XVI Теория вероятностей (1081428), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тогда Рх„(х) =" Р(х) ив О при каждом х. Но Р(х) не является функцией распределения, так как Р(+со) =Оф1. Значит, при определении слабой сходимости обязательно нужно требовать, чтобы предельная функция являлась функцией распределения. Можно показать, что из сходимости с вероятностью 1 и из сходимости в среднем квадратичном следует сходимость по вероятности, а из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость функций распределения*.
'См., ивврвиер: Вевпщель ЖС. Теорие вероятностей, 1969. 404 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.2. Неравенства тзебьппева. Закон болыпих чисел Прежде чем приступить к рассмотрению закона больших чисел, докажем два неравенства Чебышева. Заметим, что неравенства Чебышева представляют и самостоятельный интерес, поскольку в современной теории вероятностей широко используются неравенства такого типа. 'леорема 9.1. Для каждой неотрицательной случат1коб величины Х, имеющей матпелтантичесное оэтсидакие МХ, при любом е > 0 справедливо соотношение МХ Р1Х > в1 < —, называемое первым неравенстпвом Чебышева.
< Доказательство проведем для непрерывное случабкоб величины Х с плотвкосптью распределения р(х) (для геометрической интерпретации доказательства удобно воспользоваться рис. 9.1). Поскольку случайная величина Х является неотрицательной,то +00 МХ = хр(х) сЬ. о Так как подынтегральное выражение неотрицательное, то при уменьшении области интегрирования интеграл может лишь уменьшиться.
Поэтому т +со +со МХ = хр(х) дх+ хр(х) дх > хр(х) дх. о т Е Заменял в подынтегральном выражении сомножитель х на е, имеем 9.2. Неравенства Чебьппева. Завоя оовыпих часов 405 Остается заметить, что последний интеграл (равный площади области, заштрихованной на рис. 9.1) представляет собой вероятность события Х > е, и, значит, МХ > еР(Х > е), откуда и вытекает первое неравенство Чебышева. Аналогично первое неравенство Чебьппева доказывается и для дискретной случайной величины, при этом нужно только заменить интеграл суммой.
> Рис. 9.1 Ясно, что применять первое неравенство Чебьппева имеет смысл только тогда, когда е > МХ; в противном случае оно дает тривиальную оценку. Пример 9.4. Пусть Х вЂ” время опоздания студента на лекцию, причем известно, что МХ = 1 мин. Воспользовавшись первым неравенством Чебышева, оценим вероятность Р(Х > 51 того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин. Имеем Р(Х) 5) < — =0,2. МХ 5 Таким образом, искомая вероятность не более 0,2, т.е.
в среднем иэ каждых пяти студентов опаздывает, по крайней мере, на 5 мин не более чем один студент. ф Рассмотрим теперь случайную величину Х, имеющую дисперсию РХ = аз. Мы уже говорили, что дисперсия является показателем разброса Х вокруг математического ожидания МХ. Однако с точки зрения исследователя разброс естественнее характеризовать вероятностью РЦХ вЂ” МХ~ > е) отклонения случайной величины Х от МХ на величину, большую некоторого заданного е. Следующее неравенство позволяет оценить эту вероятность с помощью дисперсии оз. 406 9.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОАТНОСТЕИ Теорема 9.2. Для каждой случайной величины Х, имеющей дисперсию ПХ = сгз, при любом е > 0 справедливо еньорое нероеенстпео Чебышева о' РЦХ-МХ~ > е~ < —. Е ~ Для доказательства воспользуемся утверждением первого неравенства Чебышева. Применял к случайной величине У = (Х вЂ” МХ)з это неравенство, в котором е заменено на е~, получаем РЦХ вЂ” МХ~ ) е~ = РЦХ вЂ” МХ)з ) ез~ = МУ ОХ о~ р~у ) 2~ ~~ е я я что и доказывает второе неравенство Чебьппева. ~ Геометрический смысл второго неравенства Чебьппева понятен из рис. 9.2. 9.2. неравеаотва чееаапева.
Заков болввшх засел 407 Второе неравенство Чебышева имеет содержательный смысл лишь при е > о. Пример О.б. Пусть в условиях предыдущего примера известно дополнительно, что а = ~(ЬХ = 1. Оценим минимальное значение хе, при котором вероятность опоздания студента на время не менее хе не превышает заданного значения Р, = 0,1. Для решения поставленной задачи воспользуемся вторым неравенством Чебышева. Тогда Р, < Р(Х > хе) = Р(Х вЂ” МХ > хе — МХ) < оз < РЯХ вЂ” МХ~ > хе — МХ) < (хе-МХ з Значит, а~ дз (хр-МХ) ~ (— и хе~~МХ+ э е Подставляя конкретные значения, имеем 1 хе < 1+ ~/ — ж 4,16.
~/0,1 Таким образом, вероятность опоздания студента на время более 4,16 мин не более 0,1. Сравнивая полученный результат с результатом примера 9.4, видим, что дополнительная информация о дисперсии времени опоздания позволяет дать более точную оценку искомой вероятности. Пример 9.6. Пусть случайная величина Х имеет плотность распределения р(х) = — е ~*~.
1 2 408 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тогда Г е МХ= / х — сЬ=О, ,/ 2 +00 о' =ОХ =МХ = ~ х — Их=2. г 2 Г ге~~ 2 Воспользовавшись вторым неравенством Чебышева, оценим р,=рЦХ!>01 для е = 2, 5, 10. В результате получим рг(0,5, рз(0,08, рш(0,02. Сравним полученные оценки с точными значениями. Поскольку р, =1 — 5'(е)+г(-е) = е ', имеем: 1 1 1 рг = — 0 1353, рз = — 0,0067, рш = — 0,000045. 02 2 ' ез ' ' е10 Таким образом, в этом примере второе неравенство Чебышева дает очень грубую оценку вероятности р,.
