XVI Теория вероятностей (1081428), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Согласно определению условной дисперсии, О(ХР ) = М((Х'-гХМ(Х[ )+ [М(Х~У)1') [У). Воспользовавшись свойством 2 условного математического ожидания, имеем В(Х[У) = М(Х'[ ) — гМ(ХМ(ХР ) ~У) + М((М(ХЩ)'1У). 374 л. УслОВные хАРАктеРистики слУчАЙных Величин Поскольку М(Х~У) и (М(Х~У)) являются функциями от случайной величины У, то в соответствии со свойством 6 условного математического ожидания в(х~~ ) = м(х'~у) — 3(м(хр )) (м(х!у)) + (м(х~у))'. Отсюда вытекает утверждение 3.
В силу определения условной дисперсии и свойства 6 условного математического ожидания имеем лУ(и(Х) и(У)~У) = =М((и(Х) и(У) — М(и(Х) и(У)~У)) ~У) = = М((и(У) и(Х) — и(У)М(и(Х)~У)) ~У) = =М(из(У)( (Х) -М(и(Х)Р))'~У) = = е~(У)М((и(Х) — М(и(Х)/У)) !У) = = и~(У)Р(и(Х)~У). Поэтому справедливо утверждение 5.
Далее, если случайные величины Х и У являются независимыми, то в силу свойства 7 условного математического ожидания щхщ = м((х — м(хщ)'у) = м((х — мх)'р ). Поскольку (Х вЂ” МХ)~ и У также независимые случайные величины, то, вновь воспользовавшись свойством 7 условного математического ожидания, получим утверждение 6 теоремы. Наконец, согласно свойству 3 условной дисперсии, имеем м(х'р ) = щхр )+ (м(х~у))', Беря от обеих частей этого равенства математическое ожидание, согласно свойству 5 условного математического ожидания, е.л.
Условиые числовые характеристики 375 находим мх' = м(м(х'~у)) = м(в(х~у)) + м(м(х~ у))'. Вычитая из обеих частей последнего равенства (МХ)~, полу- чаем ах = мх'- (мх)' = м(в(хр )) + м(м(хр ))'- (мх)'. Осталось заметить, что в соответствии со свойствами 2 и 5 условного математического ожидания м(м(хщ — мх)' = м(м(хр ))'- — 2(мх)м(м(х~у)) + (мх) = м(м(х~у))— — 2(мх)(мх)+ (мх)' = м(м(х~у))' — (мх)'.
Подставляя полученное равенство в предыдущую формулу, приходим к утверждению 7. ~ Пример 8.13. Пусть (Х, У) — двумерная случайная величина, имеющзл нормальное распределение (см. примеры 8.3, 8.12). Из результатов этих примеров следует, что Р(х~у) = п1~(1 — р ) и Р(Х~У) = о~~(1 — р ).
Таким образом, значение О(Х~у) условной дисперсии 12(Х~У) не зависит от значения у случайной величины У (естественно, что для произвольного двумерного случайного вектора (Х, У) это, вообще говоря, не так). Отметим также, что при фиксированной дисперсии РХ = п~~ условная дисперсия 1л(Х~У) тем меньше, чем больше абсолютное значение коэффициента корреляции р. При р= ж1 условны дисперсия Р(Х~У) = О. Этот факт становится очевидным (причем для произвольно распределенных случайных векторов (Х, У)), если вспомнить (см.
7.4), что при р = ж1 существует линейная зависимость Х = аУ+Ь 376 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСГИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН между Х и У, а значит, в силу свойств 2, 5 и 1 условной дисперсии П(Х~У) =Р(аУ+б)У) =а П(У)У) =агУ Р(ЦУ) =О. Вычислим теперь дисперсию ОХ с помощью условной дисперсии Х)(Х~У). Воспользовавшись свойством 7 условной дисперсии и подставляя вместо условного математического ожидания М(Х~У) его значение, вычисленное в примере 8.12, имеем Рх = М(о~(1-р ))+М(пг1+ — пг1) аг ,г,г = аг1(1 — р ) + —.1М(У вЂ” иаг) аг г г = а1 (1 — р ) + — ЭУ = о~ (1 — р ) + р а1 — — ог.
