XVI Теория вероятностей (1081428), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Однако при решении многих задач нет необходимости указывать закон распределения случайной величины, а достаточно характеризовать ее лишь некоторыми (неслучайными) числами. Такие числа (в теории вероятностей их называют числовыми характеристиками случайной величины) будут рассмотрены в настоящей главе. Отметим, что основную роль на практике играют математическое ожидание, задающее „центральное" значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая „разброс" значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
В математической статистике [ХЧ??] для построения доверительных интервалов и проверки статистических гипотез широко используются квактили. 7.1. Математическое ожидание случайной величины Как уже отмечалось выше, наиболее употребляемой на практике числовой характеристикой является математическое ожидание, или, по-другому, среднее значение случайной величикы.
Роль математического ожидания более подробно будет выяснена ниже (см. 9). 7л. вчвтемачичесхое ожидание счучейиой вевичииы 289 Определение 7.1. Матпеманчическим ожиданием (средним значением) МХ дискретной случайной величикы Х называют сумму произведений значений х, случайной величины и вероятностей р; = Р1Х = х;), с которыми случайная величина принимает эти значения: МХ = ~;х;р;. При этом, если множество возможных значений случайной величины Х счетно, предполагается, что ~х;~р; (+ос, т.е. ряд, опредеапощий математическое ожидание, сходится абсолютно (1Х]; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины Х не существует.
Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической механике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами р; ( ~,р, = = 1) и пусть х; — координата е-й точки. Тогда центр масс системы будет иметь координату 2,'хР; 2 хР; Х= ' = ' ='„Е;хара '>,'р, в 1 совпадающую с математическим ожиданием МХ случайной величины Х. Пример 7.1.
Пусть Х вЂ” число угаданных номеров в „Спортлото 6 из 49" (см. пример 6.4). В соответствии с рядом распределения в табл. 6.3 имеем МХ = 0 рв+1 р1+3 рз+4 ре+5.рв+ +6 рв-0 ° 0,436+1 0,413+2 О,'1324+3 0,0176+ +4 0,00097+5 1,8 10 ~+6 7.10 в 0,735. Таким образом, среднее число угаданных номеров равно 0,735. Ю вЂ” ! 0047 7.к матеиатачееаое оиилаиие еаучайиой аеаичииы 291 Пример Т.Ь. Положительная целочисленная случайнал величина Х имеет закон распределения, задаваемый выражением р;=Р(Х=1) =, 1=1,2,... 1 1(1+1) ' Тогда 00 00 ° СО и, значит, математическое ожидание случайной величины Х не существует. Определение Т.2.
Мапаемапаическим оэкиданнем (средним значением) МХ непрерывной случайной величины называют интеграл МХ = хр(х) дх. При этом предполагается, что +оо ~х~р(х) Их < +со, т.е. несобственный интеграл [ 17Ц, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно. Заметим, что определение 7.2 является естественным обобщением определения 7.1, так как для непрерывной случайной величины с плотностью распределения р(х) Р(х < Х < х+ Ьх) - р(х)дх. Так же как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной случайной величины можно интерпретировать как центр масс стержня, плотность массы которого в точке х равна р(х). ни 292 7.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН П имер 7.6. Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке [а, Ь] случайной величины Х. Поскольку в этом случае р(х) = 0 при х < а и х ) 6, то +00 х 1 1 з з Ь+а МХ= хр(х)ахсО 6 ах= 6 2(Ь вЂ” а ) = Как и следовало ожидать, МХ совпадает с серединои отрезка [а, 6). Пример Т.Т. Найдем математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами т и сг: +СО +СО Г * <.,,СД..., МХ= ху, (х)дхсО у — е юХх. СΠ— 00 Делая замену у = (х — т)/о, получаем +00 +00 МХ= ~ е "/за = / — е гг/Сау+ 00 — СО +00 +00 +т — е "/ ду Ос — уе " ~~ду+т со(у)ду.
~/2~г ~/2~г / Первый интеграл равен нулю в силу нечеткости подынтегральной функции, а второй равен единице как интеграл от стандартной нормальной плотности. Таким образом, МХ=т, т.е. параметр т им имеет смысл математического ожидания случайной величины Х (см. 4.6). Т.1. Математическое ои ияаиие саучайиой аеличииы 293 Пример 7.8. Пусть Х вЂ” случайная величина, имеющая распределение Вейбрало (см. 4.6).
