XVI Теория вероятностей (1081428), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Т.в. Другие числовые характеристики случвйвыв величин 323 1/2-квантиль называют также лведканой М случайной вели- чины Х. Для непрерывкой случайной величины Х а-квантиль ф„ является решением уравнения Р(Я ) =а, где Р(х) — функция распределения случайной величины Х. Таким образом, для непрерывной случайной величины Х кван- тиль Яа — это такое число, меньше которого Х принимает значение с вероятностью сс. Если известна плотность распределския р(х) случайной величины Х, то, учитывал связь между функцией распределения и плотностью распределения, уравнение для определения аквантили можно записать в виде р(х)ах = св.
Пример 7.25. Найдем св-квантиль и медиану экспоненциального распределения. В этом случае ~„представляет собой решение уравнения (рис. 7.1) ] е-М1в р Поэтому 1п(1 — а) 'ча = Л Ясно, что медиана экспоненциального распределения 1п2 М= —. Л Если трактовать экспоненциальное распределение как распределение времени распада атома (см.
4.6), то медиана будет соответствовать периоду полураспада. 324 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Рис. 7.1 Пример 7.26. Пусть случайная величина Х представляет собой число успехов в одном испытании по схеме Бернулли с вероятностью успеха р. Тогда, как видно на рис. 7.2, Яа = О при О < а < д, Я =1 при о<а<1, а д-квантиль может быть любым числом от О до 1 включительно. Этот пример показыРис. 7.2 вает, что, во-первых, квантили могут совпадать для разных а, а, во-вторых, для некоторых а квантили могут определяться неоднозначно. Определение 7.16. Модой непрерывной случайной величины называют точку максимума (локального) плотности распределения р(х).
Различают унимодальные (имеющие одну моду), бимодальные 1имеющие две моды) и мультпимодальные (имеющие несколько мод) распределения. Для определения моды дискретной случайной величины предположим сначала, что ее значения х~,...,х„расположены в порядке возрастания. т.о. Другие числовые хараитеристиии сеучайиых вевичии 325 Определение Т.17. Модой диснретпной случайной величины называют такое значение х;, при котором для вероятностей выполняются неравенства р, 1<р; и р+1<рь В случае дискретных случайных величин распределения также могут быть унимодальными, бимодзльными и мультимодальными. Наиверолтпнейчиила значениеле называют моду, при которой достигается глобальный максимум вероятности (дискретной случайной величины) или плотности распределения (непрерывной случайной величины).
Если распределение унимодальное, то мода также будет наивероятнейшим значением. Мода и наивероятнейшее значение введены, скорее, для наглядности, чем для практических целей. Пример Т.27. Плотпность нормального распределения имеет единственный максимум в точке тп (см. б.б). Поэтому мода нормального закона совпадает с математическим ожиданием. Она же является наивероятнейшим значением и медианой. Пример 7.2В.
Найдем моду биколеивлького распределения. Для этого заметим, что С,'р'й" ' (т+ 1)д Р„(ч') Р.('+1) С1"р*'+ 7 -('+ ) ( - ')р' Отсюда нетрудно вывести, что отношение Р„(1)/Р„(т+ 1) меньше единицы при т' < пр — д и больше единицы при т' ) пр — 7. Таким образом, если пр — д не является целым числом, то минимальное ч, для которого т ) пр — 7, является модой и наивероятнейшим значением. Если же пр — о — целое число, то 326 7.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН биномиальный закон имеет две моды и два наивероятнейших значения: пр-д и пр-у+1. 7Р Последнюю числовую характеристику, которую мы здесь рассмотрим, называют энтропией. Эта характеристика играет одну из основных ролей в теории информации'. Мы ограничимся здесь лишь определением энтропии и перечислением ее основных свойств.
Определение 'Т.18. Энпаропией Н = Н(Х) дискретной случайной величины Х называют число, равное а Н = Н(Х) = — ,') р;1ойрс (здесь и далее в определениях энтропии принято соглашение О ° 1о80 = О, а 1ойр; обычно означает 1ойгр;). Отметим, что энтропия не зависит от значений я; случайной величины Х, а определяется только вероятностями р;, с которыми эти значения принимаются. Энтропия является мерой неопределенности случайной величины. Максимальное значение Н~ = 1ойп энтропия дискретной случайной величины достигает тогда, когда все и возможных значений случайная величина принимает с одной и той же вероятностью р; = 1/и, минимальное Н еа = Π— когда случайная величина принимает единственное значение с вероятностью 1.
Определение 7.19. Энтпропией Н(Х,У) двумерной диснретпной случойной величины (Х,У) называют число, равное Н(Х,У) = — ~ р;.1ойрй. См., кацркмер: Куаьбак С. Теорие информации к статксткка. Мс Наука, 19б7. 407 с. Т.Ь. Другие числовые характеристики случайиых яеличии 327 Поскольку для независимых случайных величин Х и У рй = рх;р~; и 1одрй = 1ойрх; + 1ойру, то Н(Х, У) = — Я рх;ру. (1онрх; + 1ояру,.) = Рх;1ойрх, ~~ ру. — ~ И;-1ойр~;~ Рх; = 1 у 3 е = — ~~~ рх,1ойрх; — ~,ру узйру. =Н(Х)+Н(У), т.е.