г г Р ~~1 г г г г г „г г Естественно, мы получили хорошо известный нам результат (см. пример 7.17 и 5.5). Пример 8.14. Рассмотрим двумерный случайный вектор (Х, У), где Х вЂ” случайная величина, равномерно распределеннал на отрезке [-1,1], а У = Хг (см. пример 7.20). Найдем условные дисперсии Р(Х~У) и Р(У~Х) и с их помощью вычислим ПХ и ПУ. Определим сначала О(У~Х) и РУ. В соответствии со свойствами 6 и 1 условного математического ожидания имеем м(цх) = м(хг~х) = х'м(цх) = х'.
Тогда, согласно свойствам 5 и 1 условной дисперсии, ЩЦХ) = Э(Хг~Х) = Х'Э(ЦХ) = 0. Полученный результат очевиден, поскольку если случайная величина Х приняла конкретное значение х, то вследствие 377 8.2, Усювиые числовые характеристики наличия функциональной зависимости У = Х2 значение у = х2 случайной величины У определяется однозначно. '1Ък как м1 =мх =-/Г*' 2 1 2 2,/ 3' -1 то, согласно свойствам 1 и 7 условной дисперсии, получаем ш' = мо+ м(х' — -) = о+ — у (х' — -) ь = —. 2 1 1 Г 2 1 4 3 2/ 3 45 -1 Вычислим теперь 1Э(Х[1') и ОХ. Для этого заметим, что если случайная величина 1 приняла конкретное значение р (лежащее на отрезке [О, 1)), то случайная величина Х может принять только одно из двух значений: х1= — Я и х2=Я, причем, поскольку Х равномерно распределена на отрезке [ — 1,1), оба эти значения равновероятны. Иными словами, значению у случайной величины У соответствуют значения х1 = — ~/р и х2 = ~/у случайной величины Х, принимаемые с вероятностью 1/2.
Значит, 1 1 м(х[р) =- Г -+,Г- -=о 2 2 и в(х[р) =(- Гй-о) -+( Гй-о) — = р. 2 1 2 2 2 Таким образом, М(х[1') ш О и ь1(Х[2') = 1'. Наконец, поскольку 1 Г МХ =-( хсзр=О, 2/ -1 378 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН то в силу свойства 7 условной дисперсии с учетом равенства В(Х~У) = У получаем РХ = МУ+ М(0 — О) = —. ф г 3 В заключение отметим, что для характеристики нелинейной связи случайных величин Х и У часто используют корреляционные отношения ох~у и т)ур~.
Определение 8.9. Хорреиационными опиноиьенилми случайных величин Х и У называют числа ох~у и Чур~, которые задаются выражениями (8.11) Чху = (8.12) цу!х = Корреляционное отношение ох~у вычисляют для дискретной и непрерывной случайных величин (Х, У) в соответствии В с формулами (8.13) Чх!у = (8.14) Цх!у = Заметим, что, в отличие от ноэффиииентпа корреляции р, корреляционное отношение зависит от порядка следования случайных величин Х и У, т.е. ох~У, вообще говоря, не совпадает с тЬ ~х. 379 8.2.
Условные чнсловые нарантернстннн Свойства корреляционного отношения ох~у определяются следующей теоремой. Теорема 8.3. 1. Корреляционное отношение ох~у можно записать в виде Чху = 2. КоРРелЯционное отношение Цх~у УДовлетвоРЯет неРавенству б~л1Х~у <1. 3. Корреляционное отношение 9х!у =1 тогда и только тогда, когда случайная величина Х функционально (не обязательно линейно) зависит от У. 4. Корреляционное отношение Чхр =6 тогда и только тогда, когда М(Х~У) ив в С = МХ, т.е. линия регрессии Х на У представляет собой горизонтальную прямую.