Тогда, поскольку р(х) =О при х<О, то +00 +сО МХ = хр(х) Нх = ссВхле акоех. 00 о Делая замену р = ахр, получаем МХ= Ре "а '/Д1/'/Д ' Ь= о -1/Ф 1 '/де ол = а '/дг (-+1 о П имер 7.9. Математическое ожидание случаинои вели- Р чины Х имеющей гамма-распределение, задается выражением 1 МХ= ~ — е Их. / Лчхч л .7 г(у) о Делая замену р = Лх, получаем 'Г", „Г(7+1) МХ = — у ц "е "ии'= Лг(у) / Лг у о что следует из свойства гамма-функции Эйлера: Г(у+1) = 7Г(7). 294 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 7.10. Случайная величина Х имеет распределепие Коши, т.е. распределение с плотностью 1 р(х) = Тогда [х[Их я(1+ хг) поскольку подынтегральная функция эквивалентна 1/(ях) при х + +ос.
Поэтому математическое ожидание случайной величины Х не существует. Замечание 7.1. В общем случае математическое ожидание случайной величины задается выражением МХ = хаг (х), где г (х) — фуккцол распреде.юекил случайной величины Х, а интеграл понимают в смысле Римана — Стилтьеса [ХЦ. Поскольку мы рассматриваем только дискретные и непрерывные случайные величины, последнее выражение можно трактовать как обобщенную запись формул для математических ожиданий дискретной и непрерывной случайных величин.
7.2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидании Прежде чем переходить к описанию свойств матлематвического охсидакил случайной величины, позволяющих, как будет видно иэ примеров, в ряде случаев существенно упростить 7.2. Математическое оиилааие фувкваи от сеучаивой аеаичивы 295 его вычисление, определим математическое ожидание функции случайной величины (саучайного вевчаора).
Итак, пусть У=У(Х) рв — Р(Х = хв) и ее математическое ожидание определяется формулой МУ = МУ(Х) = ~~) У(х;)р;. «=1 (7.1) Если же величина Х принимает счетное число значений, то математическое ожидание У определяется формулой МУ = МУ(Х) = ~~) У(х;)р;, (7.2) но при этом для существования математического ожидания требуется абсолютная сходимость соответствующего ряда (1Х], т.е. выполнение условия ~~> ~У(х;)~р; < +со. в=1 (7.2) Пример 7.11.
Определим математическое ожидание выигрыша У в „Спортлото б из 49" (см. пример 6.4). Поскольку является функцией от случайной величины. Для определения МУ = МУ(Х) можно было бы сначала по формулам из 6.2 найти распределение случайной величины У и затем уже, воспользовавшись определением 7.1 или 7.2, вычислить МУ. Однако мы применим другой, более удобный подход. Рассмотрим сначала дискретную случайную величину Х, принимающую значения х~,...,хо.
Тогда случайная величина У = У(Х), как мы уже знаем, принимает значения У(х~), ..., У(х„) с вероятностями 296 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН У является функцией от случайной величины Х вЂ” числа уга- данных номеров, то, воспользовавшись формулой для матема- тического ожидания функции от случайной величины и рядом распределения (см. табл. 6.3), получим МУ = М(Х) = У(0)Р(Х = 0)+ У(1)Р(Х = 11+ +У(2)Р(Х = 2)+У(3)Р(Х = 3)+У(4)Р(Х = 4)+ + У(5) Р(Х = 5) + У(6) Р(Х = 61 и в — 0,3 (0,436+0,413+0,1324)+2,7 0,0176+ +54,7 0,00097+699,7 2 10 ~+9999,7 7 10 в -0,179. Для непрерывной случайкой величпкы Х, имеющей плошпосшь расцределеппл р(х), математическое ожидание случайной величины У = У(Х) можно найти, используя аналогичную (7.3) формулу М = МУ(Х) = У(х)р(х) йх, (7.4) причем и здесь требуется выполнение условия ~У(х) ~р(х) ох < +со.
В дальнейшем, чтобы каждый раз не оговаривать условие существования математического ожидания, будем предполагать, что соответствующие сумма или интеграл сходятся абсолютно. Таким образом, математическое ожидание выигрьппа отрицательно и равно примерно 18 к., а это означает, что играющий в среднем проигрывает больше половины стоимости билета (30 к.). Естественно, мы получим то же значение МУ, если воспользуемся рядом распределенил случайной величины У, представленным в табл. 6.5.
ф 7.2. Мэтематичесиое оиилвиив функции от саучвйиой веаичииы 297 Аналогично можно вычислить математическое ожидание фуннннн от многомерной случайной величины. Так, математическое ожидание МУ функции У = У(Хм Хз) от дискретной двумерной случайной велнчнны (Хы Хз) можно найти, воспользовавшись формулой МУ = МУ(ХыХз) = ЯУ(х;,уу)р|у, где р; = Р(Х1 = х;, Хз = у ), а функции У = У(Хы Хз) от двумерной непрерывной случайной величины (Хм Хз) — формулой МУ = МУ(ХыХз) = У(х,у)рхьх,(х,у)дхду, (7.5) где рты,(х, у) — совместная плотность распределения случайных величин Х1 и Хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