энтропия случайной величины (Х,У), если Х и У вЂ” независимые случайные величины, представляет собой сумму энтропий. Показано', что в случае зависимости Х и У энтропия Н(Х, У) всегда меньше суммы Н(Х) + Н(У). Энтропия в некотором смысле представляет собой мивз~- мальный объем памяти, необходимый для записи информации, содержащейся в случайной величине. Поскольку информация записывается обычно в двоичной системе, то основанием логарифма берется число 2. Определение 7.20. Энтпропией Н = Н(Х) непрерывной случайной величины Х и энтпропией Н(Х,У) двумерной случайной величины (Х,У) называют числа, равные соответственно Н = Н(Х) = — рх(х)1ойрх(х)дх, Н(Х,У) = — рх у(х,у)1оярх у(х,у)дхйу.
'Сил Вентчель Е.С. 'Хеория еероятиостей: Учеб. Мл Наука, 1969. 594 с. 328 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для непрерывных, так же как и для дискретных, случайных величин Х и У энтропия Н(Х, 1") двумерной случайной величины совпадает с суммой Н(Х) + Н(У) энтропий координат тогда и только тогда, когда Х и 1' являются независимыми случайными величинами; иначе Н(Х, У) ( Н(Х) + Н(У) (см. учебник Е.С. Вентцель). Отметим также, что при заданной дисперсии оз максимальную энтропию 1о8ч'2кеоз имеет нормально распределеннал случайная величина. 7.6. Решение типовых примеров Пример 7.29.
Найдем математическое ожидание, диспе- рсию и среднее квадратичное Таблица 7.1 отклонение дискретной слу- Х 0 1 2 3 чайной величины Х, рлд раср О 41 О 43 0 11 О 05 иределенил которой предста- влен в табл. 7.1. В соответствии с определением математического ожидания дискретной случайной величины Х МХ=~~ ху;=0 0,41+1 0,43+2 0,11+3 0,05=0,8. Дисперсию находим по формуле ПХ = МХз — (МХ)з.
Математическое ожидание квадрата Х равно МХ~=~ х~р;=Оз 0,41+1~ 0,43+2~ 0,11+3~.0,05=1,32. Поэтому ПХ = 1,32 — 0,8~ = 0,68. Наконец, среднее квадратичное отклонение сг = ЛЭХ = ~/0,68 0,82. Пример 7.30. Вероятность того, что в течение часа на станцию скорой помощи не поступит ни одного вызова, 329 Ч.б. Рвшвяяв тюивых пршггеров равна 0,00248. Считая, что число вызовов Х, поступающих в течение часа на станцию, имеет распределение Пуассона, найдем математическое ожидание и дисперсию Х. Поскольку случаг1ная величина Х имеет распределение Пуассона, то Р(Х=О)=е ~, где Л вЂ” параметр распределения Пуассона. В свою очередь, из условия задачи следует, что Р(Х =О) =е а =0,00248. Решая последнее уравнение относительно Л с помощью табл.
П.1, получаем Л = 6. Так как параметр Л является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х (см. примеры 7.3 и 7.14), то МХ = 6 и 13Х = 6. Пример 7.31. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение непрерывног1 случабног1 величины Х, плогпносгпь распределения которой имеет вид ) О, ф)я/2; ) сов х/2, )х~ < я/2. В соответствии с определением математического ожидания непрерывной случайной величины Х МХ = хр(х) Их = г' -хсовхдх = О.
2 -гг/2 Вычислим теперь дисперсию Х: 13Х = (х — МХ) р(х)дх = -хзсовхдх = — — 2 ж 0,468 2 4 Наконец, сг = 45Х = ~/5БВ- 0,684. 330 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 'Т.32. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, имеющей лознормальное распределение (см. задачу 6.23), т.е. случайной величины с плотностью распределения О, х< 0; -(-3 )'- Мл-а з е х > О. х)3~(2~г р(х) = Найдем математическое ожидание Х: мх=) — ' р(-"'* )и .
о МХ = — е" ехр(- ", ) Иу = Делая теперь замену $ = (р — а — ф)/~3, получаем МХ= 1 Е +Д'lз Е ' lзй=со+Д1. ~2л Аналогично находим математическое ожидание Х: 2. Для вычисления интеграла в последней формуле сделаем замену х=е". Тогда 331 7.б. Ршпеиие типовых примеров Тогда МХ2 р~Х)2 2а+2б~ 2а+д~ 2а+б~( 9~ ц Наконец, = /ох=~/е Й'~ Ф ц ев,/~' Пример 7.33. Случайная величина Х распределена по равномерному закону на отрезке [о, 6], причем а и Ь не известны, а МХ = 4 и ОХ = 3. Найдем а и 6. Для равномерно распределенной случайной величины МХ= —, РХ= о+ 6 16- о) 2 ' 12 (см. примеры 7.6 и 7.16).
Поэтому а+ Ь (Ь вЂ” а) — =4, = 3. 2 ' 12 Решая полученную систему и учитывая, что Ь > а, находим: а=1, Ь=7. Пример 7.34. Иэ хорошо перетасованной колоды карт слева направо последовательно выкладывают карты лицевой стороной наверх. На карты первой колоды таким же образом кладут карты второй колоды. Найдем среднее число совпаде. ний верхней и нижней карт.
Пусть число карт в каждой колоде равно п. Число совпадений Х можно записать в виде Х=Х,+...+Х„, где Х; = 1, если 1-я пара карт совпала, и Х; = 0 в противном случае. Воспользовавшись свойством математического ожидания, получаем МХ = МХ, +... + МХ„. 332 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Далее, вероятность совпадения верхней и нижней карт в ка- ждой паре в соответствии с принципом классической вероят- ности равна 1/и. Паьтому 1 и — 1 1 МХ; =1 — +О ° — =-. и и и Окончательно имеем 1 МХ=п — =1. и Интересно отметить, что ответ не зависит от числа и карт в колодах. Пример 7,35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