5. Коэффициент корреляции р и корреляционное отношение их~у связаны неравенством И ~ л1хр' 6. Модуль |р~ коэффициента корреляции совпадает с корреляционным отношением пхну тогда и только тогда, когда линия регрессии Х на 1' является прямой. ~ Первое утверждение теоремы вытекает из свойства' 7 условной дисперсии. Действительно, вх — м(1у(х~у)) м(м(хр ) — мх)' вх эх 380 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Правы часть неравенства утверждения 2 следует из определения корреляционного отношения, поскольку В(Х~У» О и М(В(ХР )) > О.
При этом равенство М(Р(Х~У)) = О, эквивалентное равенству ох~у — — 1, имеет место тогда и только тогда, когда Р(Х~У) = О. В свою очередь, это тождество означает, что при каждом значении случайной величины У случайная величина Х принимает всего одно значение, т.е. Х является функцией от У, что доказывает утверждение 3. Аналогично левы часть неравенства утверждения 2 следует из утверждения 1 теоремы, так как (М(Х)У) — МХ) > О, при этом тождество (М(Х~У) — МХ) = О, эквивалентное тог ждеству М(Х~У) ьв МХ, имеет место тогда и только тогда, когда ох~у = О, что доказывает утверждение 4. Для доказательства утверждения 5 рассмотрим случайную величину Я,. = хУ вЂ” М(Х~У), где х — произвольное число, и вычислим ее дисперсию: ОЯ, = х~1ЭУ вЂ” 2хсоъ (У,М(Х~У)) + Р(М(Х~У)).
Дисперсия РЯ~, как функция от х, представляет собой квадратный трехчлен. Поскольку дисперсия любой случайной величины является неотрицательной, то дискриминант (2соч(У,М(Х~У))) — 41гУП(М(Х/У)) < О. (8.15) Найдем для соч(У,М(Х~У)) и Р(М(Х~У)) другие выражения. Воспользовавшись свойством 5 условного математического ожидания и утверждением 1 теоремы, заметим, что э(м(х~у)) = м(м(хр ) — м(м(х~у)))' = = М(М(ХР ) -МХ)г = О',11Х.
381 8.2. Усеоиихее числовые характеристики По определению 7.8 ковариации, имеем соч(У, М(Х~У)) = = М((У- МУ) (М(Х~У) — М(М(Х~У)))). (8.16) Выражение под знаком математического ожидания в правой части равенства можно преобразовать, используя свойства 6 и 3 условного математического ожидания, следующим образом: (у-му)~м(хщ-м(м(хщ)) = =м~(у-му)х~у~ -м~((у-му)мх) р] = =м((ху-хму-умх+мхмт )~у) = = м((х — мх)(у — му) ~~ ). Подставляя найденные значения 1х(М(Х~У)) и сои(У, М(Х~У)) в (8.15), имеем (р4охох) <ц', охох, откуда после деления на РУРХ получаем утверждение 5.
Наконец, для того чтобы доказать утверждение 6, достаточно заметить, что, согласно свойству 5 ковариации (см. с. 310), неравенство (8.15) превращается в равенство тогда и только тогда, когда ь+*,1 -м(хр ) =-0 для некоторых хо и Ь, или М(Х~У) ив з хеУ+ Ь, что эквивалентно утверждению 6. > 382 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 8.15. Вычислим корреляционное отношение ох~у для случайного вектора (Х, У), распределенного по нормальному закону. Как следует из формулы (8.16) и примера 8.13, = ~(Р = 1р!.
9Ух!у = Значение корреляционного отношения в данном случае совпадает с модулем коэффициента корреляции. Это становится очевидным, если вспомнить (см. пример 8.12), что линия регрессии Х на У является прямой, и воспользоваться утверждением 6 теоремы 8.3. Пример 8.16. Найдем корреляционные отношения ох~у и Оу~х для случайного вектора (Х, У) из примера 8.14: 45 »~»= I» — ЗМУ=О, »у~»= 1 — — М0=1. 4 Итак, мы получили, что ох~у — — О, что соответствует утверждению 4 теоремы 8.3, поскольку М(Х~У) иО=МХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
