, Хг) 0,055 р — ' — — ' -0,144.
Ковариационная и корреляционная матрицы имеют вид -0,055 0,2475 ' -0,144 1 Пример 7.42. Совместная плотность распределения дву мерной случайной величины (Хг, Х2) имеет вид О , хгф(О,я/2) или х2ф(О,я/2); вш(х1+х~)/2, х1Е(О,я/2) и х2Е(О,гг/2). 338 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Найдем математические ожидания, дисперсии, ковариацию, козффициент корреляции, а также ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин Х1 и Хг.
Имеем гг/2 гг/г гг/2 МХ1 — Х1Г Х1 ВиЪ(Х1+Хг)Г/Хг ~ Х (81ПХ г+СОВХ г) Г Х1 — 4 1 Г 2 О О О гг/2 гг/2 МХ2 = — Г хгдхг Г вш(х1+хг)ИХ1= —, 1 Г 2 / о о вх =мх, — (мх ) гг/2 гг/2 1 Г, Г в в~+От-32 Х1ггх1 ИП(Х1 + Х2) г/Хг 18 18 г -2/ О О Пхг = МХ22 — (МХ2) гг/2 гг/2 1Гг в в~+ вв — 32 Хгйхг В1П(Х1 + Хг) Ггх1 — 18— — ! о о Далее, гг/2 гг/2 М(Х1Х2) = — Х1 Ггх1 Х281П(Х1 + Х2) Ггхг = 2 г о о гг/2 /х1(вшх1+совх1вгпх1)(Ы14 Г 2 Г 2 О гг ггг гг(4 — гг) соч(Х1гХг) = М(Х1Хг) — МХ1МХ2 = — — —— соч(Х1,Х2) гг(4- я) г/Б~~бхг ггг+ 8гг — 32 339 7.6.
Регпеиие типовых прившРов Наконец, ковариационная и корреляционная матрицы имеют вид Пример г.43. Совместная плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины (Х1, Хг) имеет вид 2 Р(х1 хг) = и( г+ .г+ цз' Проверим, являются ли случайные величины Х1 иХг неноррелированнывги. Найдем МХ1.' +оо+оо +оо +оо 2х1 г(хгг(хг |' |' х1 г(х1 1 „( ( г+ г+цз / хг / .( г+ .г+цз' Здесь внутренний интеграл равен нулю, поскольку подынтегральная функция нечетная, а пределы интегрирования симметричны относительно начала координат. Поэтому МХ1 = О.
Аналогично получаем, что МХг = О. Вычислим теперь ковариацию Х1 и Хг. созг(Х1,Хг) = М(Х1Хг) — МХ1МХг = +оо+оо +оо +оо 2хгхгг(х1г(хг |' 2 / хгг(хг — ( 2х1Их1 — оо -оо оо -оо Поскольку созг(Х1,Хг) = О, случайные величины Х1 и Хг являются некоррелированными. с е~+ 8х - 32 16 т(4 — и) 16 с 1 гг(4 — в) то+ зв — 32 х(4 — и) 16 ив+ згг — 32 16 т(4 — т) то+ 8х — 32 1 340 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 7.44. Случайные величины Хг и Хг имеют мате. матические ожидания МХг = 2, МХг = -1, дисперсии ПХ~ = 3, ПХг = 4 и ковариацию сонг(Х~, Хг) = -1. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины У = 2Хг — ЗХг — 5.
В соответствии со свойствами 2 и 3 математического ожи- М1' = 2МХг + (-З)МХг — 5 = 2, а, согласно свойствам 2 и 5 дисперсии, ПУ = 2~РХ~ + 2 ° 2 ° (-3)сот(Хг, Хг) + (-3)~юг = 60. Пример 7.45. Трехмерный случайный вектор Х имеет вектор средних значений то = ( — 1, О, 2) и матрицу ковариаций ЕХ= 1 3 2 Найдем вектор средних значений и матрицу ковариаций слу- чайного вектора 1' = ХВ+ с, где 4 — 3 В= 1 5, с=(1, 13). 2 -7 Используя правило изменения вектора средних значений при линейном преобразовании случайного вектора, получаем 4 — 3 тр =тоВ+с= (-1, О, 2) 1 5 +(1, 13) =(1, 2).
2 -7 341 7.6. Ретеиие типопьпс примеров Аналогично в силу утверждения 2 теоремы 7.4 имеем ЯР = В'К,7В = -3 5 -7 — 8 77 Пример 7.46. Для случайной величины Х, имеющей распределение Релел с параметром 71, найдем а-квантиль, медиану, моды и ваиверояоькейшее значение. Функция распределения Релея имеет вид / О, х< 0; ~ 1 — е 7*, х>0. Поэтому а-квантиль ф„определяется нэ уравнения 79а — о з 1 т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