Пример 9.Т. Предположим, что случайная величина Х принимает только значения 1 и — 1 с одинаковыми вероятностями 1/2. Тогда 1 1 МХ = (-1) — + 1 — = О, 2 2 о = РХ = МХ = (-1) — + 1 ° — = 1. 2 2 2 1 2 2 2 Применяя второе неравенство Чебышева, получаем, что р, =РЦХ! > Ц (1. 9.2. Неравевстаа Чебаппеаа. Заков бовапОвк часок 409 Найдем точное значение вероятности р1 — — Р(~Х~ > Ц. Поскольку оба возможных значения Х равны по модулю единице, то р1 =1. Этот пример указывает на тот факт, что по дисперсии ПХ нельзя оценить р, более точно, чем с помощью второго неравенства Чебьппева.
Рассмотрим некоторые формы закона больших чисел. Пусть Х1,Хэ,...,Хп,... — последовательность случайных величин, имеющих математические ожидания гп, = МХ;. Определение 9.5. Последовательность Х1, Хэ, ..., Х„, ... случайных величин удовлетворяет закону большие чисел 1слабому), если для любого е > 0 ( и и Р ~-~Х,— -1 О~> ) О. О=1 О=1 Иными словами, выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин: при большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со своими средними значениями. Очевидно, что последовательность Х1, Хэ, ..., Х„, удовлетворяет закону больших чисел тогда и только тогда, кегда среднее арифметическое случайных величин Х1 — т1, Хэ — гпэ, ..., Մ— т сходится по вероятности к нулю при и -+ 00.
Теорема 9.3. Если последовательность Х1, Хэ, ..., Х„, ... независимых случпйкых величии такова, что существуют МХ; = п11 и РХ; = оэ, причем дисперсии оэ ограничены в совокупности 1т.е. еР( < С < +со), то для последовательности Х1, Хю ..., Х„, ... выполнен закон болыпих чисел. При этом говорят также, что к последовательности Х1, Хэ, ..., Х„, ... случайных величин применим закон большие чисел в форме Яебышева.
410 и НРеДелъные теОРемы теОРии ВВРОЯтнОстей < Теорема является элементарным следствием второго неравенства Чебышева. Действительно, в силу свойств математического ожидания и дисперсии М вЂ” ~~> Х; = — ~~> тп;, 1! п2 4~п2 Применяя теперь второе неравенство Чебышева к случайным величинам 1 1„= -',1'Х;, и М1 получаем для любого е ) О Р -~~ Х; — -~~) гп; >е~ < — — + О.
п ' п ' пя2 -+00 М1 Ы1 Таким образом, мы показали, что для последовательности Хм Хх> ..., Х„,р... выполняется закон больших чисел. > Следствие 9.1. Если случайные величины Х;, 1 = 1,2,..., в условиях теоремы 9.3 являются также одинаково распределенными (в этом случае п1; = ш и а~ = сР), то последовательность Х1, Хх,..., Х„,... случайных величин удовлетворяет закону больших чисел в следующей форме: Х; ~п1. 1 Р и а-+сю < Доказательство проведите самостоятельно.
> Теорема 9.4. Пусть проводится п испьгганий по схеме Беряул.юи и ӄ— общее число успехов в и испытаниях. Тогда 9.3. Неравенства Чебышева. Заков болывнк чисел 411 наблюденная частота успехов н сходится по вероятности к вероятности р успеха в одном испытании, т.е. для любого е ) О Рата — Р~ ~) е1 — ~ О. < Обозначим Х; число успехов в 1-м испытании Бернулли. Тогда частоту успехов в н испытаниях можно определить в виде в т„= — ~~~ Х;, н 1=1 причем и ВХ1 = рд. МХ;=р Значит, выполняются все условия следствия 9.1, из которого вытекает утверждение теоремы.
° Теорему 9.4 называют также епеоремоб Бернулли, или законом больших чисел в Яорме Бернулли. Из хода доказательства теоремы 9.4 видно, что закон больших чисел в форме Бернулли является частным случаем закона болыпих чисел в форме Чебышева. Пример 9.8. Пусть дана последовательность Х1, Хг, ..., Х„, ... независимых случайных величин, причем ряд распределения случайной величины Х„представлен в табл. 9.1. Покажем, что к Уаблиие 9.1 этой последовательности пРименим Х„-5н О бн закон больших чисел в форме Че- Р— 1 —— бышева. Для этого вычислим дис- гне не гне персию 1лХв. Имеем МХ„=( — бн) — +О ~1 — — ~+бн — =О, 2нг ~ нг~ ' 2нг 412 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ эх„= мх„'- (мх„)' = мх„' = = (-5п) — +О ~1 — — ) +(5п) — = 25. 2 1 2т 1~ 2 2пх ~ па ) 2пх Итак, дисперсии 1ЭХ„ограничены в совокупности, и к последовательности Хы Х2,..., Х„,...
применим закон больших чисел в форме Чебьппева. Замечание 9.4. В специальных курсах теории вероятностей рассматривают также усиленный закон больших чисел, в котором сходимость по вероятности заменяется сходимостью с вероятностью 1. 9.3.Характеристическая функция Для дальнейших исследований нам понадобится понятие характперистической функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
